非线性时滞系统的指数稳定H∞控制
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维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 吴忠强，岳东等：非线性时滞系统的指数稳定Ⅳ 控制 ｌ０５
。（ ） （ ），０∈［一ｄ，０３
ｉ一１，２，…，ｒ
其中，Ｒ 表示Ｔ—Ｓ模糊模型的第ｉ条规则，也称为模糊子系统。Ｚ。（ｆ），…， （ｆ）为模糊规则的前件
变量，Ｍ 为模糊语言集合， （￡）∈Ｒ”， （￡）∈Ｒ ， （￡）∈Ｒ 分别为系统的状态变量，控制变量和扰动
变量。 ，Ａ ，Ｂ ，Ｂ 是适当维数的实常数矩阵，ｄ＞Ｏ表示滞后时间。
采用文献［５，６］中的单点模糊产生器，乘积推理以及中心平均模糊消除器，上述的模糊逻辑控
制系统可写为如下形式 （ ）一 （＾） （ ）＋ ｄ（＾） （ 一 ）＋Ｂ（＾） （ ）＋Ｂ１（＾） （¨ （２） ｚ（ｔ）＝Ｃ（＾） （￡）
其中
ｈｉ（ （￡））一 垒
∑ｗＡｚ（ｔ））
（３） （ （ｆ））一Ⅱ （ （ｆ）） 』穹１ ‘ ２（￡）一［ｚ１（￡），Ｚ２（￡），…，ｚ （￡）］
ｕ（ （￡））表示前件变量 （ｔ）２ｖｌ应于模糊值Ｍ。 的隶属度。
（＾）一∑ｈ。（ （ｆ）） ．
ｆ＝１
ｄ（＾）一∑ｈｈ ｄ（＾）一 （２（ｆ）） ｆ＝１
Ｂ（＾）一∑ｈ （ｚ（ｆ））Ｂ （４） ＝１
＾）一∑ｈｈ ￡））Ｂａ Ｂ１（＾）一 （２（￡） ＝１
ｃ（＾）一∑ｈ （ｚ（￡））ｃ。
随着模糊规则的增加，Ｔ—Ｓ模型可以任意精度逼近实际的被控对象，可以看出，模糊控制系统
整体上是本质非线性的。但每个模糊子系统却具有线性形式。对给出的模糊系统（１）设计如下的模
糊控制器： Ｒ・：ｉｆ Ｚ１（￡）ｉｓ Ｍｆｌ ａｎｄ…ａｎｄ Ｚｇ（￡）ｉｓ Ｍ ，ｔｈｅｎ （￡）＝足ｆ （￡） ｉｘ１，２，…，，－ （５）
其中，ｋｉ为控制器增益。整个模糊控制器可表示为 （￡）＝足（＾） （￡） （６）
其中
足（＾）一∑ｈ （ｚ（￡））志。 （７）
３稳定性分析
在本节中讨论时滞系统（２）的无记忆状态反馈指数稳定Ⅳ。。控制问题。
定义３．１给定 ＞Ｏ和ａ＞Ｏ，取（６）式控制律，使得：
（１）闭环系统是ａ一致渐近稳定的（指数稳定）；
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（２）在零初始条件下，闭环系统对所有非零的 （￡）∈Ｌ。［Ｏ，ｏ。），满足
ｌＪ ２（￡）ｌＪ２＜ （￡）ｌＪ。 （８）
称ｙ是ａ次优的。
注 如果ｙ在 一０是ａ次优的，则 就是通常意义下的 。。次优的。而且，如果闭环系统是ａ
一致渐近稳定的，则闭环系统在ａ一０时也是一致渐近稳定的。
将式（６）代入式（２）得闭环系统为
ｘ（ｔ
、）＝Ａｋ
