波动方程叠前深度偏移原理DOC
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3 波动方程法叠前深度偏移常用的叠前深度偏移方法包括射线法和波动方程法。
射线法主要指基于绕射旅行时计算的Kirchhoff 积分法，在绕射旅行时计算方法上可以采用基于函程方程的变速射线追踪法、基于费马原理的二维有限差分法和稳健高效的三维迎风有限差分法；而波动方程叠前深度偏移是复杂介质成像的有效手段，能够解决强横向变速条件下复杂地质体的地震波成像问题。
基于共炮集的波动方程叠前深度偏移的基本思路是，首先对每一炮进行单炮偏移成像，然后再把各炮成像结果在对应地下位置上叠加，从而得到整个剖面成像。
从计算角度而言，成像过程是很简单的步骤，波场外推算子决定了偏移方法的效率、成像精度及其适应范围。
一般要求偏移算子能够适应陡倾角反射的成像及剧烈的横向速度变化，同时具有较高的计算效率。
3.1 波动方程叠前深度偏移的基本思路基于共炮集的波动方程叠前深度偏移的基本思路是，首先对每一炮进行单炮偏移成像，然后再把各炮成像结果在对应地下位置上叠加，从而得到整个成像剖面。
对于每一炮，标准的波动方程叠前深度偏移可以分为三步：震源波场的正向延拓、炮集记录波场的反向延拓和应用成像条件求取成像值（Clearbout, 1971）。
为了方便叙述基于共炮集的波动方程叠前深度偏移的基本过程，我们引入基于单程波方程的波场传播算子（Berkhout, 1987），并以频率域二维波场为例加以说明。
对震源波场);,(ωz x u s 和炮集记录波场);,(ωz x v s 做如下定义：（1）);0,(ωx u s ：它是炮点s 处频谱为)(ωf 的点源激发产生的震源波场，有)()();0,(ωδωf s x x u s -= （4-1）（2）);0,(ωx v s ：它是点s 处激发，排列接收到的记录波场，该波场可以写成：dr x v x v r s s ⎰=);0,();0,(,ωω （4-2） 其中，);0,(,ωx v r s 含有一非零道，即在接收点r 处的记录道，它满足： );0,()();0,(,ωδωx v r x x v s r s -= （4-3）（3）);,(ωz x u s ：它表示在深度0>z 处的正向延拓波场，如果引入表征波场从地面传播到深度z 的传播算子)0(z W →，则有：);0,()0();,(ωωx u z W z x u s s →= （4-4）（4）);,(,ωz x v r s ：它表示记录波场);0,(,ωx v r s 在深度z 的反向延拓波场： []);0,()0();,(,1,ωωx v z W z x v r s r s -→= （4-5） 其中，[]1)0(-→z W 为记录波场的反向传播算子。
因为波场传播算子)0z (W →描述上行波从深度z 到地面的传播过程，故[]1)0(-→z W 描述了（向上传播的）记录波场从地面到深度z 的反向延拓过程（Berkhout, 1987）。
)0(z W →和[]10(-→z W 分别称为下行波和上行波的深度外推算子。
实际计算过程中，逐层实现上、下行波的波场延拓和求取成像值。
层),(z z z ∆+内波场延拓如图4-1所示。
);z ,x (s u ω );z ,x (r ,s v ωz);z z ,x (s u ω∆+ );z z ,x (r ,s v ω∆+图4-1 叠前深度偏移波场延拓示意图其中，波场深度外推算子)(z z z W ∆+→和[]1)(-→∆+z z z W 分别表征下行波从深度z 到深度z z ∆+的正向延拓过程和上行波从深度z 到深度z z ∆+的反向延拓过程。
注意到所有波场空间上离散分布在采样间隔为r ∆的地震道上，故空间δ函数可以用长度为r ∆、振幅为r ∆/1的加窗函数表示，而且以上公式中的积分可以用离散求和替代。
用传统的偏移公式，我们可以得到对点s 处震源在r 处的单一记录道的叠前深度偏移结果具有如下形式：[]∑*ℜ=ωωω);,();,(),(,,z x v z x u z x m r s s r s （4-6） 式中*表示复共轭，ℜ表示取复数的实部。
这种频率域的成像公式相当于时间域震源波场正向延拓值与记录波场反向延拓值的互相关。
由（4-6）式，可以得到共炮集数据的叠前深度偏移成像公式：[]∑∑*ℜ=r r s s s z x v z x u z x m ωωω);,();,(),(, （4-7） 如果采用的是有限差分算法进行波场延拓计算，则上式中关于r 的求和并非是显式的，它一般在对整个单炮记录波场的反向延拓中自动实现。
因而，共炮集记录叠前深度偏移公式可表述为：[]∑*ℜ=ωωω);,();,(),(z x v z x u z x m s s s （4-8） 其中，);,(ωz x v s 为炮s 整个记录波场的反向延拓波场值。
从计算角度而言，成像过程是很简单的步骤，波场外推算子的数学形式和计算实现才是地震波偏移成像的核心。
目前常用的地震成像的方法主要有：Kirchhhoff 积分法偏移技术、有限差分偏移技术、k f -域偏移技术和p -τ域偏移技术等。
