2013考研数三真题及解析

13考研数三真题答案解析随着考研的临近，对于考研数学三真题的研究也变得尤为重要。

在这篇文章中，我们将对13考研数学三真题进行一次全面的答案解析，帮助考生更好地掌握考点和解题方法。

一、选择题解析1. 题目：设A是3×3矩阵，|A|=1, 则|A^T|的值是多少？解析：首先我们知道行列式的转置等于行列式本身，即|A^T|=|A|。

所以答案为1。

2. 题目：若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且存在极限f(a+) = f(b-)=A，则下列命题中正确的是（）。

解析：根据题意可知，在区间[a, b]上连续且 [a, b] 内含有一个闭区间[a_1, b_1]，其中 a < a_1 < b_1 < b。

因此，对于[a_1, b_1] 上的任意一点 x_1，都有 f(a_1+) = f(x_1) = f(b_1-)= A。

所以答案为C。

3. 题目：已知复数 z_1=2+i, z_2=-1+2i，则 |z_1+z_2|^2+|2z_1-3z_2|^2=多少？解析：将 z_1 和 z_2 的值带入，得到 z_1+z_2=1+3i，2z_1-3z_2=8-7i。

所以 |z_1+z_2|^2 +|2z_1-3z_2|^2 = |1+3i|^2 + |8-7i|^2 =10+17^2+8^2+7^2=246。

所以答案为246。

4. 题目：若函数 y=f(x) 满足 f(1)=0, f'(1)=1, 则曲线y=f(x) 在点 (1, 0) 处的切线方程为？解析：根据题意可知，点 (1, 0) 处的切线方程为y=f(1)+f'(1)(x-1)=x-1。

所以答案为 y=x-1。

二、解答题解析1. 题目：设函数 f(x)=x^3, F(x) 为 f(x) 的一个原函数。

求F(x) 在区间 (-∞, +∞) 上的最小值。

解析：根据题意可知，F(x) 的原函数是 F(x)=(x^3)/3。

2013年考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价． 【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ， =-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】设()xy y z z y x F x-+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z xx y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xex C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2 ． 【详解】()=X Xe E 2dx ex e dx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ，边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a ab a aa ab A 0010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ，所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2．证明（2）设=A TT ββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=TTTTr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值． 故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ．（1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本． （1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏ni i ix n i i n ni x i ex e x L 11312132)(θθθθθ， 取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ，令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i i x n θ， 解得θ的极大似然估计量为∑=∧=ni iX n112θ．。

2013考研数学（一、二、三）真题及答案解析第一部分：数一真题及答案解析1.已知极限arctan limkx x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o =（C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是 （A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ，{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ． 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2． 【详解】()=X Xe E 2dx ex edx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ．【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T T TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TTA ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T Tr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ，解得的极大似然估计量为．（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）。

2013年考研数学三真题2013年考研数学三真题2013年考研数学三真题是考研数学考试中的一道难题，题目涉及了概率论、数理统计、线性代数等多个数学领域。

本文将对这道题目进行分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。

首先，让我们来看一下题目的内容。

题目要求求解一个概率问题，具体而言是求解一个事件的概率。

在给定的条件下，我们需要计算某个事件发生的概率。

这种类型的问题在概率论中是比较常见的，需要运用到条件概率、贝叶斯定理等相关概念和方法。

接下来，我们来具体分析题目。

题目给出了一个箱子，里面有若干个球，其中红球和白球的数量是已知的。

我们需要从箱子中随机抽取球，并记录下抽取球的颜色。

根据题目的要求，我们需要计算在已知条件下，抽取到白球的概率。

解决这个问题的关键在于理解和应用条件概率的概念。

条件概率指的是在已知某个条件下，事件发生的概率。

在这道题目中，我们已知的条件是箱子中红球和白球的数量。

根据这个条件，我们可以计算出抽取到红球和白球的概率。

具体而言，我们可以定义两个事件：事件A表示抽取到白球，事件B表示抽取到红球。

根据条件概率的定义，我们可以得到以下公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知抽取到红球的情况下，抽取到白球的概率；P(A∩B)表示同时抽取到红球和白球的概率；P(B)表示抽取到红球的概率。

在题目中，我们已知红球和白球的数量，可以计算出P(B)。

同时，题目还给出了抽取到红球和白球的概率比例，即P(A∩B)。

通过代入已知条件，我们可以计算出P(A|B)，即抽取到白球的概率。

通过以上的分析，我们可以得出结论：在给定条件下，抽取到白球的概率是可以计算出来的。

这道题目考察了考生对条件概率的理解和运用能力，同时也考察了对概率计算的熟练度。

最后，我们需要注意的是，在解答这道题目时，需要严谨地运用概率论的知识和方法，避免出现计算错误。

同时，我们也要注意题目的限定条件，确保我们的解答符合题目要求。

2013考研数三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121ΛΛ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i ΛΛ=+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ，{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2． 【详解】()=X Xe E 2dx ex e dx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f（2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|，所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=TTTTr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X Λ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i Λ=>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ，解得的极大似然估计量为．。