，（
．ｈ）ｘ（ｔ）＋ ｄ（＾）ｚ（￡一 ）＋Ｂｌ（＾）ｃｕ（¨ （９） ｚ（ｔ）＝Ｃ（＾）ｚ（￡）
其中 （＾）一Ａ（＾）＋Ｂ（ｋ）志（ ） （１Ｏ）
定理３．１设存在Ｐ，５∈ 且Ｐ＞０，Ｓ＞Ｏ及反馈控制律（６），使得
Ａｋ （＾）Ｐ＋ＰＡ （＾）＋Ｃ （＾）Ｃ（＾）＋Ｓ
ｊ（＾）Ｐ
（＾）Ｐ
：’（＾）Ｐ＋ＰＡ （＾）＋Ｓ＋２ａＰ
ｌ （＾）Ｐ Ｐ ｄ（＾） ＰＢｌ（＾）］
一Ｓ ０ Ｉ＜０
０ 一ｙ０Ｉ
ＰＡ （＾） ］ Ｉ＜０ ——Ｓ ｌ （１１）
（１２）
则ｙ是ａ次优的。 证明 首先证明不等式（１２）保证闭环系统（９）是ａ一致渐近稳定的。考虑泛函微分方程
季（￡）一［－Ａ （＾）一口 ］ （￡）＋ｅａｄＡｄ（＾） （￡一 ） （１３）
该方程是对闭环泛函微分方程（９）做状态变换 （ｆ）一Ｐａ（ｔｏ－ｔ） （ｆ），ｆ≥ｆ。而得到的。
根据定义３．１泛函微分方程（１３）的零解的一致渐近稳定性保证了闭环系统（９）（令 （￡）＝Ｏ）
的ａ一致渐近稳定性。
引入Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函 （ ，￡）一矿’（￡）Ｐ （￡）＋ｒ＝，矿’（ｒ）５ （ｒ）ｄｒ （１４）
显然存在常数 和 ２，使得 ｌｌ （￡）ｌｌ。≤ （ ，￡）≤ ２ ｌｌ （￡）ｌｌ。，例如取 一 ｉ （Ｐ）， ２一 （Ｐ）＋
ｍ （５），贝０
（ ，￡）一矿’（￡）Ｐ （￡）＋矿’（￡）Ｐ毋（￡）＋ ’（￡）５７（￡）一７１ｗ（￡一ｄ）Ｓｒｌ（ｔ— ）
一『７１（￡ ＴＴ ＋ＰＡ．ｋ（ｈ Ｓ ］『 ］＜０ ） Ｌｒｉ（ｔ— ）Ｊ Ｌ Ｐ （＾）Ｐ —Ｓ Ｊ Ｌ￣／（ｔ～ ）Ｊ
由（１３）式可知 （ ，￡）ｄＯ，泛函微分方程（１３）的零解是一致渐近稳定的。即闭环系统（９）（ （￡）＝Ｏ）
的零解是ａ一致渐近稳定的。令ａ一０，则有
ｃｚ，ｒ 一［ ］ ［ ＾ Ｐ ＋ ＰＡ ｋ（＾ ＋５ Ｐ ］［ ］＜。 ｃ ｚ， 一【－ｚ（￡一 ）ｊ【－ （＾）Ｐ 一５ ｊ【－ｚ（￡一 ）ｊ＜ｏ ‘ ６’
即 一致渐近稳定也意味着一致渐近稳定。
其次，我们证明不等式（１１）保证了在零初始条件下，闭环系统满足式（８）。
由于（１３）式的零解的渐近稳定性保证了『Ｉ ｚ（￡）『Ｉ。的有界性，则在零初始条件下有：
Ｊ ＝ｌ［ （￡）２（￡）～ｙ。ｗＴ（ｔ）ｗ（ｔ）］ｄｔ＝ｌ［ｚ ｒ（￡）ｃ （＾）ｃ（＾）ｚ（￡）一ｙ。 ’（￡） （￡）］ｄ￡ （１７）
考虑 （￡）≠０时，则（１６）式变为
ｒ ｚ（￡） ］’ｒ［ＡＴ（ｈ）Ｐ＋ＰＡ （＾）＋Ｓ ＰＡａ（ｈ） ＰＢｌ（＾）ｌ ｒ ｚ（￡） ］
（ ，ｆ）一Ｉ ｘ（ｔ— ）｝｝ （＾）Ｐ —Ｓ ０ Ｉ ｊ ｘ（ｔ— ）Ｊ＜０（１８）
Ｌ∞（￡）ｊ ｌ 研（＾）Ｐ ０ ０ Ｌ （￡）Ｊ