但各种方法都有其适用范围和限制条件：对于起伏地表条件下的叠前深度偏移，Kirchhoff 积分法可以灵活地处理起伏的地表条件，但它需要利用射线追踪技术计算偏移成像所需要的旅行时，这样在处理地下复杂构造时，多路径问题经常使射线追踪不能获得准确的旅行时，导致对复杂构造成像的精度较低，效果不理想；有限差分法直接求解函数方程的Kirchhoff 积分偏移方法，一般也仅能计算初至旅行时，无法处理在复杂地质体的成像效果。
基于波动方程波场外推理论的方法能较好的解决多路径问题，使成像结果更精确。
目前所有基于波动方程的波场延拓算子有波动方程有限差分波场延拓算子和Fourier 波场延拓算子。
前一类算子既可以在时间-空间域又可以在频率-空间域用有限差分方法实现波场延拓计算，只是波动方程在频率-空间域的形式更简单，差分计算和成像更方便。
频率-空间域波场延拓算子属于这一类。
后一类算子有分步Fourier 方法、Fourier 有限差分方法、广义屏方法，还有最熟悉也是最简单的要数相移算子，它在频率-波数域计算实现。
然而，当速度横向变化时，关于空间坐标的Fourier变换不再成立，这迫使我们在处理横向变速介质中的波的传播和成像问题时退回到空间域。
因此，在解决这些问题时，一般基于速度场分裂，对背景场和扰动场分开处理，在频率-波数域和频率-空间域交替进行波场延拓计算。
早在二十世纪90年代初，马在田院士就指出波动方程的发展方向之一就是必须使用更精确的或很接近准确的波动方程，能适应速度的复杂变化，而任意差分精细积分逆时偏移就是在此基础上提出的。
由于此方法使用的是全波动方程，没有对方程进行近似，避免了对方程的近似，同时没有对速度的限制，因此可以偏移任意倾角的界面，适用于层间参数强烈间断的情况，实践证明该偏移方法可用于二维和三维任意复杂的地质构造。
3.2 频率-空间域有限差分（FXFD）法叠前深度偏移叠前深度偏移是一种对复杂地质构造成像的重要的和有效的工具。
已有的方法不是在时间域就是在频率域进行。
频率域算法的波场延拓既可以在波数域进行，也可以在波数域和空间域交替及逆行。
一种比较典型的在时间域进行的叠前深度偏移偏移算法是波动方程逆时偏移方法（E.G.Chang&McMechan 1990），它一般通过有限差分法实现波场延拓。
另一种在时间域进行的算法是基于射线追踪的Kirchhoff积分方法（E.G. Hu&McMechan, 1986）。
Gazdag（1978）提出的频率-波数域相移法具有方便快捷的优点，但它是基于层内常速假设的，不适应介质速度的横向变化。
Stoffa（1990）在速度场分裂思想的基础上，提出了分步Fourier 叠后偏移方法。
随后，该方法又推广到叠前情况，对较强的速度横向变化都可适应。
Ristow（1994）也是基于速度场分裂，在分步Fourier方法的基础上，增加了对介质速度的二阶以上扰动的校正处理。
该算法称为Fourier有限差分方法，被公认对复杂地质体具有较好的成像效果。
Wu. R.S., Huang. L.J.和Jin S.W.（1992, 1996, 1998）提出的基于散射理论的广义屏或相屏方法也对强变速介质具有非常好的成像效果，但不管是基于de Wolf近似还是Born近似或Rytov近似，要么假设散射场相对于入射场较小，要么假设场的变化较小。
显然，这些假设条件就相当于限定速度场变化不能任意复杂。
加之多数屏方法在复杂介质条件下，并非绝对可靠，并受其稳定条件限制。
本节给出的频率-空间域有限差分（FXFD）算法（程玖兵, 2000）首先从计算成本上考虑，以单程波方程作为波场延拓算子，但同时又对单程波方程进行有理分式逼近（王华忠, 1997），使其在垂向附近较大角度范围内能尽量准确地描述地震波的传播特征，即尽量提高方程的偏移倾角。
由于采用的隐式差分格式是无条件稳定的，故该算法对任何频率成分及延拓步长都不受限制。
有限差分波场延拓算法的优势在于对速度的横向变化有较强的适应能力。
另外，我们在频率域进行波场延拓，可以使差分方程简单化，方便计算，也便于求取成像值。
还可仅对有限频带范围内的地震信号进行波场延拓和成像。
下面这个流程图（图4-2）直观地反映了频率-空间域有限差分法单炮叠前深图3-2 频率-空间域有限差分法单炮叠前深度偏移偏移流程3.2.1 算法脉冲响应测试首先，对比该偏移算子在常速介质和不同速度扰动程度的介质（v c p /=取不同的值）中的脉冲响应曲线。
脉冲放置在m x 0.1000=，ms t 420=处。
以下各图中虚线表示理想的脉冲响应曲线，为一半圆，实线为实际介质中的脉冲响应曲线。
下面所有情况的介质速度都为s m v /0.2000=，参考速度c 取不同值，可以反映不同的速度扰动程度。
它们的脉冲响应曲线可以反映算子适应横向速度变化的能力。
如图 4-3a 所示，当取s m c /0.2000=时，参考速度与实际速度相同，即为均匀常速介质，此时的脉冲响应曲线与理论曲线在大约 60以内的传播角度范围重合得较好，然后随着传播角度增大，实际响应曲线开始内收，且频散也随之增大。
当方程系数为优化值时，常速脉冲响应如图4-3b 所示。
易于发现该脉冲曲线与理论曲线的重合程度比优化处理前要好，这时最大偏移倾角大约为 70。
如果取s m c /0.1000=，即5.0=p 时，速度的扰动程度非常强，达到%100，这时方程系数优化前的脉冲响应曲线如图4-3c 所示，它和相应的常速介质中的响应曲线（图4-3a ）基本一样。
而优化系数的方程的变速脉冲响应曲线如图4-3d 所示，它和图4-3b 几乎不存在差异，但与与图4-3c 相比，其偏移倾角明显提高了。
