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固体物理习题指导

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第一章 晶体的结构

第二章 晶体的结合

第三章 晶格振动与晶体热学性质

第四章 晶体的缺陷

第五章 能带

第六章 自由电子论和电子的输运性质

第一章 晶体的结构

思 考 题

1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.

[解答]

设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为3/4R,

晶胞的体积为33/4R, 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为2/3/43R,单位体积晶体中的原子数为33/4/2R; 面心立方晶胞的边长为2/4R, 晶胞的体积为32/4R, 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为4/2/43R, 单位体积晶体中的原子数为32/4/4R. 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/323=0.272.

2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？

[解答]

晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.

因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

3. 3. 基矢为1aia, 2aaj, 3akji2a的晶体为何种结构? 若3akj2a+i23a, 又为何种结构? 为什么?

[解答]

有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积

23321aaaa.

由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量

13aau2akji,

23aav2akji, . .

. . . 321aaaw2akji.

wvu,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, wvu,,满足选作基矢的充分条件.可见基矢为1aia,

2aaj, 3akji2a的晶体为体心立方结构.

若

3akj2a+i23a,

则晶体的原胞的体积

23321aΩaaa,

该晶体仍为体心立方结构.

4. 4. 若321lllR与hklR平行, hklR是否是321lllR的整数倍? 以体心立方和面心立方结构证明之.

[解答]

若321lllR与hklR平行, hklR一定是321lllR的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式可知

32aaa,13aab, 21aac,

hklR=ha+kb+lc=(k+l)1a(l+h)2a(h+k)3a=p321lllR=p(l11a+l22a+l33a), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数.

对于面心立方结构, 由(1.3)式可知,

321aaaa, b321aaa, c321aaa,

hklR=ha+kb+lc=(-h+k+l)1a+(h-k+l)2a+(h+k-l)3a=p’321lllR= p’(l11a+l22a+l33a),

其中p’是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公约(整)数.

5. 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢1a、2a和3a重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？ 若ABC面的指数为（234），情况又如何？

[解答]

晶面族（123）截1a、2a和3a分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于1a的长度，OB的长度等于2a的长度的1/2，OC的长度等于3a的长度的1/3，所以只有A点是格点. 若ABC面的指数为(234)的晶面族, 则A、B和C都不是格点.

6. 6. 验证晶面（102），（111）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其带轴方向的晶列指数是什么?

[解答]

由习题12可知,若（102），（111）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的值必定为0.可以验证

210111012=0,

说明(102），（111）和（012）属于同一晶带.

晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l1l2l3]的取值为 .

.

. . . l1=1101 =1, l2=1120=2, l3=1112=1.

7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？

[解答]

带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的c轴或原胞坐标系的3a轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h1h20）, 即第三个数字一定为0.

8. 8. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?

[解答]

正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式hKh11b+h22b+h33b垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢lRl11a+ l22a+ l33a正交. 即晶列[l1l2l3]与倒格面(l1l2l3) 垂直.

9. 9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?

[解答]

在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.

10. 10.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

[解答]

六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.

11. 11.体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大?

[解答]

结晶学的晶胞,其基矢为cba , ,,只考虑由格矢Rha+kb+lc构成的格点. 因此, 体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为a3, 但实际周期为a3/2.

12. 12.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面?

[解答]

周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为2/2a. 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面.

13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？

[解答]

晶体中原子间距的数量级为1010米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010米.

但可见光的波长为7.64.0710米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.

14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?

[解答]

对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大,

晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式

nsin2hkld

可知, 面间距hkld大的晶面, 对应一个小的光的掠射角. 面间距hkld小的晶面, 对应一个大的光的掠射角. 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化? . .

. . .

[解答]

温度升高时, 由于热膨胀, 面间距hkld逐渐变大. 由布拉格反射公式

nsin2hkld

可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距hkld逐渐变大, 衍射角逐渐变小.所以温度升高,

衍射角变小.

当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角随之变大.

16. 面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射, 分别对应晶胞坐标系中的几级衍射?

[解答]

对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(111),

p’=1. 由(1.33)式可知, hklhKK2; 由(1.16)和(1.18)两式可知, 2/321hklhhhdd; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=2n. 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射.

对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(001),

p’=2. 由(1.33)式可知, hklhKK; 由(1.16)和(1.18)两式可知, hklhhhdd321; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=n, 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍射.

17. 由KCl的衍射强度与衍射面的关系, 说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效.

[解答]

Cl 与K是原子序数相邻的两个元素, 当Cl原子俘获K原子最外层的一个电子结合成典型的离子晶体后, Cl与K 的最外壳层都为满壳层, 原子核外的电子数和壳层数都相同, 它们的离子散射因子都相同. 因此, 对X光衍射来说, 可把-Cl与K看成同一种原子. KCl与NaCl结构相同, 因此, 对X光衍射来说, KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效.

