和差问题

和差问题已知两数的和与差(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除一、和差问题已知两数的和与差，求这两个数。

【口诀】：和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和减去差，越减越小；除以2，便是小的。

例：已知两数和是10，差是2，求这两个数。

按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。

二、鸡兔同笼问题【口诀】：假设全是鸡，假设全是兔。

多了几只脚，少了几只足？除以脚的差，便是鸡兔数。

例：鸡免同笼，有头36 ，有脚120，求鸡兔数。

求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24求鸡时，假设全是兔，则鸡数 =（4X36-120）/（4-2）=12三、浓度问题（1）加水稀释【口诀】：加水先求糖，糖完求糖水。

糖水减糖水，便是加糖量。

例：有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）（2）加糖浓化【口诀】：加糖先求水，水完求糖水。

糖水减糖水，求出便解题。

例：有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，=（千克)四、路程问题(1) 相遇问题【口诀】：相遇那一刻，路程全走过。

除以速度和，就把时间得。

例：甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？相遇那一刻，路程全走过。

即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。

除以速度和，就把时间得。

即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）(2) 追及问题【口诀】：慢鸟要先飞，快的随后追。

和差问题例1 小王买了铅笔盒圆珠笔共12只，铅笔比圆珠笔多4只。

问：铅笔与圆珠笔各买了多少只？解如果圆珠笔增加4只，那么圆珠笔就和铅笔一样多。

这时，铅笔和圆珠笔一共12+4=16（只）其中铅笔是16÷2=8（只）圆珠笔也是8只所以原来圆珠笔8-4=4（只）答：铅笔8只，圆珠笔4只。

又解如果铅笔减少4只，那么铅笔就和圆珠笔一样多。

这时，铅笔和圆珠笔一共12-4=8（只）其中圆珠笔是8÷2=4（只）铅笔也是4只所以原来铅笔是 4+4=8（只）答：铅笔8只，圆珠笔4只。

说明从例1我们可以总结出和差问题的公式：（和+差）÷2=大数（和-差）÷2=小数当然，求出大数（小数）后，我们也可以通过以下各式求出小数（大数）：大数=小数+差小数=大数-差大数=和-小数小数=和-大数随堂练习1.小李买苹果、桃子共20个，苹果比桃子多6个。

问：苹果和桃子各买多少？例2 甲、乙两人年龄和是28岁，甲比乙大6岁。

问：甲、乙两人各式多少岁？解和=28，差=6，所以甲的年龄是（28+6）÷2=17（岁），乙的年龄是17-6=11（岁）答：甲17岁，乙11岁。

随堂练习2张丽与王芳年龄的和是26，张丽比王芳大4岁。

问：张丽、王芳各是多少岁？说明例1 例2中的“和”、“差”已经清楚的给出，这一类题目根据公式很容易解决。

如果题目中没有直接提供“和”、“差”，可以先根据题目中的条件，把“和”或“差”找出来。

例3 甲、乙两人同时写字。

8小时两个人共写了7600个字，甲每小时比乙多写50个字。

问：甲、乙两人每小时各写多少字？分析题目中有“差”：甲每小时比乙多写50个字。

也有“和”：8小时两人共写了7600个字。

能不能直接套公式得出甲每小时写了（7600+50）÷2个字呢？这样做是错误的。

因为这里的“和”与“差”并不是在同样多的时间得到的。

应当先由“8小时两人共写了7600个字”得出“每小时两人共写950个字”，这才是我们所需要的“和”。

例1 某校五年级和六年级共有324人。

六年级的人数比五年级多46人，这个学校五、六年级各有多少人？例2 甲、乙两个书架共有书480本。

如果从甲书架中取出40本放入乙书架中，这时两个书架上书的本数正好相等。

甲乙两个书架原来各有多少本书？例3 纺织厂第一车间和第二车间共有工人48人，如果从第一车间调出8人到第二车间，第一车间的人数比第二车间还多2人。

两个车间原来各有多少人？例4 甲、乙两个修路队4天共修路264米，又知甲队每天比乙队多修6米。

甲、乙两个修路队每天各修多少米？例5 甲、乙两桶油共重62千克，如果从乙桶倒出12千克油，甲桶比乙桶多10千克。

甲、乙两桶原来各有油多少千克?例6 同学们积极参加学校美术、书法和航模兴趣小组。

其中参加美术和书法小组的有86人，参加美术和航模小组的有80人，参加书法和航模小组的有90人。

参加美术、书法和航模小组的各有多少人?例7 建筑工地运来水泥、石子和细沙三种建筑材料共300吨，已知运来的水泥比石子多50吨，运来的石子比细沙多20吨。

工地运来水泥、石子和细沙各多少吨？例8 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？例9 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁?例10 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？例11 甲乙两校共有864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？1、小华和小芳今年的年龄和是27岁，小芳比小华小3岁。