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利用（１８）式有
∞ 一ｌ ［ｚ ，（￡）ｃ’，（ ）ｃ（ ） （￡）一ｙ。ｃｕ ，（￡）ｃｕ（￡）＋Ｖ（ｘ，ｔ）］ｄｔ＋Ｖ（ｘ，￡）ｌ，＝。一Ｖ（ｘ，ｆ）Ｉ， 。。 √０
≤ ｚ（￡）
（￡一ｄ）
ｃｕ（￡） （ ）尸＋ＰＡ＾（ ）＋Ｃ ，（ ）Ｃ（ ）＋Ｓ ＰＡｄ（ ）ＰＢ （ ）
Ａ５（ ）Ｐ —Ｓ ０
Ｂ ’（ ）Ｐ ０ 一ｙ。
由严格负定不等式（１１），可得Ｊ ＜Ｏ，即闭环系统满足（８）式。
定理３．２存在对称正定矩阵Ｐ，５和控制律（６），使定理３．１的条件（１１）、（１２）成立，当且仅当
存在三个矩阵Ｑ，Ｒ∈Ｒ” ，Ｗ（ ）∈Ｒ 且Ｑ＞０，Ｒ＞Ｏ使得
ＱＡ （＾）＋Ａ（ｈ）Ｑ＋Ｗ ’（＾）Ｂ ’（＾）＋Ｂ（ｈ） （＾）＋Ｒ
Ｑ 。ｒ、ｈ）
Ｃ（ ）Ｑ
（ ） ｄ（ ）Ｑ
—Ｒ
０
Ｏ Ｂ （＾）
Ｏ
０
－——７２１ ＜０（２Ｏ）
厂ＱＡ （ ）＋Ａ（ ）Ｑ＋Ｗ （ ）Ｂ ｆ（ ）＋Ｂ（ ） （ ）＋Ｒ＋２ Ａｄ（ｈ）Ｑｅ ］ Ｌ ｅ Ｑ ：（ ） ～Ｒ ｊ ０ ２１ ｛ ｆ＜ （ ）
其中， （ ）一ｋ（ｈ）Ｐ 一∑ｈ （ （ ）） ，，Ｗ，一ｋｉｐ～。
证明将（１Ｏ）式代人（１１）式得：
Ｐ ｄ（ ） 尸Ｂ】（ ）
・——Ｓ ０
０ 一），０Ｉ
ｏ ｏ ｌ 用｝０ Ｐ一 ０ｆ左乘和右乘（２２）式，并令Ｑ＝Ｐ＿。，Ｒ＝Ｐ 尸一， （ ）一是（ ）尸～，得 ｌ ｏ ｏ ｊ
’（＾）＋ （ ）Ｑ＋ ’（ ） ’（ ）＋Ｂ（ ） （ ）＋ＱＣ （ ）Ｃ（ ）Ｑ＋Ｒ Ａｄ（ ）Ｑ Ｂｌ（ ）
ｌ Ｑ ｊ（ ） 一Ｒ ０
ｌ （ ）０ 一ｙ。 ＜０
（２２）
＜０（２３）
应用Ｓｃｈｕｒ补引理，（２３）式等价于（２Ｏ）式。类似地，可证明式（２１）与式（１２）的等价性。
定理３．３给定系统（１），存在指数稳定Ｈ。。控制律（６）的条件是，存在公共矩阵Ｑ＞ｏ，Ｒ＞０和
矩阵 及标量 ，满足线性矩阵不等式
： ａＡ：ｆ＋Ａ，Ｑ＋ ＪＴ Ｔ＋Ｂ ＷＪ＋Ｒ Ａｕ，Ｑ
Ｑ 一Ｒ
Ｃ。Ｑ ０
Ｂｒ ０ Ｑｃｒ Ｂ，ｌ
Ｏ Ｏ
一 Ｏ
０ 一ｙｚＩ ＜０ （２４）
一 ’＋ ｔＱ＋ Ｔ Ｔ＋ ＋Ｒ＋２ ］＜ｏ （２５） 一； Ｐ Ｑ 一Ｒ ｊ、 …
证明 由不等式（２ｏ）和（４）式可知，不等式（２ｏ）左边等于∑ｈ （ｚ（￡））∑ｈ （ｚ（￡）） 。，则当
（２４）式成立时，（２Ｏ）式成立。同理可证（２５）式。 ＼， ９ １ ， ］ ，ｊ ＼，＼， — ｚ ／ 一 一 ｒ Ｏ —Ｏ 。Ｊ ｏ Ｓ ＋ ＼， Ｃ ＼， Ｃ ＋ ＼， ＼， 。。 尸 ＋ Ｐ ）ｒ ｄ ｒ Ａ 。Ｑ 。。 ＼， ｝ Ａ 尸 ｝ 尸 ＼， 一
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４ 仿真研究
