华罗庚学校数学教材(六年级下)第09讲 从算术到代数(一)

本系列共14讲第九讲从算术到代数（一）.文档贡献者：与你的缘

算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代

数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.

在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的

加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复

杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以

下三种关系：

①部分数与总数的关系；

②两数差的关系；

③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系

用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运

算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交

换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成

立：

交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a

结合律：（a+b）+c=a+（b＋c）

（a×b）×c=a×（b×c）

分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c.

另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类

型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解

释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，

对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方

法解应用题是不带普遍性的.

代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”

来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.

用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，

u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知

数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为

算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确

定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的

原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学

过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都

成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只

要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起

来用代数方法解应用题的步骤如下：

1.设未知数.常用x，y，z，t，s，…等字母表示.

2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表

未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表

示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数

量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有n个

相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.

3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如ax＝b的方程，进而解出，一般步骤是：bxa=①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出

来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）.

例164+x=3（32-x）（1）

64+x=96-3（2）

x+3x=96-64（3）

4x＝32（4）

x=8.（5）

②移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开

来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成

（3）.

③合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.

④用未知数的系数去除方程两端求出x的值.如上例中的（4）变

成（5）.

4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，

二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.

先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”

作一比较.

例2车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5

元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔40元.这批玻璃运到后，车站共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.

解：①算术解法：假如设有损坏，2000箱玻璃全运到，则应得

运货款：2000×5=10000（元）.

和实际所得运货款相差：

10000-9190=810（元）.

现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数2000不变，

但每换一箱所得运货款减少：

40＋5=45（元）

那么换多少箱，货款正好减少多出来的810元呢？做除法：

810÷45＝18（箱）.

答：共换坏了18箱.

②代数解法：

设损坏了x箱，则没损坏的共2000-x箱.

依题意列方程

5（2000-x）－40x=9190

45x=10000－9190

45x=810

x=18.

答：损坏了18箱.

比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在

后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于

说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的

不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.

例3一年级72名学生共交了□52.7□元课本费，其中的百位数

和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？

解：72＝8×9，

又∵（8，9）=1

∴原数为25272分，

∴每人应交：

25272÷72=351（分）.

答：每人交3.51元.

例4求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然数.

解：∵该数被6除余4（1）

又该数被10除余8（2）

∴该数是偶数.

再从被9除余4的偶数中从小到大挑选符合条件（1）、（2）的数：

4，4＋9×2=22，22＋9×2=40，40+9×2=58，

又58÷6=9…4

58÷10=5…8

58÷9＝6…4

答：58为所求最小自然数.

例5三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲

送给乙、丙画片，所送的张数等于乙、丙各人已有的画片数；第二次由乙送给甲、丙画片，所送的张数等于甲、丙各人已有的画片数；最

后由丙送给甲、乙画片，所送的张数也正好等于甲、乙各人已有的画

片数.这时每人的画片数都是32张.问原来甲、乙、丙三人各有多少

张画片？

解：用倒推法.由最后每人都是32张画片开始，在下面表格里由

上行到下一行逐行填写，可知在第三次丙送画片前，乙送完画片后三人手中的画片数应分别为甲＝＝16（张），乙＝=16（张），丙322322=16+16+32=64（张）；同理，在第二次乙送画片前，甲送完画片后三人手中的画片数应分别为甲==8（张），乙=8+16+32=56（张），丙162=32（张）…可推知原来：丙有16张，乙有28张，甲有8＋28＋16=52642（张）.

答：原来甲有52张，乙有28张，丙有16张画片.

例6有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地.

乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出20分

钟，出发后1小时40分钟追上丙.那么甲出发后需用多少分钟才能追

上乙？

解法1：设三车速度依次为V甲，V乙，V丙.丙比乙早出发10分钟，乙追上丙耗40分钟，是典型的追及问题：

乙追丙耗时：40=，推出：。10VVV−丙乙丙54VV=乙丙丙比甲早出发30分钟，甲追上丙耗100分钟，也是追及问题：甲追丙耗时：100=，推出：。30VVV−丙甲丙1310VV=甲丙

甲比乙晚20分钟出发，追及时间=。现在、都用20VVV−乙乙甲V甲V乙V丙

的某个倍数代入：追及时间===500（分钟）5204135104VVV×−丙丙丙2526252020−

解法1既用了算术的追及问题公式，又用了列方程的代数方法.

下面再介绍一种列表法，对解这类题更方便.

解法2：我们把题中的条件按下列方式填入下面表格中：让同一

列格子中填行相同路程时甲、乙、丙三辆汽车各自所需的时间，如第

一列中填入稍稍转化了的已知条件：乙走40分钟的路程丙需走40＋

10=50（分钟）；第二列中填入甲走100分钟的路程丙需用100＋20＋

10=130（分钟）.以前两列中条件的关系，再根据当速度一定时路程

与时间成正比的性质，当丙走650=[50，130]分钟的路程时乙需用40

×13=520（分钟），甲则需用100×5=500分钟.由于乙比甲早出发20

分钟，恰为520分钟与500分钟之差，因此甲出发后500分钟时追上

乙.

答：甲出发后需500分钟才能追上乙.

说明：一般地，当知道丙走c分钟的路程与甲走a分钟、乙走b分钟的路程相等时，可列一方程求出所需的答案。设甲出发后ax分

钟追上乙，则。（20为乙比甲早出发的分钟数）因此20bxax=+，，即甲出发后分钟追上乙。20xba=−20aaxba=−20aba−在本题的条件下，c=650，a=500，b=520.因此，==500（分钟）20aba−20500520500×−例7星期日小明去找同学玩了两三个小时，离开家时他看了看

钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置.问小

明共离开家多少时间？

解：因为小明离家回来时时针走到分针位置，分针走到时针位置，

说明两针合起来恰好走了若干个整圈.设外出时间分为二个时段，第

一段为2小时.小明出去整2小时，分针就应转过2圈，转回原处，而时针两小时走了圈。紧接着在第二个时间段，形成两针互换位置，212两针合起来在第二时段内必须再走（1－）圈。由于分针在钟盘上212转圈的速度是时针的12倍，所以在第二时段内分针要走其中的（1－）×圈。故分针要走：2121213（分钟）2122(1)6046121313−××=答：小明离家共2小时又分钟。24613习题九

1.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，

它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，求原来这个两位数与

新得到的两位数的和.

2.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上的数字是一个

两位数再过一小时，里程碑上是三位数，又恰好是第一个两位数中间加了个零（用表示），马上看看手表记下时间，一个小时以后，再AB看里程碑，上面仍然是一个两位数，不过恰好是第一个两位数颠倒了顺序（用表示）。再过一小时，里程碑是上三位数，又恰好是第一BA个两位数中间加了个零（用表示）。请问车速是多少？三个里程0AB碑上的数字各是多少？

3.在一个红钱包与一个黑钱包里分别装着6枚和8枚硬币，并且

两个钱包中的总钱数相等.如果从红钱包中任取两枚硬币与黑钱包中

任取的两枚硬币交换时，红钱包中的总钱数要么比原来多2分，要么

比原来的钱数少2分.问两个钱包中共装了多少钱？（注：这里的硬

币只有1分、2分、5分三种）