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2013年考研数学一真题及参考答案

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2013硕士研究生入学考试

数学一

1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（ ）

A. 12,2kc B. 12,2kc C. 13,3kc D. 13,3kc

2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ）

A. 2xyz B. 0xyz C. 23xyz D. 0xyz

3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则9()4S（ ）

A .34 B. 14 C. 14 D. 34

4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi，则1234max,,,IIII

A. 1I B. 2I C. 3I D 4I

5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（ ）

A. 0,2ab B. 0,ab 为任意常数

C. 2,0ab D. 2,ab 为任意常数

7.设123,,XXX是随机变量，且1(0,1)XN，22(0,2)XN，23(5,3)XN，22(1,2,3)iiPPXi，则（ ）

A. 123PPP B. 213PPP C. 322PPP D132PPP 8.设随机变量()Xtn,(1,)YFn，给定(00.5)aa，常数c满足PXca，则

2PYc( )

9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则01lim[()1]nnfn＝ 。

10.已知y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y= 。

11.设224sin()sincostxtdytytttdx为参数，则 。

12.21ln(1)xdxx 。

13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝ 。

14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=

三．解答题：

（15）（本题满分10分）

计算dxxxf)(10，其中f(x)＝.)1ln(1dtttx

(16)(本题10分)

设数列｛an｝满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaannan＝，＝S（x）是幂级数

0.nnnax的和函数

（1）证明：()()0;SxSx

（2）求().Sx的表达式

（17）（本题满分10分）

求函数的极值yxexyyxf)3(),(3.

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：

（I）存在.1)(1,0f），使得（

（Ⅱ）存在1,1()1.ff（），使得（）

19.(本题满分10分)

设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。

（1） 求曲面的方程；

（2） 求的形心坐标。

20.（本题满分11分）

设101,101aABb，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。

21.（本题满分11分）

设二次型22123112233112233(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx，记123aaa，123bbb。

（1） 证明二次型f对应的矩阵为2TT；

（2） 若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22122yy。

22.（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为21,03,()0,xxfxa其他令随机变量2,1,,12,1,2xYxxx

（1） 求Y的分布函数；

（2） 求概率PXY.

23.(本题满分11分)

设总体X的概率密度为23,0,(;)0,xexfxx其他其中为未知参数且大于零，12,,nXXX，为来自总体X的简单随机样本。

（1） 求的矩估计量；

（2） 求的最大似然估计量。

参考答案：

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历年考研数学一真题及答案(1987-2013)

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2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)1202xxdx=_____________.

(2)曲面2222321xyz在点(1,2,2)的法线方程为_____________.

(3)微分方程30xyy的通解为_____________.

(4)已知方程组12312112323120xaxax无解,则a=

_____________.

(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则()PA=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()fx、()gx是恒大于零的可导函数,且()()()()0fxgxfxgx,则当axb时,有

(A)()()()()fxgbfbgx

(B)()()()()fxgafagx

(C)()()()()fxgxfbgb

(D)()()()()fxgxfaga

(2)设22221:(0),SxyzazS为S在第一卦限中的部分,则有

(A)14SSxdSxdS

(B)14SSydSxdS

(C)14SSzdSxdS

(D)14SSxyzdSxyzdS

(3)设级数1nnu收敛,则必收敛的级数为

(A)1(1)nnnun (B)21nnu

(C)2121()nnnuu

(D)11()nnnuu (4)设n维列向量组1,,()mmnαα线性无关,则n维列向量组1,,mββ线性无关的充分必要条件为

历年考研数学一真题及答案(1987-2013) 2

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历年考研数学一真题1987-2013

（经典珍藏版）

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数2xyx取得极小值.

(2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是_____________.

1x

(3)与两直线 1yt

2zt

及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_____________.

(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)Lxyydxxxdy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量(2,0,0)β在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),ufxxyvgxxy求,.uvxx

(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B

四、(本题满分8分)

求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2()()lim1,()xafxfaxa则在xa处

(A)()fx的导数存在,且()0fa (B)()fx取得极大值

(C)()fx取得极小值 (D)()fx的导数不存在

(2)设()fx为已知连续函数0,(),stItftxdx其中0,0,ts则I的值

2013考研数学一真题答案(带视频讲解地址)

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会飞的猪：2013硕士研究生入学考试数学一试题解析

1. 已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（）

A. 12,2kc B. 12,2kc C. 13,3kc D. 13,3kc

视频讲解地址：/us/13801315/52203821.shtml

2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ）

A. 2xyz B. 0xyz C. 23xyz D. 0xyz

视频讲解地址：/us/13801315/52203820.shtml

3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则（ ）

A .34 B. 14 C. 14 D. 34

视频讲解地址：/us/13801315/52203819.shtml

4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi，则1234max,,,IIII

A. 1I B. 2I C. 3I D 4I

视频讲解地址：/us/13801315/52203823.shtml

5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

视频讲解地址：/us/13801315/52203824.shtml

6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（ ）

2013考研数学真题试卷

2013考研数学真题试卷

2013考研数学真题试卷

2013年的考研数学真题试卷是广大考研学子备考的重要资料之一。考研数学通常分为数学一、数学二和数学三三个科目，每个科目的难度和侧重点都有所不同。以下是2013年考研数学真题试卷的模拟内容，供考生参考。

一、选择题

1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-2,2)内的最大值是：

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 设随机变量X服从正态分布N(0, σ^2)，当P(X > μ) = 0.1时，μ的值是：

A. -1.645σ B. 1.645σ C. -0.645σ D. 0.645σ

3. 以下哪个是二阶微分方程的解：

A. y = e^x + e^(-x)

B. y = e^(2x)

C. y = sin(x) + cos(x)

D. y = x^2 + 2x

二、填空题

1. 若f(x) = x^2 + 2x + 1，求f''(1)的值。

2. 设曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程是______。

三、解答题

1. 证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在[a,b]上单调递增。

2. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

四、应用题

1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 2x^2 - 200x + 3000，其中x是产品数量。求该工厂生产多少产品时，平均成本最低。

2. 某公司计划在一条河流的两岸建造两座桥，已知河流两岸的直线距离为1000米。公司希望两座桥的总长度最短。如果河流两岸是直线，求两座桥的最短总长度。

以上是模拟的2013年考研数学真题试卷内容，考生在备考时应以官方发布的真题为准，并结合历年真题和模拟题进行系统性复习。同时，考生应注重数学基础的打牢，理解数学概念、原理和方法，并能够灵活运用到解题中去。考研数学的复习是一个长期且系统的过程，考生需要合理安排时间，逐步提高解题能力和应试技巧。祝愿所有考生在考研数学中取得优异成绩。