2013硕士研究生入学考试数学三真题1. 当x →0时，用“o （x ）”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 A. x ·o （x 2）=o(x 3) B.o(x )·o(x 2)=o(x 3) C.o(x 2)+o(x 2)= o(x 2) D.o(x )+ o(x 2)= o(x 2) 2. 函数f (x )=1(1)ln xxx x x-+的可去间断点的个数为 A.0B.1C.2D.33. 设D k 是圆域D ={(x ,y )|x 2+y 2≤1}位于第k 象限的部分，记I k =()kD y x dxdy -⎰⎰（k =1,2,3,4），则A.I 1>0,B. I 2>0,C. I 3>0, B. I 4>0 4. 设｛a n ｝为正项数列，下列选项正确的是A. 若a n > a n+1, 则11(1)n n n a ∞-=-∑收敛B. 若11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则a n >a n+1C. 若1n n a ∞=∑收敛，则存在常数p >1，使lim n →∞n p a n 存在D. 若存在常数p >1，使lim n →∞n pa n 存在,则1n n a ∞=∑收敛5. 设A,B,C 均为n 阶短阵，若AB=C,且B 可逆，则 A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6. 矩阵1111a ab a a⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ） A. a =0,b =2 B. a =0,b 为任意常数C. a =2,b =0D. a =2,b 为任意常数7. 设x 1, x 2, x 3是随机变量，且x 1~N (0,1),x 2~N (0,22),x 3~N (5,32),P j =P {-2≤x j ≤2}(j =1,2,3),则A.P 1>P 2>P 3 B.P 2>P 1>P 3 C.P 3>P 1>P 2 D.P 1>P 3>P 2 8. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为 X 0 1 2 3A.112B.18C.16D.129. 设曲线y=f(x )与y=x 2-x 在点（1，0）处有公共切线，则lim n →∞nf 2nn ⎛⎫⎪+⎝⎭= . 10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y ）x=xy 确定，则(1,2)z x∂∂= .11.21ln (1)x dx x +∞+⎰= .12. 微分方程104y y y '''-+=的通解为y= .13. 设A =(a ij )是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若a ij + A ij =0(i ，j=1,2,3)，则｜A ｜= .14. 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），则E (2X Xe ) = . 三、解答题15.当0x →时，1cos ,cos 2,cos 3x x x -与n ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

2013硕士研究生入学考试 数学三真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3.（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( ) （A ）112 （B ）18 （C ）16 （D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。

