典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π
2
)，求cos α的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π
6个
单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――――→数量积运算
辅助角公式得f (x )
――→对称性
周期性求出ω()2f α−−−−和差公式
cos α (2)y ＝f (x )―――→图象变换
y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间
评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；
2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π
3)时没有考虑范围扣1分；
3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．
跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π
2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π
2]上有且只有一
个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －1
2
＝
32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π
6
)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，
所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π
6
)．
(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π
3)的图象；再将所得图象上所有点
的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π
3)，
因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π
3，
所以g (x )∈[－
3
2
，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π
2]上
有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <3
2
或－k ＝1， 解得－
322
或k ＝－1，
所以实数k 的取值范围是(－
32，3
2
]∪{－1}.
典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63
，B ＝A ＋π
2.
(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．
审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝1
2ac sin B
方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝1
2ab sin C
评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．
2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；
面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝1
2ab sin C 计算，同样得分．
跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b
， (1)求B 的大小；
(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →
的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝
3a
b
， 由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝
3sin A
sin B
， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )
3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0
3.
(2)由余弦定理可得：
2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即：3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，
∴AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.
典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.
a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn
(1)求a n 1和a 4n ；
