角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案

角平分线四大辅助线模型角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到角平分线的考点主要是性质、判定以及四大辅助线模型，在初二上期中、期末考试中都是经常考察的方向。

角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线判定：到角的两边距离相等的点在角的角平分线上．四大模型1、角平分线+平行线，等腰三角形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三角形，OD=CD．2、角平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、角平分线+一垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、角平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核心考点一】角平分线的性质与判定1．（2016•张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A B ．2 C ．3 D ．【分析】首先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据角平分线的性质，即可求得PB 的值，又由垂线段最短，可求得PQ 的最小值．2．（2016秋•抚宁县期末）如图，在ABC ∆中，AD 是它的角平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ∆∆= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利用角平分线的性质，可得出ABD ∆的边AB 上的高与ACD ∆的AC 上的高相等，估计三角 形的面积公式，即可得出ABD ∆与ACD ∆的面积之比等于对应边之比．3．（2017春•崇仁县校级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )。

、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线T 等腰三角形如图1,过/ AOB 平分线 OC 上的一点P ,作PE // 0B ,交OA 于点E ,贝U EO=EP.例3 如图6，点P 是厶ABC 的外角/ CAD 的平分线上的一点 •求证:PB+POAB+AC.、角平分线定理使用中的几种辅助线作法、已知角平分线，构造三角形 分线，BE 丄AD 于F 。

2、在厶 ABC 中, AD 平分/ BAC , CE 丄 AD 于E .求证：/ ACE= / B+ / ECD .精品文档精品文档例1 如图2，/ ABC ，/ ACB 的平分线相交于点 F ,过F 作DE // BC ,交AB 于 点D ，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线T 等腰三角形如图3,过/ AOB 平分线 0C 上的一点P ,作EF 丄0C ,交0A 于点E ,交0B 于点F , 贝U OE=OF , PE=PF.例2 如图4, BD 是/ ABC 的平分线，AD 丄BD ，垂足为D ，求证：/ BAD= / DAC+ / C.模型三：角平分线+翻折T 全等三角形在厶ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，沿角平分线 AD 将厶ABD 往右边折叠就得到如图 5的图形•此时有：△ ABD ◎△ AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段 此方法可解决一些不相等的线段和差类问题 •图51、如图所示，在△ ABC 中，/ ABC=3 / C , AD 是/ BAC 的平求证：BE 1(AC AB)OB 图1CA DB / 图6。

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△PAE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PAE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB 的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，PDCBA A BCDPE∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEP PF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB 后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=； （2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】 如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】 如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．ABCDE DCBAAB CD又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ ∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB AOED CBAFOED CBA∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】 已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠， 在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =． ∵60C ∠=︒，∴△CDE 是等边三角形，∴DE CD CE ==，∴BC BE CE AB CD =+=+．【答案】见解析．【例11】 观察、猜想、探究：在△ABC 中，2ACB B ∠=∠．（1）如图①，当90C ∠=︒，AD 为∠BAC 的角平分线时，求证：AB AC CD =+；（2）如图②，当90C ∠≠︒，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB 、AC 、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，理由角平分线性质得到ED=CD ，利用HL 得到直角三角形AED与直角三角形ACD 全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC =，AED ACB ∠=∠，由2ACB B ∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE DE =，由AB AE EB =+，等量代换即可得证；（2）AB CD AC =+，理由为：在AB 上截取AG AC =，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD AD =，利用SAS 得到三角形AGD 与三角形ACD 全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB CD AC =-，理由为：在AF 上截取AG AC =，如图3所示，同（2）即可得证．【答案】（1）过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，如图1所示，∵AD 为∠BAC 的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE DC =， 在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠， 又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+； （2）AB CD AC =+，理由为： 在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠， 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+； （3）AB CD AC =-，理由为： 在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠FAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】 如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-． 【答案】见解析．【例13】 如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =， 又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】 已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM = ∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=，∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】 如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．【解析】过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE PF=．同理可证PF PG=．所以PG PE=，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以P在∠A的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC=，BAD CAD∠=∠，DA DB=，求证：DC⊥AC．【解析】在AB上取中点E，连接DE，则12AE BE AB==．∵DA DB=，∴DE⊥AB，90AED∠=︒．又∵2AB AC=，∴AE AC=．PCBAPABCD∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．EDCBAABCDC【解析】延长AC，交BF的延长线于点N．∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，∴△AFB≌△AFN，∴BF NF=．∵AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，∴EA⊥FA．∵BF⊥AF，∴BF∥AE．∴::BF ME CF CM=，::FN AM CF CM=．∵BF NF=，∴AM ME=．【答案】见解析．MFE DCBAN MFE DCBA。

