因式分解的多种方法初中版
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因式分解的方法(初中版)
因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的 方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：2 x2 -3x=0
解: x(2x-3)=0
X〔 =0, X? =3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解 x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：x2-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出 4=2 2，适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2
解：原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数 a分解成两个因数 a,.a2的积ai ©2，把常数项c分解成两个因数
Cl.C2，并使a!C2 a2 01正好是一次项 b，那么可以直接写成结果
例三：把2X2-7X+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字 交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数
分解二次项系数(只取正因数)：
2 = 1X2 = 2X1 ；
分解常数项：
3=1 X 3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) X-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
X
2 3
1 X3+2X 1C1 .c2的积
=5
1 3
X
2 1
1 X1+2X 3
=7
1 -1
X
2 -3
1X(-3)+2 X(-1)
=-5
1 -3
X
2 -1
1X(-1)+2 X(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数- 7.
解原式=(x-3)(2x-1).
总结：对于二次三项式 ax2+bx+c(a工0),如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 a= a1 -a2，常数
项c可以分解成两个因数之积，即 c=G.Q，把a1,a2,c1,c2，排列如下：
X
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2 +bx+c的一次项系数 b,
即a1c2 a2G=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1 x+c1与a2x c2之积，即
2
ax +bx+c=( a〔x+ c〔)( a?x+ c?).
这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。
4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来
需要可持续性！
2 2
例四：x • 4x • 4 - y
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式
解：原式=(x 2)2 - y2
=(x+2+y)(x+2-y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。
5】换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
2
例五：(x y) -2(x y) 1分解因式
考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a代替x+y
那么原式=a2-2a+1
=(a -1)2
回代
原式=(x y -1)2
6】主元法
这种方法要难一些，多练即可
即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数
例六：16y 2x2(y 1)2 (y-1)2x4
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以 y为主元会使原式极其烦琐，而以 x为主元的话，
原式的难度就大大降低了。
原式=(y -1)2x4 2(y 1)2x2 16y ------------------------------- 【主元法】
2 2 2 2 2
=(x y -2x y x - 8y)(x 2)--------------------- 【十字相乘法】
可见，十字相乘十分重要。
7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如 ax2 bxy cy2 dx e^ f的二次六项式
在草稿纸上，将 a分解成mn乘积作为一列， c分解成pq乘积作为第二列， f分解成jk乘积作
为第三列，如果 mq + np = b, pk + qj = e , mk + nj = d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则
原式=(mx + py + j)( nx + qy + k)
要诀：把缺少的一项当作系数为 0, 0乘任何数得 0 ,
例七：ab • b2 • a -b -2分解因式
2 2
解：原式=0X1 x a + ab + b + a — b — 2
=(0 Xa + b + 1) ( a + b — 2)
=(b + 1) ( a + b — 2)
8】待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入 这时就要用到 1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解 x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式
例八：x2 +x-2
该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做， X2+X-2=0
一眼看出，该方程有一根为 x=1
那么必有一因式为 (x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2 (因为乘-1要为-2)
一次项系数必为1 (因为与1相乘要为1)
所以另一因式为(x+2)
分解为(x-1)(x+2)
9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候，一定要让第一项抵消
例九：3x3 5x2 -2分解因式
提示：x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)
2
那么该式分解为(x+1)( 3x +2x-2)
因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。
考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。
xy + 6-2x— 3y
(x + 2)(x — 3) + (x + 2)(x + 4)
12xA2 — 29x + 15
x(y + 2) — x — y — 1 5ax+5bx+3ay+3by
2 12a b(x — y) — 4ab(y — x)
(x — 1)2(3x — 2) + (2 — 3x)
2 x — 11x + 24
y2— 12y— 28
2
x + 4x— 5
y4— 3y3 — 28y2
蚊子与牛一样重
从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。 有一天，它找到了牛，并说出了体 重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为 a,牛的体重为b，则有：
a2 — 2ab+ b2=b2 — 2ab+ a2
左右两边分别因式分解为：(a — b)2=(b — a)2
从而就有：a— b=b— a
移项，得：2a=2b,
即a=b
蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！
① 请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样， 那么蚊子的证明究竟错在哪里
呢？
② 讲这个例子的目的何在？
