【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)指数与指数函数教学案

第七节指数与指数函数

[知识能否忆起]

一、根式

1．根式的概念

根式的概念 符号表示 备注

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N*

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 na 零的n次方根是零

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 ±na(a>0) 负数没有偶次方根

2．两个重要公式

(1)nan＝ a，

n为奇数，|a|＝ aa，－aa＜， n为偶数；

(2)(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．

二、有理数指数幂

1．幂的有关概念

(1)正分数指数幂：amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(2)负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

2．有理数指数幂的性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

三、指数函数的图象和性质

函数 y＝ax(a>0，且a≠1)

图象 01

图象特征 在x轴上方，过定点(0,1)

性

质 定义域

R

值域 (0，＋∞)

单调性 减函数 增函数

函数值变化规律 当x>0时，y>1

当x<0时，y>1；当x>0时，0

当x＝0时，y＝1

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )

A．－9 B．7

C．－10 D．9

解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.

2．(教材习题改编)函数f(x)＝1－2x的定义域是( )

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

解析：选A ∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0.

3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )

A．(1,5) B．(1,4)

C．(0,4) D．(4,0)

解析：选A 当x＝1时，f(x)＝5.

4．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a的值为________．

解析：∵a2－3a＋3＝1，∴a＝2或a＝1(舍)．

答案：2

5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知0

答案：(－2，－1)∪(1，2)

1.分数指数幂与根式的关系：

分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．

2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论．

指数式的化简与求值

典题导入

[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)．

(1)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5；

(2)2790.5＋0.1－2＋21027－23－3π0＋3748.

[自主解答] (1)原式＝a－13b12·a－12b13a16b56

＝a－13－12－16·b12＋13－56＝1a.

(2)原式＝25912＋10.12＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.

由题悟法

指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．

以题试法

1．计算： (1)(0.027)－13－－17－2＋27912－(2－1)0；

(2)14－12·4ab－130.1－2a3b－312.

解：(1)原式＝271 000－13－(－1)－217－2＋25912－1

＝103－49＋53－1＝－45.

(2)原式＝412·432100·a32·a－32·b32·b－32

＝425a0·b0＝425.

指数函数的图象及应用

典题导入

[例2] (2012·四川高考)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

[自主解答] 法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.

法二：当a>1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，排除选项A、B；

当0

[答案] C

由题悟法

1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

以题试法

2．(1)(2012·北京模拟)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是( )

A．关于y轴对称 B．关于x轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称

(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．

解析：(1)∵y＝12x＝2－x，∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．

(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

答案：(1)A (2)1

指数函数的性质及应用

典题导入

[例3] 已知函数f(x)＝23|x|－a.则函数f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

[自主解答] 令t＝|x|－a，则f(x)＝23t，

不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，

又y＝23t是单调递减的，

因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，

单调递减区间是[0，＋∞)．

[答案] (－∞，0] [0，＋∞)

在本例条件下，若f(x)的最大值等于94，则a＝______.

解析：由于f(x)的最大值是94，且94＝23－2， 所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，

从而a＝2. 答案：2

由题悟法

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．

以题试法

3．(1)(2012·福州质检)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )

A．a>b>c B．a>c>b

C．c>a>b D．b>c>a

(2)(2012·上海高考)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.

(2)结合函数图象求解．因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.

答案：(1)A (2)(－∞，1]

[典例] 函数y＝14x－12x＋1在x∈[－3,2]上

的值域是________．

[常规解法] y＝14x－12x＋1＝12x2－12x＋1＝12x－122＋34，

因为x∈[－3,2]，所以14≤12x≤8.

当12x＝12时，ymin＝34；当12x＝8时，ymax＝57. 所以函数y的值域为34，57.

[答案] 34，57

——————[高手支招]——————————————————————————

1．解答本题可利用换元法，即令t＝12x，把函数化为y＝t2－t＋1，其中t∈14，8，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域．

2．对于含ax、a2x的表达式，通常可以令t＝ax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系．

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[巧思妙解] 因为x∈[－3,2]，若令t＝12x，则t∈14，8.则y＝t2－t＋1＝t－122＋34.

当t＝12时ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.答案为34，57.

针对训练

若0

解析：令t＝ax(0

则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．

因为0

此时f(t)在a，1a上为增函数．

所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.

所以1a＋12＝16，

所以a＝－15或a＝13.

又因为a>0，所以a＝13.

答案：13