角平分线模型知识精讲1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例：已知：P是平分线上的一点，过点P于点M，过点P于点N.2.若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是，过点D于点E，则.3.在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例：已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF.4.过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作是等腰三角形，即.证明：是的平分线，，又，是等腰三角形.5.有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6.从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7.有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：（1）已知：OC平分E、F分别在OA、OB上，过点E M，过点F N（2）已知：OC平分，点E、F在OC于点M于点N（3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则8.利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC是圆O的圆周角，∠DOE是圆O的圆心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，连接BF、CF、DG、EG，则BF＝CF，DG＝EG.9.D，则.证明：平分，平分，①②，由得，即10.的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则证明：平分，平分，①②由得，即.11.D，则.证明：平分平分，即①，②由①＝②，得，，，即，由④可得，代入③式可得整理可得三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）模型1：内角平分线+内角平分线模型01902BI CI ABC BIC A∠∠=+∠ 如图一、条件：、分别为ABC的内角、结论：如图一0000001902=180-+1=180-+21=180--21=902I CI ABC ACB BIC ABIC I CI ABC ACB BIC IBC ICB ABC ACB A A∠∠∠=+∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠+∠ 已知：如图一：B 、分别为ABC的内角、的角平分线相交于点I.求证：证明：在中，B 、分别为ABC的内角、（）（）（180）模型2：内角平分线+外角平分线模型0190.2P ABC ACD A ∆∠∠∠+∠如图二、条件：为ABC的内角和外角的角平分线BP、CP相交于点，结论：P=如图二1211;,22=,,1()21212CP ABC ACD P AABC ACD P PBC ABC PCD ACD PCD P PBC ACD A ABC P PBC A ABC P PBC A PBCP A∠∠∠=∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠ 已知：如图二：BP、分别为ABC的内角、外角的角平分线相交于点P.求证:证明:、平分线交于点，模型三：外角平分线+外角平分线模型0190.2CBE BCD A ∆∠∠∠-∠如图三、条件：ABC的外角和外角的角平分线相交于点，结论：P=如图三0000000190211;,22180()1180()21180()21180(2180)21902CP CBE BCD P AEBC DCB P PBC CBE PCB BCD P PBC PCB EBC DCB A ACB A ABC A A A∠∠∠=-∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠=-∠+∠=-∠+∠=-∠+∠+∠+∠=-∠+-∠=-∠ 已知：如图三：BP、分别为ABC的外角、外角的角平分线相交于点P.求证:证明:、平分线交于点，模型四：飞镖+角平分线模型1、飞镖模型内角关系模型：=++.=+,=+,=++.C A BD BCD BED CDE ABE BCD CED D CED A B C A B D ∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠ 如图四：如图，在四边形ABCD中，结论：证明：延长BC交AD于E，则、分别为、外角，图四2、飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型：图五+C=2ABC ADC P A P ∠∠∠∠∠如图五：条件：、平分线交于点，结论：++(1)++2,1-2-=-+=2C PBC PDC P P PBA PDA A PBC PBA PDC PDAC P P AA CP ∠=∠∠∠∠=∠∠∠∠=∠∠=∠∠∠∠∠∠∠∴∠ 略证：如图五：（）（）（）得1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．解：（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC+∠ACB ＝130°，1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠，180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2A =︒-︒-1902A=+∠︒ ∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．类型二、内角平分线+外角平分线模型2．如图，在△ABC 中，．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 2013BC 与∠A 2013CD 的平分线相交于点A 2014，得∠A 2014．如果∠A ＝n 度，则∠A 2014＝___________度．（直接用含n 的代数式表示）【答案】20142n解：由∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC可得∠A=∠ACD–∠ABC，∠A1=∠A1CD–∠A1BC；又因∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC，所以，∠A1=∠A1CD–∠A1BC=12∠ACD—12∠ABC=12（∠ACD—∠ABC），即可得到∠A1=12∠A.同理可得∠A2=12∠A1=12×12∠A……∠A n=1(2n∠A.所以∠A2014=20141(2∠A=20141(2n =20142n考点：三角形内角和定理；三角形外角的性质.类型三、外角平分线+外角平分线模型3．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：(1)若∠A＝60°，则∠P＝°；(2)若∠A＝40°，则∠P＝°；(3)若∠A＝100°，则∠P＝°；(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【答案】(1)65；(2)45；(3)40；(4)∠P=90°-12∠A，理由见解析.解：试题分析：（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；（2）、（3）和（1）的解题步骤类似；（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=12（∠A+∠ABC），∠CBP=12（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理即可求出∠A与∠P的关系．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．点评：本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．类型四、飞镖内角平分线+内角平分线模型4．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°【答案】C【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠再求解,GBC GCB ∠+∠可得,GBD GCD ∠+∠再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠从而可得：,ABC ACB ∠+∠再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.解：连接,BC 140,BDC ∠=︒ 18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒ 18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒ BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()∴∠=︒-∠+∠=︒A ABC ACB18060.故选：.C【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.角平分线模型巩固练习1．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（）A．50B．56C．60D．72【解答】A【解析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，+S△BED﹣S△AED∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＝50，故选：A．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（）A．AE＝BE B．DE垂直平分ACC．D．【解答】D【解析】过D点作DF⊥AB于点F，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，∴DC＝DF，∵过点D作BC的平行线交AB于点E．∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵AD＝3，DE＝4，∴，∴，∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B说法错误；∵，∴AE≠BE，故A说法错误；∵，∴故C说法错误；∵，故D说法正确；故选：D．3．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF ⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】C【解析】（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．4.C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是和的平分线，，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.5.，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【解答】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG，，设，则，，，解得，即，解得，.6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为．【解答】4【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝22.5°，∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，∴∠EJC＝45°，∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，∴JC＝JB＝m，∴EB＝m+m，∵EC2+EB2＝BC2，∴m2+（m+m）2＝42，∴m2＝8﹣4，＝•EC•EB＝•m（m+m）＝•（1+）m2＝2，∴S∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，∴EH＝EK，∴，∴S＝2×＝4．△AEB＝4．解法二：延长CE交AB于点F，证明△ABE的面积等于△ABC的一半，可得S△AEB故答案为4．7.如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：.【解答】见解析【解析】在直线BC上截取，连接EF，如图所示：在和中，，又.8.三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离.【解答】3【解析】过点P于点D E F，如图所示：，点P，又，即，点P到AB的距离为3.9.如图，在中，AB为直径，CD平分交于点D，求证：.【解答】见解析【解析】连接AD、BD，过点A过点B，垂足分别为点M、N，如图所示：是的直径，CD平分交于点D，，，的直径，，，又，.10.都是等腰直角三角形，的顶点A的斜边DE上，若，求两个三角形的重叠部分面积是多少？【解答】重叠部分面积为【解析】连接BD，AB与CD相交于点O，过点O M，ON⊥BD于点N，如图所示：又，，，在中，由勾股定理可得，在中，，解得，平分，又M于点N，，，，.11．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．【解答】见解析【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）见解析；（2）AB+AC＝2AE．【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．。

全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种：1.角平分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2.截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3.延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

图一图二图三 图四典型例题精讲【例1】如图，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且DB DC =。

求证：BE CF =【例2】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．【例3】在梯形ABCD 中，AD BC ∥， DB 是ABC ∠的平分线，求证：AD AB =。

DCBA AB CDF CDABE 第6题图【例4】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．a) 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． b) 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．【例5】 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．【例6】如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.A A AE P C E CD FE PO B B C O F B图1 图2 图3例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.DA EA P/ B CD B/ B C图5 图6例3如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1()2BE AC AB =-2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠22、2、 如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．21F EDCBANPEDCBAG21PFECB A AGCHDEF图2BABDCE F图求证：AE=ED 3、（四（2））四、以角的平分线为对称轴构造对称图形 例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：CD=21BE ．BACD E图1ABDE CBACDE 图2。

专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。

本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。

1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。

这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。

例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。

这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。

2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。

这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。

以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。

这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。

3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。

以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。

这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。

4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。

以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。

这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。

综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。

这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。

尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。

2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。

具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。

再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。

直线GH即为所求的角平分线。

3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。

具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。

再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。

连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。

4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。

具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。

全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。