今年小华和小芳各几岁？2、师傅和徒弟一共生产160个零件，师傅比徒弟多生产了40个，师傅和徒弟各生产了多少个零件？3、粮仓运来面粉和大米共4820千克，面粉比大米多20袋，每袋重50千克。

粮仓运来面粉、大米各多少千克？4、两筐苹果共有180个，从乙筐中拿出15个放入甲筐，这时两筐苹果的个数相等。

三、和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和－差）÷2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式复杂的题目变通后再用公式。

例1、甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。

例2、长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积?例3、有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

例4、甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？例5、某校五年级和六年级共有324人，六年级的人数比五年级的人数多46人，这个学校五、六年级各有学生多少人？例6、甲乙两个书架共有书480本。

如果从甲书架取出40本放入乙书架中，这时两个书架上书的本数正好相等。

甲乙两个书架原来各有多少本书？例7、纺织厂第一车间和第二车间共有工人48人，如果从第一车间调出8人到第二车间，第一车间的人数比第二车间还多2人，两个车间原来各有多少人？例8、甲、乙两个修路队4天共修路264米，又知甲队每天比乙队多修6米。

甲、乙两个修路队每天各修多少米？例9、甲、乙两桶油共重62千克，如果从乙桶倒出12千克油，甲桶比乙桶多10千克，甲、乙两桶原来各有油多少千克？例10、同学们积极参加学校美术、书法和航模兴趣小组。

其中参加美术和书法小组的共有86人，参加美术和航模小组的有80人，参加书法和航模小组的有90人，参加美术、书法和航模小组的各有多少人?例11、建筑工地运来水泥，石子和细沙三种建筑材料共300吨，已知运来的水泥比石子多50吨，运来的石子比细沙多20吨。

工地运来水泥，石子和细沙各多少吨？例12、某公司甲班和乙班共有工作人员94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时，乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有工作人员多少人？例13、甲乙丙三人共装订同一种书刊508本。

和差问题知识点在数学的学习中，和差问题是一个重要且常见的知识点。

它看似简单，却蕴含着丰富的解题思路和方法，对于培养我们的逻辑思维和数学能力有着重要的作用。

什么是和差问题呢？简单来说，就是已知两个数的和以及这两个数的差，求这两个数分别是多少的问题。

举个例子，假如小明和小红一共有 18 个苹果，小明比小红多 2 个苹果，那么小明和小红分别有几个苹果？这就是一个典型的和差问题。

为了更好地解决和差问题，我们需要掌握一些关键的方法和思路。

首先，我们可以通过画图的方式来直观地理解问题。

比如，我们可以画两条线段，一条代表小明的苹果数，一条代表小红的苹果数，然后根据题目中的条件进行标注，这样就能更清晰地看出数量关系。

其次，我们可以运用公式来解决。

对于和差问题，有两个常用的公式：大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和差）÷ 2还是以上面小明和小红的例子来说，他们一共有 18 个苹果，小明比小红多 2 个苹果。

这里的和是 18，差是 2。

按照公式，小明的苹果数（大数）就是：（18 ＋ 2）÷ 2 ＝ 10（个）小红的苹果数（小数）就是：（18 2）÷ 2 ＝ 8（个）理解了公式，我们来多做几道练习题巩固一下。

例 1：甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？和是 98，差是 6。

甲班人数＝（98 ＋ 6）÷ 2 ＝ 52（人）乙班人数＝（98 6）÷ 2 ＝ 46（人）例 2：果园里有苹果树和梨树共 180 棵，苹果树比梨树多 20 棵，两种树各有多少棵？这里和是 180，差是 20。

苹果树的数量＝（180 ＋ 20）÷ 2 ＝ 100（棵）梨树的数量＝（180 20）÷ 2 ＝ 80（棵）在解决和差问题时，一定要认真分析题目中的条件，确定哪个是和，哪个是差，然后再选择合适的公式进行计算。

和差问题在我们的日常生活中也有很多实际的应用。

和差问题（一）
学校班级姓名
知识点归纳
两个量的和差：大数=（和+差）÷2，
小数= （和－差）÷2，
三个量的和差：以一个量为标准，将其余两个量也转化成那个标准量，
从而求出这个标准量．
练习题：
1、两个筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
2、甲乙两个车间共有432人，甲车间比乙车间少24人，甲乙车间各有多少人？
3、三1班和三2班共有图书80本，
三1班如果给三2班10本，两班的图书本数相同了，三1班和三2班原有图书多少本？
4、一个两层书架共放书72本，若从上层拿出9本给下层，上层比下层还多4本，上、下层各放书多少本？
5、姐姐和妹妹共有糖果39块。

