2016上海大同杯数学竞赛试题

上海市第三十届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2016年3月13日上午9：00~10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。

全卷满分150分。

2、考试时间为90分钟。

3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。

允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。

4、常数g=10N/kg。

sin37°=0.6；cos37°=0.8第一部分：单项选择题1．下列用电器中，利用电流热效应工作的是( )(A)电视机(B)电热毯(C)电风扇(D)电脑【答案】B2．目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全球卫星定位系统)接收器的装置。

GPS 接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。

卫星向GPS接收器传送信息依靠的是( )(A)无线电波(B)红外线(C)紫外线(D)激光【答案】A3．在如图所示的四种现象中，可用光的反射定律解释的是( )(A)林中光影(B)日食(C)雨后彩虹(D)水中倒影【答案】D4．甲、乙两个物体相互接触后不发生热传递，这是因为它们具有相同的( )(A)密度(B)温度(C)体积(D)热量【答案】B5．如图所示，水平桌面上叠放着甲、乙两个物体，在拉力F的作用下，乙、甲以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有( )(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个【答案】5【分析】匀速运动甲乙之间不存在摩擦，只有甲对乙的压力。

6．如图所示，两板间夹一木块A，向左右两板施加压力F时，木块A静止，若将压力都增大到2F，则木块A所受的摩擦力( )(A)是原来的2倍(B)是原来的4倍(C)与原来相同(D)无法判断【答案】C【分析】竖直方向，物体受重力和静摩擦力，始终而力平衡。

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。

应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。

要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。

从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。

//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。

第二十二届上海市初中物理竞赛 复赛说明：1．本试卷共有五大题，答题时间为120分钟，试题满分为150分。

2．答案及解答过程均写在答卷纸上。

其中第一、第二大题只要写出答案，不写解答过程；第三至第五大题按题型要求写出完整的解答过程。

解答过程中可以使用计算器。

3．考试完毕只交答卷纸，试卷可以带回。

4．本试卷中常数g 取10 N/kg ，水的比热容4.2⨯103 J/kg ︒C ，水的密度1.0⨯103 kg/m 3，冰的密度0.9⨯103 kg/m 3。

一、选择题（以下每题只有一个选项符合题意，每小题4分，共32分） 1．根据你的日常生活经验，你认为雪的密度（ ）（A ）大于103 kg/m 3 （B ）小于103 kg/m 3（C ）等于103 kg/m 3 （D ）以上三种情况都有可能2．彩色电视荧光屏上呈现各种颜色，都是由3种基本色光合成的，这3种基本色光是（）（A ）红、橙、黄 （B ）黄、绿、蓝 （C ）橙、靛、紫（D ）绿、红、蓝3．如图所示，斜面上质量为m 的物体受到方向沿斜面向上、大小为7 N 的力F 作用物体静止在斜面上，则关于斜面对物体的静摩擦力，以下说法中正确的是（）（A ）方向一定沿斜面向上 （B ）方向一定沿斜面向下 （C ）大小不可能大于7 N （D ）大小可能等于7 N4．如果不考虑散热的影响，给一定质量的水加热，水的温度与时间的关系如图中实线a 所示，其他条件不变，仅将水的质量增加，则水的温度与时间的关系图像正确的是（）（A ）a（B ）b（C ）c（D ）d5．在大楼电梯的箱顶上用绳悬挂一个物体，电梯静止时剪断悬绳，物体下落至电梯底板所需时间为t 1，电梯在匀速下降过程中，剪断悬绳，物体下落至电梯底板所需时间为t 2，则（） （A ）t 1大于t 2（B ）t 1小于t 2（C ）t 1等于t 2 （D ）无法判断6．白炽灯泡用旧后，灯丝容易在最细处熔断。

这是因为旧白炽灯在工作时，灯丝最细处（） （A ）通过的电流最大 （B ）发热的功率最大 （C ）通过的电量最大（D ）电阻率最大7．如图a 所示，在一个电阻均匀的金属圆环上有两A 、B 、C 、D 四点。