2013～2016年考研数三真题及答案2013考研数三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是 （A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ，{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2． 【详解】()=X Xe E 2dx ex e dx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f（2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|，所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=TTTTr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ，解得的极大似然估计量为．2014考研数学三真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+（3） （A ） （B ） （C ） （D ）（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ）（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2013年考研数三真题及答案解析、选择题1— 8小题.每小题4分，共32分.、1.当x0时，用o （x ）表示比x 高阶的无穷小，贝y 下列式子中错误的是（）2ox2ox=33(A ) ()()xox ( B ) o(x)o(x)()(C o(x 2)o(x 2)o(x 2) ( D o(x)o(x 2)o(x 2)2xoxgxxox332如当x0 时()(),()()limf(x)limlim x 1x(x1)lnx2ln 1xx,所以所以x1 不是函数 f （x ）的limf(x)limlim x(1)ln 【详解】■由高阶无穷小的定义可知（-A （B ）g 都是正确的，对于（D 可找出反例，例fxx ，但 f(x)g(x)o(x)而不是2o （x ）故应该2.函数f(x)x_^1 _的可去间断点的个数为（）(D) 3^ xxlnx【详解】当xlnx0 时，x1e1〜xlnx_= xT T xTxlnx limf(x)liml im xx(x1)ln 0xx-----x0xxln1 ,所以 x0 是函数 f （x ） 的可去间断点.xx1xlnx ，所以x1 是函数 f （x ）的可去间断点.xx0xx1xlnx1x(x1)lnxx x1x1可去间断点. 故应该选（C .3 .设D是圆域D(x,y)|x1 k2y 2的第k象限的部分，记l k(yx)dxdy，则Dk(A)0I ( B I20( C I30( D I 40 1【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知1= ffk(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)-J 0 ) _——n(k1)3D2|= sincos所以 I 1I0,I2,IH 3V|2 1 乂」 * 22= 应该选(B ). 334 .设 a 为正项数列，贝y 下列选择项正确的是（）1)nn1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ 此小题的（A （ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ）,但少条件limaO ，显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件丿n nk1214,(B)若^a ,则n1 (1) n1na 收敛，贝y _^a n a ； n1(C)a 收敛.则存在常数 P1,使limna np存在； n(D) 若存在常数p 1,使p limna 存在，则 na 收敛. n1 nD 正确，故应选（D ）.则可知（1,2,,） 一 一 一ib i1 b i b inn in ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵 A 的122选项（B ）'也不正确「反例自己去构造.."5 .设A,B,C 均为 n 阶矩阵，若AB = C,且B 可逆，则 A 的行向量组等价. A 的列向量组等价. B 的行向量组等价. B 的列向量组等价.(A (B)(C(D)矩阵矩阵 矩阵 矩阵 的行向量组与矩阵 的列向量组与矩阵 的行向量组与矩阵 的列向量组与矩阵 【详解】把矩阵 A C 列分块如下:A 1, 2,, n , C 1, 2,,,由于 AB = C,C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.应该选（B ）.1a12006.矩阵abaObO 相似的充分必要条件是 与矩阵lalOOO(A )a0,b2 ( B ) aO , b 为任意常数列向量组线性表示.同时由于B 可逆，即ACB 同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵(C a2占0 ( D a2, b 为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵 A=aba0b0相0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等. /.- -1a1z. EAaba( 1a1从而可知2b2a 22b ，即a0 , b 为任意常数，故选择（B ）.PRR , B ) P 2PR7与矩阵=7 ' 2bba 十‘上(2)22227.设 X {,X 2,X 3 是随机变量，且 X 1~N(0,1),X~N(0,2),X~N(5,3)‘23PP2X2,贝y(Q PRP ( D jPpp【详解】若 c XX~N(,2)，贝〜N0,1kP2(卸(-PP2X2P132(1)1,122一①e （）P 3-P 2X?P +^3 - -①X3 5①3；(1) 1){ *P 1/21/4^/81/8Y-101P1/31/31/3 贝y PXY2 ()(B) 18 (C 16(D) 1212【详解】P XY2RX1,YJ PX2YOpX3,Y1,故选择（0.、填空题（本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）nn2limnFlim2f + n2n ；.nxx1F x X,yzzyzyyFxyzxzy , I ,()l),(,n,)()( 二10.设函数zzx,y 是由方程zyxy【详解】设 Fxyzzyxy，，（）n22n xz确定，则| (1,2)x12242469.设曲线yf （x ）和yxx在点（1,0处有切线，则lim nfn2【详解】由条件可知f10,（r （1）1.所以 _ 2f1f(1广 --- --'(1)2当 x1,y2 时，z0，所以 | (1,2) 22ln2■*-_<亠一匚• + 11. dx1(1)rix【详解】Inx1lnx1dxlnxd|dxln12x(1x1x1x1(x(1J )1x)12.微分方程0 yyy 的通解为.lnxl1 ln21r，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为0解为2y(C i Cx)e，其中213 .设Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，A j为元素a ij的代数余子式，且满足ij Aa ij0(i,j1,23)，贝U A=11，所以方程通2 G,C2为任意常数.n,r(A)nr( A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r ( A*)，伴随矩阵的秩只==0,r(A)n1能为3,所以A1.