有关角平分线辅助线的作法

教师用

2014、8、11 周一

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法

（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 教师用

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- 2 - DCBAEDFCBA（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

第06讲 三角形中角平分线模型

【应对方法与策略】

一、角平分线垂两边

角平分线+外垂直

当已知条件中出现OP为OAB的角平分线、PMOA于点M时，辅助线的作法大都为过点P作PNOB即可.即有PMPN、OMP≌ONP等，利用相关结论解决问题.

二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直

当已知条件中出现OP为AOB的角平分线,PMOP于点P时，辅助线的作法大都为延长MP交OB于点N即可.即有OMN是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题.

三、角平分线构造轴对称

角平分线+截线段等

当已知条件中出现OP为AOB的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ONOM，连结PN即可.即有OMP≌ONP，利用相关结论解决问题.

四、角平分线加平行线等腰现

角平分线+平行线 当已知条件中出现OP为AOB的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P作PM//OB或PM//OA即可.即有OMP是等腰三角形，利用相关结论解决问题.

【多题一解】

一．选择题（共2小题） 1．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（ ）

A．2： B．4：3 C．： D．7：4

2．（2023•惠阳区校级开学）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15

二．填空题（共5小题） 3．（2022秋•汤阴县期中）如图，AD平分∠CAB，若S△ACD：S△ABD＝4：5，则AB：AC＝

⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）

⾓平分线四⼤辅助线模型

⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。

⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．

⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．

四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现

已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．

则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现

已知：OC平分∠AOB．

辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现

已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．

辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现

已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．

则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．

【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )

A B ．2

C ．3

D ．

2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4

B ．4:3

C ．16:9

D ．9:16

3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )

A ．2cm

B ．3cm

C ．4cm

D ．5cm

4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，

常用辅助线做法

➢ 考点考向

1. 与角平分线有关的辅助线

2. 与线段长度相关的辅助线

3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线

4. 与中点相关的辅助线

5. 构造一线三垂直（等角）

6. 等面积法

常见辅助线的作法总结

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5)

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6) 构造等腰三角形或作等腰三角形的高利用“三线合一”性质。

7) 作三角形的中位线。

8) 引平行线构造全等三角形。

9） 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

（等面积法）

10） 构造三垂直模型。

 考点一：与角平分线有关的辅助线

（1） 可向两边作垂线。（2）可构造等腰三角形

（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

【例1】 已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．

 考点二：与线段长度有关的辅助线

（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可