2016届大同中学高三数学10月考试试题 2015年10月9日班级 姓名 学号 成绩一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内1.集合2{(,)|,},{(,)|,}A x y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，则A B ={}（0,0）,(1,1).2. 已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．给出下列四个命题：① M 的元素不都是P 的元素； ② M 的元素都不是P 的元素；③ M 中有P 的元素； ④ 存在M x ∈，使得P x ∉.其中真命题的序号是 ① ， ④ ．（将正确命题的序号都填上）3. 已知x y 、均是正实数，且21x y +=，则11x y+的最小值是 322+ ． 4. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有0、1、2 ， 则实数b 的取值范围为24b <<．5. 已知函数23()log log 2(,f x a x b x a b =-+为实常数），且1()42015f =,则(2015)f 的值为 0 ．6．函数y =3-|x -1|-m 的图象与x 轴有交点时，m 的取值范围是 (]0,1 .7．对于定义在R 上的函数f （x ），若实数x 0满足f （x 0）=x 0，则称x 0是函数f （xf (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是 ()1,3- ．8. 对于在区间],[b a 上有意义的两个函数)(x f 和)(x g ，如果对任意],[b a x ∈，均有|()()|1f x g x -<,那么我们称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是接近的．若2()log (1)f x kx =+与x x g 2log )(=在闭区间]2,1[上是接近的，则实数k 的一个可能值是 （0，1） 中的值 ．9.若椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是221259x y += ． 10.设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且对所有自然数n 12n n a S +=，则S n = 2n ． 11. （理） 已知函数3()f x x x =+，关于x 的不等式(2)()0f mx f x -+<在区间[1,2]上有解，则实数m 的取值范围为 1m < ．（文）已知函数()()12,2++=-=ax x x g a x x f （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图像，在y轴上的截距相等，则a 的值为 1 ．12.（理）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 262n n -+ ． （文）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 9513.(理） 集合A ={ t | t Z ∈, 且关于x 的不等式22x x t ≤--至少有一个负数解 },则集合A 中的元素之和等于 2- ．（文）已知136)(2+--=x x x x f ，且定义域为[]1,0，则函数()f x 的最小值为 -4 14. （理）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、a b∈P （除数b ≠0），则称PQ 是数域；数集{},F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④ ③④ ．（把你认为正确的命题的序号填填上） （文）若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以是_ ()()()()1,1,1,1,3,30a b ---+=等等满足即可．(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑2215.,x y R x y x y ∈>>若，则“”是“”的 ( D )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设()11x f x x+=-，记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2015f x = ( C ) A ．1x - B ．x C ．11x x -+ D ．11x x+- 17. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(0)1f =，则(2016)f 的值为 ( B )A ．0B ．1C ．2015D ．201618. 不等式222xy ax y ≤+ 对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的范围是 ( C ) A. 3519a -≤≤- B.3a ≥- C.1a ≥- D.31a -≤≤-三、解答题（本大题满分74分） 本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19. （本题满分12分）已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解：（1）22()1sin 2sin cos 1sin 2cos2f x x x x x x =++-=+-π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x1； （2）由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos25θθ-=，两边平方得 91sin 425θ-=，即16sin 425θ=． 因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20. （本题满分12分）关于x 的不等式 31()x Z x>∈的解集为A ，关于x 的方程220()x mx m R -+=∈ 的解集为B . （1）求集合A ；（2）若 B A B =，求实数m 的取值范围.解：（1）A ={1,2} (2) BA B = 即B ⊆A.集合A={1，2}的子集有φ、{1}、{2}、{1，2}. 