如果姐姐给妹妹7块后就比妹妹少3块，那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？
6、两笼兔子共16只，若甲笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数就同样多，求甲、乙两笼原来各有兔子多少只？
7、某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？
8、小明期终考试的语文、数学和英语的平均分数时95分，数学比语文多6分，英语比语文多9分，求小明三门功课各多少分？。

和差问题、和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。

解题规律：（和＋差）÷2=大数大数－差=小数（和－差）÷2=小数和－小数=大数例：某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班各有多少人？分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即94－12，由此得到现在的乙班是（94－12）÷2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲班为94－87=7（人）1)甲乙两个工程队合挖一条长48千米的水渠，甲队比乙队多挖了6千米，求甲、乙工程队各挖了多少千米？2)甲、乙两个仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，求甲乙两仓库原来运进货物各多少吨？3)电视机厂一、二、三车间共有工人360人，第一车间比第二车间多12人，第三车间比第二车间少18人，三个车间各有工人多少人？9)甲乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生多少人？和倍问题和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是”谁”的几倍，把谁就确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。

根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数例:：汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。

三年级奥数专题-和差问题专题简析：已知大小两个数的和及它们的差,求这两个数各是多少,这类问题我们称为和差问题.掌握了和差问题的特征和规律,我们解答起来就很方便了.解答和差问题通常用假设法,同时结合线段图进行分析.可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数,再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多,先求小数,再求大数.用数量关系表示：（和＋差）÷2=大数（和－差）÷2=小数例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分,李杨比王平少4分.两人各考了多少分？思路导航：根据题意画出线段图.我们可以用假设法来分析.假设李杨的分数和王平一样多,则总分就增加4分,变为188+4=192分,这就表示王平的2倍,所以王平考了：192÷2=96分,李杨考了96－4=92分.练 习 一1,两筐水果共重124千克,第一筐比第二筐多8千克.两筐水果各重多少千克？2,小宁与小慧的身高总和是264厘米,又已知小宁比小慧矮8厘米.两人分别高多少厘米？3,三（1）班和三（2）班共有学生124人,如果从三（2）班调2人到三（1）班,两班学生同样多.三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？188分?分李杨例题2 某机床厂第一、二两个车间共有车床96部,如果第一车间拨给第二车间8部,那么两个车间车床数相等.两个车间各有车床多少部？思路导航：用线段图表示题意.已知第一、二两个车间共有车床96部,又根据“如果第一车间拨给第二车间8部,两个车间车床数相等”,从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多8×2=16部车床.所以,第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部,第二车间原有56－8×2=40部.练 习 二1,红星小学一年级新108人,分成甲、乙两个班.如果从甲班转3个学生到乙班去,两班学生就一样多.甲、乙两班各有学生多少人？2,甲、乙两筐共有水果80千克,若从甲箱取出6千克放到乙箱中,这时两箱水果同样多.两箱原来各有水果多少千克？3,有三只船共运木板9800块,第一只船比其余两船共运的少1400块,第二只船比第三只船少运200块.三只船各运木板多少块？例题3 哥弟俩共有邮票70张,如果哥哥给弟弟4张邮票,这时哥哥还比弟弟多2张.哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？思路导航：我们可以这样想,哥弟俩共有邮票70张,根据“如果哥哥给弟弟4张,还比弟弟多2张”,说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票.所以,弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张,哥哥有邮票30+10=40张.练 习 三1,一只两层书架共放书72本,若从上层中拿出9本给下层,上层比下层多4本.上、下层各放书多少本？2,姐姐和妹妹共有糖果39块,如果姐姐给妹妹7块,就比妹妹少3块.那么96部?部姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？3,两笼兔子共16只,若甲笼再放入4只,乙笼取出2只,这时两笼兔子只数就同样多.甲、乙两笼原来各有兔子多少只？例题4 把一条100米长的绳子剪成三段,要求第二段比第一段多16米,第三段比第一段少18米.三段绳子各长多少米？思路导航：用线段图来表示题意.