由KCl的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效. 一个KCl晶胞包含4个K离子和4个-Cl离子，它们的坐标

K：（000）（02121）（21021）（21210）

-Cl：（0021）（0210）（2100）（212121）

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《固体物理》课后习题答案

《固体物理》课后习题答案

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之

比，证明结构 x简单立方 π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2

π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 3π /16 ≈ 0.34

解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系

不同，分别为：简单立方：a = 2r

金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有

1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。

证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为

根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为

同理

与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π / a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格

的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形

式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为

同理

而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4π a的体心立方晶格的基矢。

证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢

的截距分别为

即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为

则倒格子原胞的体积为

1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足

其中 a 为立方边长。

解：根据倒格子的特点，倒格子

与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。

因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为

则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若

立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。

答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于

次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

固体物理第5章_能带理论_习题参考答案

固体物理第5章_能带理论_习题参考答案

第六章 能带理论 (习题参考答案)

1. 一矩形晶格，原胞长10a210m，10b410m

（1）画出倒格子图

（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区

（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子）

解：（1）因为

a=ai=20Ai

b=bj=40Aj

倒格子基矢为

012aiA , 014bjA

以a b为基矢构成的倒格子如图。

由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。

(2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点Ai,次近邻点Bi的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。

(3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。简约布里渊区的面积 021()8AabA

而状态密度

022()16()NgKNAA

当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为

202()216FkFNgkkdkNk

所以

01/211111()0.2()210()8FkAm

这就是费米圆的半径。费米圆如下图所示

2. 已知一维晶体的电子能带可写成2271coscos2,88Ekkakama

式中a是晶格常数。试求：

（i）能带的宽度；

（ii）电子在波矢k状态时的速度；

（iii）能带底部和顶部电子的有效质量。22222min2max22maxmin22222min71coscos2,8811cos24400,2;221sin24sin404kiEkkakamakamakEkEamaEEEmamaiivEkvkakamaiiiEkkkEEm解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：22min22max22max220342203kEmmmEkkEEkmkEmmm在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k可得：aa

(参考资料)固体物理习题带答案

(参考资料)固体物理习题带答案

第一章：晶体结构

1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。

证明：晶向[hkl]为

321lkh，其倒格子为

)(2

)(2

)(2

32121

3

32113

2

32132

1aaaaa

b

aaaaa

b

aaaaa

b











。可以知道其倒格子矢量

hklG

平行于晶向。同时对于晶面（hkl）可以得到倒格子矢量与其垂直。证明如下：

因为

ijjiba2

，321blbkbhG

hkl

，如图所示：

la

ka

CB

la

ha

CA3231



（上图中321,,hhh分别对应hkl），很容易证明

0CAG

hkl

，0CBG

hkl

。因此hklG

与晶面族（hkl）正交。

所以得出结论晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。

2． 晶面族(hkl)的面间距d与倒格矢123Khbkblb的关系是2

d

K

证明：因为nxblbkbh2)(

321

，n取不同值代表一个一族晶面系中，不同的晶面。

如图所示。各晶面到原点的垂直距离

：

3212

blbkbhn

d

n



。因此，其面间距为

3212

blbkbhd



。

3． 试写出简单立方，面心立方，体心立方的初基矢量以及相应的倒格矢。

解：简单立方的初基矢量和倒格矢相同，面心立方和体心立方的初基矢量和倒格

矢分别是面心立方的倒格矢为体心立方，体心立方的倒格矢为面心立方。具体讨

论见黄昆版《固体物理》P178.

4． 写出晶体有几大晶系，几个布拉菲格子，几个点群，几个空间群。

解：晶体中7大晶系，14种布拉伐格子，32个点群，230个空间群。

5． 写出七大晶系

解：七大晶系分别为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、

六角晶系、立方晶系。

6． 证明：立方晶系中，面指数(h1k1l1)和(h2k2l2)的两个晶面夹角为

固体物理习题参考答案

固体物理习题参考答案

固体物理第一次习题参考答案

1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明

结构 x

简单立方 0.526x

体心立方

30.688x

面心立方 20.746x

六角密排 20.746x

金刚石 30.3416x

解：设钢球半径为r，立方晶系晶格常数为a，六角密排晶格常数为a,c

钢球体积为V1，总体积为V2

（1）简单立方

单胞含一个原子，ar2 52.06343321arVV

（2）体心立方

取惯用单胞，含两个原子，ra43 68.0833423321arVV

（3）面心立方

取惯用单胞，含4个原子，ra2 74.0623443321arVV

（4）六角密排

与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率

取图示单胞，含两个原子，ar2 单胞高度ac38（见第2题）

74.062233422321carVV

（5）金刚石

取惯用单胞，含8个原子，ra2341 34.01633483321arVV

2．试证六方密排密堆积结构中128()1.6333ca

解：

六角密排，如图示，4个原子构成正四面体 222)2332(2aac  ac38

3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。

证：体心立方基矢取为

)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa

其中a为晶格常数

其倒格子基矢，按定义

)(2)(21111114212)(223321jibjiakjiaaaab