当B φ=时，280m ∆=-<，解得22m 22<<-.当B ={1}或{2}时，2280,80,120,4220.m m m m ⎧⎧∆=-=∆=-=⎨⎨-+=-+=⎩⎩或，则m 无解. 当B ={1，2}时，280,12, 3.3.12 2.m m m m m m ⎧∆=->⎧<->⎪⎪+=⇒⇒=⎨⎨=⎪⎩⎪⨯=⎩ 综上所述，实数m的取值范围是m -<<m =3.21. （本题满分14分） 过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B C 、，（理）在BC 上取一点P ，使P 点满足：AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ（文）在线段BC 取一点P ，使点B P C 、、的横坐标的倒数成等差数列（1）求点P 的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R S 、，求MRS ∆面积的最大值.解：（1）（理）令),(y x P ，因为AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ所以)(,x x x x x x C B C B -=-=λλCB C B C B C B x x x x x x x x x x x +=∴=--∴2, ① 设过A 所作的直线方程为a kx y +=，（显然k 存在）又由22(2)1y kx ax y =+⎧⎨-+=⎩得222(1)(24)30k x ak x a ++-++= 222423,11B C B C ak a x x x x k k -+∴+==++ 代入①，得2323,22a a k x y kx a ak ak++=∴=+=-- 消去k ，得所求轨迹为230x ay --=，（在圆M 内部）（文）令),(y x P ，因为点B 、P 、C 的横坐标的倒数成等差数列所以 2211B c B c B cx x x x x x x x =+⇒=+ （以下同理） （2）上述轨迹过为定点（3,02）的直线在圆M 内部分，由22230(2)1x ay x y --=⎧⎨-+=⎩得22(4)230a y ay +--=则12||y y -==1122MRS S ∴=⨯⨯== 令23t a =+，则3t ≥，而函数1()f t t t =+在3t ≥时递增，4MRS S ∴≤=max |MRS S ∴= ，此时0,3==a t . 22. （本题满分18分）函数()y f x =的定义域{|,0}D x x R x =∈≠且，对定义域D 内任意两个实数12,x x ，都有1212()()()f x f x f x x +=成立.（1）求(1)f -的值并证明()y f x =为偶函数；（2） 若(4)4f -=，记 (1)(2)(,1)n n n a f n N n =-⋅∈≥，求数列{}n a 的前2015项的和2015S ；（3）（理） 若1()0x f x ><时,，且不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对任意正实数,x y 恒成立，求非零实数a 的取值范围.（文）若1()0x f x ><时,，解关于x 的不等式 (3)0f x -≥.（1）赋值得(1)(1)0f f =-=，()(1)()()f x f f x f x -=-+=为偶函数（2） (4)4f -=得(2)2f =，1(2)(2)(2)n n f f f -=+；(2)2n f n =2(1)n n a n =⋅-，20152016S =-（3）设 101,1x x <<>则，10(1)()()f f x f x ==+，得()0(01)f x x ><<（理）)()()(22a f xy f y x f +≤+得0f ≤⇔1≥||a ≤,≥，从而0||a <≤.（文）(3)0f x -≥⇔0|3|1x <-≤⇔233<x 4x ≤<≤或 .23. （本题满分18分） 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知二次函数2()f x x x =+的定义域D 恰是不等式 ()()2||f x f x x -+≤的解集,其值域为A . 函数 31()32g x x tx t =-+ 的定义域为 [0,1] ，值域为B .（1） 求f (x ) 的定义域D 和值域 A ；（2）（理） 试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数0(0,1)x ∈，使得函数 31()32g x x tx t =-+在0[0,]x 上单调递减，在0[,1]x 上单调递增，求实数t 的取值范围并用t 表示0x .（3）（理） 是否存在实数t ，使得A ⊆ B 成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）（文） 是否存在负实数t ，使得A ⊆ B 成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）（文） 若函数31()32g x x tx t =-+ 在定义域 [0,1]上单调递减，求实数t 的取值范围. 解：（1）定义域D =[－1,1] 值域 A=1[,2]4-（2）（理）在0[0,]x 上任取12,x x ，且12x x <，则12()()g x g x >，得1222123t x x x x >++，得0233t x ≥ ； 同理 由在0[,1]x 上单调递增得0233t x ≤ ；所以 00233,t x x ==.由0(0,1)x ∈得(0,1)t ∈ （3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g(x)的单调性① 当 t ≤0时，函数 g (x ) = x 3－3tx + t 2 在 x ∈[0,1]单调递增，∴B = [t 2 ,t 251-]， ∴15121,2422t t t ≤-≤-≤-且解得， ② 当 0 < t < 1 时，函数 g (x )的减区间为：],0[t ；g (x )的增区间为：[t ,1].g (x )在 x = t 达到最小值.1(0)2(1)24g g g ≥≥≤-或；且 此与0 < t < 1矛盾. ③ 当t ≥1时，函数 g (x ) 在区间 [0,1]单调递减， ∴B = [2,251t t -] ∴51214224t t t ≥-≤-≥且，即 综上所述：t 的取值范围是：),4[]21,(+∞⋃--∞. （2）（文） 即（3）（理） ① 得 12t ≤-. （3）（文） 类比 （2）（理） 得1t ≥ .。