【详解】匸1xe =2x2 I '广 V xeeedx(x22)e2dx【详解】由条件+ —A j a0(i,j1,2,3)AA 其T4- 可知*0 中A*为A 的伴随矩阵，从ij 而可知A*AAA *T31所以 A 可能为1或_0 .14.设随机变量X 服从标准正分布 X~N(0,1)，则EX 『.但由结论*TE "Xe X' 一 <4-x 2x?)(x2) j 、江dx222te t 22dt2 t 2dt2E(X2 2 2e 2e所以为 T22e .、解答题15.(本题满分10分)【分析】主要是考查x0 时常见函数的马克劳林展开式.当x0 时，1cosxcos2xcos3x 十与丄ax n是等价无穷小，求常数a,n.2ox 2【详解】当cxo1sx ,x0时, ()cos222ox xoxx1(2x)()12()2 192ox 2x 2oxcos3x1(3x)()1()22所以1cosxcos2xcos3x1( 1 12 2OX2XOXXOXXOX222222由于1cosxcos2xcos3x 与16.（本题满分10分）x())(12())(1())7(nax是等价无穷小，所以a7,n2 .设D 是由曲线y ，—直线xa(a0)及x 轴所转成的平面图形,~ 3^=0由条件10VV 知a77. y【详解】是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求:-二1aa 二江(25• 32*33Vxydxxdxa ;00= 7T J= 4 i■k547Vaa -33【详解】由微元法可知:Ty2xf(x)dx2xdxa07V x ,V y 分别是D 绕x 3x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 i0v x v y , 求a 的值.17.(本题满分10分) 设平面区域D 是由曲线■ ・x3y,y3x,xy8 所围成，求丿Jx 2.= ’ dxdy D416D 22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy23x68xxx0318.(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为=6000元， 可变成本为20 兀/件,冇格函数为 ■P60,(P1000(1 )该的边际利润润-—(2)当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.(3)使得利润最大的定价【详解】(1)设利润为y,则6000 yPQ(600020Q)40Q,边际利润为y'40.li500(2)当P=50时，Q=10000,边际利润为20.经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20000 (3)令y'0，得40.Q20000,P60 1000019.(本题满分10分)设函数fx在［0,)上可导，fOO，且limf(x)2 (1)存在aO,使得fa1;(2 )对( 1)中的a,存在(0,a)，使得1f ' ()•a,证明证明（1）由于limf （x ）2 ，所以存在 XP ，当xX 时，有又由于fx （在*0,） 上连续，且f00，由介值定理，存在 a0，使得fa1 ;"（2）函数fx ■在 \0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b ,1011100001a0Ja0b0000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C 使得ACCAB（ H 01100存在（0,a ），使得f f aa20. （本题满分11分）,B1 _，，问当a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得ACCAB 并求出 b所有矩阵C.【详解】显然由ACCA 囱知，如果 C 存在,则必须是2阶的方阵.设xx 12则ACCAE fe 形为即得到线性方程组■ _ +•Ix ax -2-3x1 x x -+ 3 4 x ax 0 _2 +3 + ax x ax -1-2=4 x x .1 - 3 x 14x ax b 2 3ax+ +x ax -2 4ax 3xx 34，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方101110000000000x010 3 x 001 4所以方程组的通解为xCC,x 1 x010 2也就是满足ACCAB 勺矩阵 111 +1GCC + 一121G 1,C 2为任意常数... GG 1221.(本题满分11 分)设二次型22f(x 1,X ,x)2(axaxax)(bxbxbx)23112233112233 .记3 = a1 a2 a3 b1 b2 b 3(1)证明二次型f 对应的矩阵为 2T T;(2)若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为222yy2【详解】证明：(1)f( x.x , x)3 =2(ax112 x, x 1 2 a )x 2 2 a1 - ,x a3 2 t 矽3ax33 a , a, a 1 23 r)鋼1 W 2 x2 x1 x2 x3 x , x, 1 X ，1 X ，2 X ，1 X1 X2c TT证明(2)设Aa a TT PP 2. TTT +昭，由于 =10a 2T则222 的特征 向量;A22,所以为矩阵对应特征值 21 的特征向量; b jx)( 3『3 b 1 x b 3 2 b 3 x1 Gtb 1 x 1 ,b x 2 3 2x 3x 2 x 3TTrrT而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的个特征值.故f在正交变换下的标准形为22 2%22.(本题满分11分)2x 设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为=< 3x,01 f X(X),在给定, Xx(0x1)的条件下，丫的条件概率密度为其他< <,Oyx ,(1 )求X,丫的联合概率密度fx,y ;(2) 丫的的边缘概率密度f( y)【详解】(1) X, Y的联合概率密度fx,y :fx,yf(y/x)f $ X丫l X=< *(x )-C(2)丫的的边缘概率密度f(y)Y:fY(y)f(x,y)dxy 919y2如9卫y>-ln23.(本题满分11分)6设总体X的概率密度为 f(x；)3hIf^y/x).(30,其他29yx,y,o,x1,0y卓他x0,xe,x0其他，其中为为未知参数且大于零，(2 )求的极大似然估计量.【详解】(1 )先求出总体的数学期望 E( X) x, E(X)xf(x)dxedx令i1X i E(X)XX，得的矩估计量nn1(2)当xO(i12n)i时，似然函数为2n1，得0xi1ii1 n解得的极大似然估计量为.取对数，e()2nln3lnxn22nL 0 二n 一 ()ee ,nn133 xx■i i1n -6 J 1i1idlnL() 令0。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填写在答题纸指定位置上。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。

请将答案写在答题纸指定位置上。

三、解答题：15~23小题，共94分。

请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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