2017年闵行区初三数学竞赛 (上海市初三数学竞赛选拔赛)
一、填空题
1. 因式分解：4
2
2
4
34x x y y ++=______________.
2. 对某个正整数，求其各位数字的平方和，称为对该数作了一次“操作”，那么对2017作2017次“操作”所得的是______________.
3. 直线l 与反比例函数12
y x
=的图像交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，且与直线3
2
y x =
平行，若点C 、D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则直线l 的表达式为______________.
4. 如果等腰三角形一腰上的高与该腰所对底角的平分线 的夹角为12°，则此等腰三角形的顶角度数为_________.
5. 如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中 央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正 中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右 方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到 一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为 .
6. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 上，若AD =DE =EF =FB =1，BC
，则边AB 的长为______________.
7. 平面直角坐标系中点（4,0），（0,3），（3,6）和（8,2），如果直线l 到其中两个点的距离相等，且其到另两个点的距离也相等，则满足条件的直线l 共有______________条.
8. 如图，点E 、F 分别位于正方形ABCD 边AD 和边AB 延长线上，且DE =BF ，EF 与AC 交于点G ，如果AC ∶EF =3∶4，那么AG ∶GC =______________. 9. 有A 、B 、C 、D 四个人，各自对某个两位数用两句话表述：
A ：“用2除余1，用3除余2.”
B ：“用4除余3，用5除余4.”
C ：“用6除余5，用7除余6.”
D ：“用8除余7，用9除余8.”
已知四个人每人都只说对了一句话，而另一句是错的，则这个两位数是______________. 10. 将1,2,3,4,5,6,7排成一列，其排法数为7！=5040种.排列需使数列中恰好有一项比其前一项小，则在5040种排列中满足条件的个数是______________. 二、解答题
11.某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次，如果每小时付给工人计时工资G F E
D
C
B A F
E D
C B
A
12.设c b a >>，12
2
2
=++=++c b a c b a ，试求b a +的取值范围.
13.如图，正方形ABCD 的边长为1，沿过其中心O 的直线将该正方形折叠，折痕为EF ，折叠后重合部分为五边形EFPQR ，求五边形EFPQR 面积的最小值.
14.如图一个10×10的网格，联结其中某些单位正方形的对角线，要求所得对角线均无公共点，那么这样的对角线最多有多少条？
2017年闵行区初三数学竞赛 (上海市初三数学竞赛选拔赛)
一、填空题
1. 因式分解：4
2
2
4
34x x y y ++=______________. 解：()()22
2
222x xy y x
xy y ++-+
2. 对某个正整数，求其各位数字的平方和，称为对该数作了一次“操作”，那么对2017作2017次“操作”所得的是______________. 解：145
3. 直线l 与反比例函数12
y x
=的图像交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，且与直线3
2y x =
平行，若点C 、D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则直线l 的表达式为______________. 解：3
32
y x =
±
4. 如果等腰三角形一腰上的高与该腰所对底角的平分线的夹角为12°，则此等腰三角形的顶角度数为_________. 解：44或76
5. 如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中 央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正 中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右 方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到 一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为 . 解：76
6. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 上，若AD =DE =EF =FB =1，BC
，则边AB 的长为______________.
1 G F
E
D
C
B
A
F
E
D
C B
A
7. 平面直角坐标系中点（4,0），（0,3），（3,6）和（8,2），如果直线l 到其中两个点的距离相等，且其到另两个点的距离也相等，则满足条件的直线l 共有______________条. 解：9
8. 如图，点E 、F 分别位于正方形ABCD 边AD 和边AB 延长线上，且DE =BF ，EF 与AC 交于点G ，如果AC ∶EF =3∶4，那么AG ∶GC =______________. 解：1∶8
9. 有A 、B 、C 、D 四个人，各自对某个两位数用两句话表述：
A ：“用2除余1，用3除余2.”
B ：“用4除余3，用5除余4.”
C ：“用6除余5，用7除余6.”
D ：“用8除余7，用9除余8.”
已知四个人每人都只说对了一句话，而另一句是错的，则这个两位数是______________. 解：55
10. 将1,2,3,4,5,6,7排成一列，其排法数为7！=5040种.排列需使数列中恰好有一项比其前一项小，则在5040种排列中满足条件的个数是______________. 解：120
二、解答题
11.某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次，如果每小时付给工人计时工资40元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资60元，工人按此计时钟所示做完8小时工作（8小时为规定工作时间），那么工厂应付工人工资多少元？
解：346元（标准时钟每
720
11
分钟分针与时针重合一次，所以工厂的时钟显示8小时折合标准时间为506分钟，工资为34元）
12.设c b a >>，12
2
2
=++=++c b a c b a ，试求b a +的取值范围. 解：413a b <+<
（用韦达定理构造以a 、b 为根的方程，由判别式得：1
13
c -<<；再由()()()()0
00
a c
b
c a c c b c a c b c -+->⎧>⎧⎪⇔⇒<⎨⎨>-->⎩⎪⎩）
13.如图，正方形ABCD的边长为1，沿过其中心O的直线将该正方形折叠，折痕为EF，折叠后重合部分为五边形EFPQR，求五边形EFPQR面积的最小值.
1（
1
=
2AER DPQ
S S S
--
△△
五边形
，设法证四个小三角形全等或周长均为1，当小三
角形为等腰直角三角形时，面积最大，此时五边形面积最小）
14.如图一个10×10的网格，联结其中某些单位正方形的对角线，要求所得对角线均无公共点，那么这样的对角线最多有多少条？
解：55（存在性：L型构造，即左第一列与下第一行共19条，左第三列与下第三行共15条，左第五列与下第五行共11条，左第七列与下第七行共7条，左第九列与下第九行共3条，共55条。
完备性：第2、4、6、8、10列格点，共5×11=55个，易知每条对角线均联结其中某个格点）。