为了说明控制器的有效性，我们以文献［７］的连续搅拌釜式反应器（ＣＳＴＲ）为例，其质量和能
量平衡方程式为
一ａｑＡ。＋ｑ（１一 ） （ｆ一口）一ｑＡ（ｆ）一 。ｅ 肌）
ｃＩＤ ｄ Ａ—ｇＣｐ［，ｌＴ。＋（１一 ）丁（ｆ一口）一丁（ｆ）］＋ （一ｚ￣Ｈ）Ｋｏｅ －－丽Ｅ （ｆ）～ （丁（ｆ）一 ）
（２６） 符号含义见文献［７］，采用一些变换 ，并考虑扰动ｔｏ（ｔ）＝ｓｉｎ（２￣ｒｔ），可得无量刚形式：
１（ｆ）＝ｆ１（ｚ）＋（÷一１）ｚ１（ｆ— ）
２７ （ ）
２（ｆ）：ｆｚ（ｚ）＋（÷一１）ｚ２（ｆ— ）＋ｆｌｕ（ｔ）＋ １ｔｏ（ｔ）
其中ｚ（￡）一［ｚ （ｆ） ｚ （ｆ）］，且
ｆ （ｚ）一 Ｘｌ（ｆ）＋Ｄｄ（１一ｚ （ｆ））ｅ
ｆ２（ｚ）一一ｆ ＋ ）ｚ （ｆ）＋Ｈ （１一ｚ （ｆ））ｅ （２８
ｚ （￡）＝ （ｆ），ｆ∈［一ｄ，Ｏ］； ＝１，２
（ｆ）代表反应的收敛速率，Ｏ≤ｚ （ｆ）≤１， （ｆ）是无量刚温度。假设只有温度是可以在线测量的，
２（ｆ）：［Ｏ ０．０１ （ｆ） （２９）
给定参数如下：ｙ。一２Ｏ，Ｈ一８，ｆｌ＝０．３，卢 ＝０．０１，Ｄｄ＝０．０７２， ＝０．８， ：２。当“（ｆ）＝０时可得
系统的三个平衡点
ｚ ＝［０．１４４０ ０．８８６２］
ｚ 一［０．４４７２ ２．７５２０］
ｚ。一［０．７６４６ ４．７０５２］ ，
，ｚ。是局部稳定的平衡点，ｚ 是不稳定的平衡点。
上述非线性系统可表示成如下Ｔ—Ｓ模糊模型：
Ｒｕｌｅ １：ＩＦ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｉｓ ｌｏｗ（ｉ．ｅ．，ｚ２（ｆ）ｉｓ ａｂｏｕｔ ０．８８６２），ＴＨＥＮ
如（ｆ）一Ａ１如（ｆ）＋Ａ１ｄ３ｘ（ｔ— ）＋Ｂ１３ｕ（ｔ）＋Ｂ１１ｔｏ（ｔ）
２（ｆ）一Ｃ】ｚ（ｆ）
Ｒｕｌｅ ２：ＩＦ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｉｓ ｍｉｄｄｌｅ（ｉ．ｅ．，ｚ２（ｆ）ｉｓ ａｂｏｕｔ ２．７５２０），ＴＨＥＮ
如（ｆ）一Ａ２如（ｆ）＋Ａ ３ｘ（ｔ— ）＋Ｂ２３ｕ（ｆ）＋Ｂ２１ｔｏ（ｔ）
２（ｆ）一Ｃ２ｚ（ｆ）
Ｒｕｌｅ ３：ＩＦ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｉｓ ｈｉｇｈ（ｉ．ｅ．，ｚ２（ｆ）ｉｓ ａｂｏｕｔ ４．７０５２），ＴＨＥＮ
（ｆ）：Ａ３３ｘ（ｔ）＋Ａ 如（ｆ— ）＋Ｂ３３ｕ（ｆ）＋Ｂ３１ｔｏ（ｔ）
ｚ（ｆ）一Ｃ３ｚ（￡）
其中
如（ｆ）＝ｚ（ｆ）一ｚｄ
（ｆ— ）一ｘ（ｔ— ）一ｚｄ
“（ｆ）＝Ｕ（ｆ）一
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