上海市第三十届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2016年3月31日上午9：00~10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。

全卷满分150分。

2、考试时间为90分钟。

3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。

允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。

4、常数g=10N/kg。

sin37°=0.6；cos37°=0.8第一部分：单项选择题1．下列用电器中，利用电流热效应工作的是()(A)电视机(B)电热毯(C)电风扇(D)电脑【答案】B2．目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全球卫星定位系统)接收器的装置。

GPS接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。

卫星向GPS接收器传送信息依靠的是()(A)无线电波(B)红外线(C)紫外线(D)激光【答案】A3．在如图所示的四种现象中，可用光的反射定律解释的是()(A)林中光影(B)日食(C)雨后彩虹(D)水中倒影【答案】D4．甲、乙两个物体相互接触后不发生热传递，这是因为它们具有相同的()(A)密度(B)温度(C)体积(D)热量【答案】B5．如图所示，水平桌面上叠放着甲、乙两个物体，在拉力F的作用下，乙、甲以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有()(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个【答案】5【分析】匀速运动甲乙之间不存在摩擦，只有甲对乙的压力。

6．如图所示，两板间夹一木块A，向左右两板施加压力F时，木块A静止，若将压力都增大到2F，则木块A所受的摩擦力()(A)是原来的2倍(B)是原来的4倍(C)与原来相同(D)无法判断【答案】C【分析】竖直方向，物体受重力和静摩擦力，始终而力平衡。

2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器 一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 3．若a 2＋b 2＝4＝ ．4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等．已知2017CD AB =，则BCAD的值为 ． 6．若x 、y 都是正数，且79xy x y ++=，则22x y xy -+的最大值为 ． 7．有一个六位数，它的数码和可被26整除．这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 ．8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧BD 的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD ，则AB ＝ ．二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分) 9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．(第8题图)10．求所有的素数对(p，q)，使得p2＋10pq＋9q2为完全平方数？11．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，DA，CB的延长线交于点Q．过点P作PE⊥BC，交边AB于点E．若PQ⊥AC，证明：点E为边AB的中点．Array(第11题图)12．从1，2，3，…，2017中选取n个数，使得这n个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n的最大值．2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 解：－3．由题设，b ＞0，不等式x a b +<等价于－a －b ＜x ＜－a ＋b ．从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得a ＝－3，b ＝1，ab ＝－3．2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 解：－9．由x ＋y ＝2，得x ＝2－y ，则()2326444z y y y y y +=---=---，即()2320z y +++=．因此z ＝－3，y ＝－2，x ＝4，x ＋2y ＋3z ＝－9.3．若a 2＋b 2＝4＝ ．解：2．由a 2＋b 2＝4，得－2≤a 、b ≤2，所以a ＋2≥0，且b －3＜0． 又ab －3a ＋2b －6≥0，即(a ＋2)(b －3)≥0， 所以a ＝－2，b ＝0，原式＝2．4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 解：0＜a ＜1．由题意得()()210,1420a b a b ≠⎧⎪⎨∆=--->⎪⎩，即()210,212810.a b a b a ≠⎧⎨∆=-+++>⎩ 因为对任意实数b 恒成立，所以()()224124810a a ∆=+-+<，解得0＜a ＜1．5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等，已知2017CD AB =，则BCAD的值为．6．若x 、y 都是正数，且79xy x y ++=，则22x y xy -+的最大值为 ． 解：881.因为79xy x y xy =++≥+，所以2≤169，0＜xy ≤19．所以22x y xy -+＝221111182492481xy ⎛⎫⎛⎫--+≤--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当19xy =时,即13x y ==时, 22x y xy -+取最大值为881.7．有一个六位数，它的数码和可被26整除.这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 . 解：898999．显然，这个六位数加1以后有进位．要使数码和为26的倍数，至少需要进3位．因此，此六位数的后三位均为9，前三位的数码和是25．因此满足条件的最小的数为898999．8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧BD 的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD＝2，则AB ＝ ． 解：12．延长AB 、DC 交于点E ．因为AD 为直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°， 因此∠EBP ＝90°＝∠DCP ，所以E 、B 、P 、C 四点共圆，DC ·DE ＝DP ·DB ． 因为C 是弧BD 的中点，所以∠EAC ＝∠DAC ，EC ＝DC＝2，45＝DP ·(DP ＋4)，解得DP ＝5． 由勾股定理得，CP＝2CP ·AP ＝DP ·BP，即2AP ＝5×4，AP＝．所以AB12=．(第8题图)二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．解：由一元二次方程根与系数的关系得 a ＋b ＝10c ，c ＋d ＝10a ． 两式相加得 a ＋b ＋c ＋d ＝10(a ＋c )．因为a 是方程程x 2－10cx －11d ＝0的解，且d ＝10a －c ，所以，0＝a 2－10ac －11d ＝a 2－10ac －11(10a －c )＝a 2－110a ＋11c －10ac ．① 类似地，c 2－110c ＋11a －10ac ＝0．② ①－②得(a －c )(a ＋c －121)＝0． 因为a ≠c ，所以a ＋c ＝121． 因此，a ＋b ＋c ＋d ＝10×121＝1210．10．求所有的素数对(p ，q )，使得p 2＋10pq ＋9q 2为完全平方数？ 解：设p 2＋10pq ＋9q 2＝k 2(k ∈N*)，则(p ＋3q )2＋4pq ＝k 2，(k －p －3q )(k ＋p ＋3q )＝4pq ． 因为p 、q 都是素数，所以(k －p －3q ，k ＋p ＋3q )＝(1，4pq )，(2，2pq )，(4，pq )，(p ，2q )，(q ，2p )，(2p ，q )，(2q ，p )．则2(p ＋3q )＝4pq －1,2pq －2，pq －4，p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ． 因为2(p ＋3q )是偶数，4pq －1是奇数，所以2(p ＋3q )≠4pq －1． 因为2(p ＋3q )＞p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ， 所以2(p ＋3q )≠p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ．若因此2(p ＋3q )＝pq －4，则p 、q 中必有一个为2，代入后无符合题意的解． 若2(p ＋3q )＝2pq －2，则pq －p －3q ＝1，(p －3)(q －1)＝4， (p －3，q －1)＝(1,4)，(2,2)，(4,1)． 解得(p ，q )＝(4,5)（舍），(5,3)，(7,2). 综上所述，(p ，q )＝(5,3)，(7,2).…11．已知圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，DA ，CB 的延长线交于点Q ．过点P 作PE ⊥BC ，交边AB 于点E .若PQ ⊥AC ，证明：点E 为边AB 的中点． 证明：在PC 上截取P A ′＝P A ，则∠P A ′Q ＝∠P AQ ，点P 为AA ′中点．(5分) 联结A ′B ．因为∠P A ′Q ＝∠P AQ ＝180°－∠DAC ＝180°－∠DBC ＝∠PBQ ， 所以A ′、P 、Q 、B 四点共圆． 所以∠A ′BC ＝∠QPC ＝90°，即A ′B ⊥BC . 因为PE ⊥BC ，所以A ′B ∥PE ．因为点P 为AA ′中点，所以点E 为边AB 的中点.(第11题图)法二：延长PE 交CQ 于点F ，则∠PFB ＝∠APQ ＝90°。