可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准,假设第二、第三段绳子都和第一段同样长,那么总长就变为100－16＋18=102米.第一段绳子长：102÷3=34米第二段绳子长：34+16=50米第三段绳子长：34－18=16米练 习 四1,某工厂第一、二、三车间共有工人280人,第一车间比第二车间多10人,第二车间比第三车间多15人.三个车间各有工人多少人？2,某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人,第一名比第二名多得250元,第二名比第三名多得125元.三名优秀工人各得多少元？3,小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是95分,数学比语文多6分,英语比语文多9分.小明期终考试三门功课各多少分？例题5 四个人年龄之和是88岁,最小的3岁,他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁.最大的年龄是多少岁？思路导航：我们可以这样思考,将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别看作大数与小数,根据四个人的年龄和是88岁,年龄差是8岁,即可求出大数与小数.大数：（88+8）÷2=48岁最大的年龄：48－3=45岁练 习 五第二段第一段米1,小军一家四口年龄之和是129岁,小军7岁,妈妈30岁,小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁.爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？2,某校四个年龄共有438名学生,其中一年级119人,四年级101人,一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人.二、三年级各有多少人？3,某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛,其中一、二年级共70名,一、三年级共65名,二、三年级共59名.四年级有多少名？第二十九周年龄问题专题简析：年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合,要正确解答这类题,首先要弄清：两个不同年龄的人,年龄之差始终不变,但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化.年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量.我们可以抓住差不变这个特点,利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题.例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍,爸爸今年43岁,女儿今年多少岁？思路导航：由题意可知爸爸今年43岁,则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁,40岁正好是女儿年龄的4倍,女儿三年前的年龄是40÷4=10岁,今年女儿的年龄是10＋3=13岁.练习一1,四年前小林年龄是小丽的2倍,小林今年12岁,小丽今年多少岁？2,五年前爷爷年龄是孙子的7倍,孙子今年14岁,爷爷今年多少岁？3,儿子今年10岁,爸爸今年34岁.几年前,爸爸的年龄是儿子的4倍？例题2 明明4岁时,妈妈年龄是明明的8倍.今年明明12岁,妈妈今年多少岁？思路导航：妈妈的年龄是明明的8倍,那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁.妈妈与明明的年龄差是不变的,今年明明12岁,那么妈妈的年龄是12＋28=40岁.练习二1,玲玲7岁时,爸爸年龄是玲玲的5倍.今年爸爸40岁,玲玲今年多少岁？2,爷爷63岁时,他的年龄是小青的9倍.今年小青12岁,爷爷今年多少岁？3,两年前妈妈年龄是儿子的5倍,儿子今年9岁,妈妈今年多少岁？例题3 女儿今年3岁,妈妈今年33岁.几年后,妈妈的年龄是女儿的7倍？思路导航：女儿今年3岁,妈妈今年33岁,她们的年龄差是33－3=30岁.她们年龄差不变,几年后,妈妈的年龄是女儿的3倍,把女儿的年龄看作1份,妈妈的年龄就有7份,相差7－1=6份,6份是30岁,所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁.也就是说,5－3=2年后,妈妈的年龄是女儿的7倍.练习三1,小明今年7岁,爷爷今年62岁.几年前,爷爷的年龄是小明的12倍？2,儿子今年2岁,爸爸今年的年龄是儿子的16倍.几年后,爸爸的年龄是儿子的7倍？3,妈妈今年26岁,是小玲年龄的13倍.几年后,妈妈的年龄是小玲的7倍？例题4 4年前,妈妈的年龄是女儿的3倍,4年后,母女年龄和是56岁.妈妈今年多少岁？思路导航：4年后,母子的年龄和是56岁,可求出今年母子年龄和是56－4×2=48岁.4年前母子年龄和是48－4×2=40岁.又根据4年前,妈妈年龄是女儿的3倍,把女儿年龄看作1份,妈妈的年龄就有这样的3份,共有3＋1=4份.所以4年前女儿的年龄是40÷4=10岁,妈妈今年的年龄是10×3＋4=34岁.练习四1,3年前,哥哥的年龄是弟弟的2倍.3年后,哥弟俩的年龄和是30岁.哥哥今年多少岁？2,5年前,小明的年龄是小红的3倍.5年后,小明和小红年龄和是44岁.今年小明多少岁？3,7年前,姐姐的年龄是妹妹的4倍.7年后,姐妹俩的年龄和是48岁.姐姐今年多少岁？例题5 明明今年12岁,强强今年7岁,当两人的年龄和是45岁时,两人各多少岁？思路导航：明明和强强的年龄差为12－7=5岁,这是一个不变量.当两人的年龄和是45岁时,明明比强强还是大5岁,如果从两人的年龄和45岁里减去两人的年龄差5岁,得到的就是两个强强的年龄.所以,强强的年龄是（45－5）÷2=20岁,明明的年龄是20＋5=25岁.练习五1,小红今年4岁,小平今年10岁,当两人的年龄和是30岁时,两人各多少岁？2,聪聪今年2岁,妈妈今年28岁.当母子俩的年龄和是42岁时,两人各多少岁？3,兰兰今年12岁,婷婷今年14岁,当两人的年龄和是40岁时,两人各多少岁？。