数学论文 郑发博组
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温州市第五届“摇篮杯”数学小论文
研究主题：关于解析几何中相似三角形顶点变换的研究学校（校区）：温州市实验中学
成员姓名：郑发博陈逸翀王铭浩
指导师：陈青丰
二〇一一年十一月
图2
关于解析几何中相似三角形顶点变换的研究
【简言】：问题主要研究相似三角形的顶点的变换，从坐标轴中寻找规律，证明这些点是否在一条直线上，并尝试求出直线解析式。
关键词：相似三角形 直线 坐标系 直线解析式
【研究缘起】：几何的研究往往要借助于画图，可是一般来说，我们画图只能够抓住图形一瞬间的细节，所以往往得不到一个动态的图形变化规律，所以我喜欢在电脑程序上画图，找到几何图形动态变换的规律。
有一天，我在研究三角形在平面直角坐标系内的变化时，意外发现了一个规律。
【问题切入】：在平面直角坐标系内作了一个三角形（如图1，比如这个三角形是底角40°的等腰三角 形），并采用了一种变换方式：保持它的 内角度数不变，改变其边长，即三角形 无论怎么变换都相似。
在这个前提下，
我们把这个三角形底边的两个点都放在坐标系的两条坐标轴上，保持一个点不动，移动另一个点时，无论怎么移动，这个三角形的顶点总会在同一直线上。
同时，更特殊的是，如果我所作三角 形的顶角为90°（如图2，比如我们作 了一个含30°角的直角三角形），其他条 件不变，那么无论我们怎样改变它的位于
图1
坐标轴上的两点，哪怕是两点的位置同时改变，三角形的直角顶点也会始终位于同一直线上，而且这一直线恒过原点，（关于点的集合在一条直线上，以及直线恒过原点的性质我们不仅仅画过如图两个，我们画过很多图，大量事实表明如上结论）。
于是我们决定将这个探究从证明以上图形的特殊性质入手。
【问题探究】①我们首先研究了当顶点的角度为90°时的特殊形。
第一种情况：
如图，已知∠ABC=90
∵∠ABC=∠AOC=90°
∴A、B、C、O
∴∠BOC=∠CAB
∵∠CAB度数固定为α
∴∠BOC
∴无论AC
直线BO与X
∴无论AC变到任意位置，点B始终在与X轴夹角为α且经过原点的Array直线上，命题成立。
第二种情况：
如图，已知∠ABC=90°，连结
∵∠AOC=∠ABC=90°
∴A、B、C、0四点共圆
∴∠COB =∠BAC
∵∠BAC度数固定为α。
∴∠COB度数固定也为α。
∴无论AC变到任意位置，与X轴夹角为α且经过原点的直线上，命题成立。
而且由点斜式可得出此直线的解析式为y=x*tanα。
问题探究：②然后，我们研究了当三角形的顶角是任意角度时，固定一个坐标轴上的点不变，改变另一个点的位置时的情况。
如图所示，在一般的三角形ABC中，B点和A点分别在X轴和Y 轴上，保持A点不动，将△ABC分别移至AB1C1和△AB2C2处，则可得C1C2所在的直线，然后将△ABC任意移至AB3C3处，若可以证得C3在C1C2所在的直线上，即C1C2C3共线，即可证得点A不动，点B移到任意位
置，三角形的对应顶点C在一条确定的直线上。
易证△AB1C1∽△AB2C2∽△AB2C2
∴AB2/AB3=AC2/AC3,
又∵∠B2AC2=∠B3AC3，
∴∠B2AC2-∠B3AC2=∠B3AC3-∠B3AC2,即∠B2AB3=∠C2AC3，
∴△AB2B3∽△AC2C3,
∴∠AB1B2=∠AC2C3，同理，△AB1B2∽△AC1C2,∴∠AB2B1=∠AC2C1,
由此可得∠AC2C1+∠AC2C3=∠AB2B1+∠AB2B3=180°，
∴C1,C2,C3三点共线。
进而，我们又想深入探究这个问题：即C1C2C3这一直线在坐标系中的解析式，假设∠C2AB2=∠C1AB1=α，A（0，a），∠AB2C2=β，
∵所有与此
三角形相似Array并且A与之
重合，Bx在
x轴上的三
角形的Cx
点在同一直
线上，
∴只要求出
其中任意两
点确定的直
线即可。
（如上图）
由以上已经证明结论知：△AC1C2∽△AB1B2，∠AB1D=∠AC1D，
∴A、B1、C1、D四点共圆，∠C1DB1=C1AB1=α
∵△AB1C1为已知的三角形，作△AB0C0∽△AB1C1，且C0在y轴上，（如下图）
在Rt△AB0O中，∵∠B0AO=α，A（0，y）
∴OB0=a*tanα，B0（-a*tanα，0）
又∵∠AB0C0=β，在Rt△OB0C0中，∴∠OB0C0=（90-α-β）
∴OC0=a*tanα*tan（90-α-β），C0（0，a*tanα*tan（90-α-β））∵直线C1C2过C0且与x轴的夹角为α，
∴由点斜式y-y0=tanα(x-x0)得
y- a*tanα*tan（90-α-β）=tanα(x-0)
化简得y=x*tanα+ a*tanα*tan（90-α-β）为C1,C2,C3,…C n构成的点的集合的解析式。
问题探究：③在这以上的情况下，命题确实成立，然而在以上条件中，A是固定点，使三角形形状发生变化的是动点B，从而使C处于同一直线上。
然而当A、B两点同时发生变化时，图形中的C点的集合又是否会在同一直线上呢？经过我们的画图，证明此命题是有误的（如左图），明显可以看出坐标系上的点有点杂乱，可是又似乎在图上隐隐约约可以看出一个平行四边形的轮廓，于是我随意画了更多的点寻找规律，由另外一些点更多的图（如下图）中看出这些点是在一个范围
内。
但是经过我们
组的讨论，我们发
现这是错误的，这
些点并不在一个限
制的图形内，他们
能构成一个鲜明轮
廓的原因是几何画板的任意值也是有一定范围的。
【总结】于是，综合以上三个探究，我们基本得出坐标系中相似三角形顶点变换的规律，如下：
Ⅰ、有两个锐角顶点分别在x、y轴上并且相似的直角三角形的直角顶点位于同一条直线上，若位于y轴上的点的角度为α，则它的解析式为y=x*tanα；
Ⅱ、有同一顶点位于y轴上，且有另一顶点在x轴上的相似的三角形的第三个顶点在一条直线上，若在y轴上的顶点的角度是α，在x轴上的角度是β，在y轴上的点的坐标为（0，a），则这条直线的解析式是y= x*tanα+ a*tanα*tan（90-α-β）。