2016 年上海市初三数学竞赛（大同中学杯）决赛试题一、填空题1、计算：)2391312391(4)51111519151715151513151(153119753⨯--⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=____________。

2、一个四位数除以433，商为a ，余数为r （N r a ∈,）。

则r a +的最大值为_________。

3、设点A （-0.8,4.132），B （1.2，-1.948），C （2.8，-3.932）在二次函数c bx ax y ++=2的图像上。

当图像上的点D 的横坐标8.1=x 时，其纵坐标y 的值为________.4、使等式()15512=+-+n n n 成立的整数n 的值为____________。

5、如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点AP=m ，PB=n ，且m>n 。

当AB 沿⊙O 运动一周时，点P 的轨迹为曲线C 。

若⊙O 与曲线C 之间所围成的图形面积为π)(22n m -，则nm 的值为___________。

6、设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，......363534333231242322211211+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=S 直至2016项，其中，分母为k 的一段共有2k 项,2,,2,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k k k 只有最后一段可能不足2k 项。

则S 的值为_________。

7、若实数a 、b 、c 使得二次函数c bx ax x f ++=2)(当10≤≤x 时，恒有1)(≤x f 。

则c b a ++的最大值为_________。

8、已知a 、b 、c 、d 为四个正的常数，当实数x 、y 满足122=+by ax 时，122=+dy cx 的最小值为_________。

上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。