函数的极值及其必要条件

函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
新知学习
例1
新教材《选择性必修二》
函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数 y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数


1

y＝f(x)在区间－2，3内单调递减；


③函数 y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
1
3
2 3
3
2 3
f(x)在 x＝－ 3 处取得极大值 9 ，在 x＝ 3 处取得极小值－ 9 .
跟踪训练
(2)f(x)＝x2e－x.
解 函数f(x)的定义域为R，
新教材《选择性必修二》
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
④当 x＝－2时，函数 y＝f(x)有极大值；
⑤当 x＝2 时，函数 y＝f(x)有极大值.
③⑤
则上述判断中正确的序号是________.
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解析
新教材《选择性必修二》
对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，
新教材《选择性必修二》
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

极值点的判断条件
极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

对于函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x0可能是f(x)的极值点。

然而，这只是一个必要条件，并非充分条件。

根据极值的第二充分条件，如果f''(x0)>0，那么x0是f(x)的极小值点；如果f''(x0)<0，那么x0是f(x)的极大值点。

另外，驻点（一阶导数为零的点）和不可导点（导数不存在，也可以取得极值）都可能是极值点，但这并不绝对。

一个给定的区间内，可以有多个极大值和极小值点，其中最大的为最大值，最小的为最小值。

f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( 1 ) 证 0, f ( x0 ) lim
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
•
极值存在的充分条件
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0; 而 x ( x0 , x0 ) , ' 有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0; 而 x ( x0 , x0 ) ' 有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ' ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, f ( 2) 18 0,
3 2
故极大值 f ( 4) 60, 故极小值 f ( 2) 48.
f ( x ) x 3 x 24 x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 ,