江苏省赣榆县智贤中学高中数学2.3.3.1等比数列的前n项和学案1(无答案)新人教版必修5

1.1 正弦定理（1）一、我来学（一）知识要点1、 了解正弦定理的由来，掌握正弦定理的证明过程；2、 能利用正弦定理解决两类解斜三角形的问题,并注重解的个数的探究。

（二）探究1、如图，在ABC RT ∆中，用它的边表示： =A sin , =B sin , =C sin 。

2、通过1可发现A a sin 、B b sin 、Cc sin 间的大小关系是 。

3、对于任意的三角形，1的结论显然不成立，2的结论成立吗？请同学们选用某一三角形（如：ABC ∆中︒=∠30A ,︒=∠45B ,2=b ）或利用电脑检验。

4、怎样证明3的结论？请同学们探究、讨论给出证明过程。

5、你感觉正弦定理应注意哪些方面。

6、尝试：8P 练习1二、我来做例1、如图，在ABC ∆中，A =︒30,C =︒100,a =10，求c b ,（精确到0.01）。

尝试：9P 练习2思考：通过例1，你能说明利用正弦定理解三角形时必须知道三角形的哪些条件？ 例2、根据下列条件解三角形（1）a =1，3=b ，A =︒30(2) a =2，1=b ，A =︒45思考：通过例2利用正弦定理解三角形时，可能有两个解。

那么，当知道三角形的两角及一角的对边时，解的情况怎样呢？尝试：9P 练习3C a AB C三、我来练1、在ABC ∆中，A =︒30,C =︒45,a =10，则c = 。

2、在ABC ∆中，a =25，10=c ，A =︒30,则=b 。

3、在ABC ∆中，A =︒30,a =6，=b 4，则满足条件的ABC ∆有 个。

4、在ABC ∆中，若ba B A =tan tan ，则ABC ∆的形状为 。

5、在ABC ∆中，若Ab a sin 23=,则B = 。

6、在ABC ∆中，若c b a ++=30，且=C B A sin :sin :sin 4:5:6,则a = 。

7、在ABC ∆中，已知a =1，3=b ，A =︒30,求B,C ，c 。

听课随笔第13课时 等比数列的前n 项和(2)【学习导航】知识网络学习要求1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。

【自学评价】1．常见的数列的前n 项的和： （１）=++++n 321=2)1(+n n 即∑=ni i 1=2)1(+n n（2）6)12)(1(12++=∑=n n n i ni（3）2132)1([+=∑=n n i ni 2． 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法． 3．错位相减法：适用于{n a n b }的前n 项和，其中{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列； 4．裂项法：求{}n a 的前n 项和时，若能将n a 拆分为n a =n b －1+n b ，则111+=-=∑n nk kb b a5．倒序相加法6.在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a q S=+奇偶 【精典范例】【例1】求数列211+，412+，813+，．．．的前n 项和. 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法． 【解】=n S （211+）+（412+）+．．．+（n n 21+）＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）＋（n 21814121+++ ）=.2112)1(n n n -++ 【例2】设数列{}n a 为231,2,3,4x x x , ,1n nx - ()0≠x 求此数列前n 项的和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法． 【解】2311234n n S x x x nx -=+++++ ①()231231n n nxS x x x n x nx -=++++-+ ②由①-②得()1n x S -211n n x x x nx -=++++- ，当1≠x 时，()nnn nx xx S x ---=-111xnx nx x n n n -+--=+111()xnx x n n n -++-=+1111()()21111x nx x n S n n n -++-=+ 当1=x 时，()214321n n n S n +=++++=追踪训练一1． 求和∑=+101)23(k k【答案】20762．求和132)12(7531--+++++=n n x n x x x S听课随笔 【答案】21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 3．若数列{}n a 的通项公式为n n na 2=，则前n 项和为( B ) A.n n S 211-= B.nn n nS 22121--=- C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 211 D.n n n n S 22121+-=-4．数列1，211+，3211++，…，n+++ 211的前n 项和为( B )A.122+n nB. 12+n nC.12++n nD. 1+n n 5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n +1n . 【解】 设n =2k ,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －1)－(2k )］=－k =－2n 设n =2k －1,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －3)－(2k －2)］+2k －1=－(k －1)+2k －1=k =21+n∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)n n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-为奇数为偶数n n n n21 2 【选修延伸】【例3】已知数列｛a n ｝中， a n ＋1＝a n ＋2n ， a 1＝3，求a n .【解】 由a n ＋1＝a n ＋2n得a n ＝a n －1＋2n －1即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=-=---------22221233222111a a a a a a a a n n n n n n n n n∴a n －a 1＝21)21(21---n ＝2n －2因此a n ＝2n －2＋a 1＝2n ＋1点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系听课随笔4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

2.3.1等比数列概念（2）一、我来学（一）、知识要点1.掌握等比数列的通项公式的推导方法.2.掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单问题3.体会等比数列与指数函数的关系（二）、情景与探究复习等比数列的定义，{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … …你能写出它的第n 项n a 吗？能不能证明你的结论？思考：在等比数列通项公式中，若已知,,,5d n a 你能表示出n a ？能不能得到更一般的结论？如果已知d n a m ,,，你能表示出n a 么？总结：等比数列通项公式（1）_______________________________(2)_______________________________二、我来做例1. 在等比数列｛n a ｝中，（1） 已知1a =3，2-=q ,求6a ； （2）已知160,2063==a a ，求n a例2. 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的三个数。

例3. 已知等比数列｛n a ｝的通项公式为n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q 。

思考：一个数列｛n a ｝的通项公式为n n a aq =，其中q a ,都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？例4：已知数列{}n a 为一个等差数列，证明{}n a c 是等比数列。

三、我来练1.在等比数列{}n a 中，（1）已知,972,494==a a 求n a （2）已知32415,6,15a a a a a 求=-=-2.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，连结各边中点得△111C B A ，再连接 △111C B A 的各边中点得△222C B A ，……如此继续下去，试证明数列A B C S ∆，111A B C S ∆，22A B C2S ∆，……是等比数列。

《数列》教学案教学案总：第（09）号：第（）小组时间：课题等比数列的前项n和课型新授课第（1）课时学习目标1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．重点难点重点：等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导；难点：灵活应用公式解决有关问题。

导学过程（教材P55---P58）“情景自学——雏凤清声”（阅读教材自主思考解决）1、我国明代商人、珠算发明家程大位(1533-1606)所著的《算法统宗》中有用歌诀写出的等比数列问题：“远望巍塔七层,红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”2、传说在古印度,有个名叫西萨的人发明了国际象棋,国王大为赞赏要奖励西萨，问他有什么要求，西萨说“请在棋盘第l个格子里放l颗麦粒在第2个格子里放2颗麦粒在第3个格子里放4颗麦粒在第4个格子里放8颗麦粒依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子请给我足够粮食来实现上述要求!”【问题一】：在上述的生活故事中，体现了一个什么样的数学问题？你能用相关知识解决这个我问题吗？①；②；〖♣〗复习回顾：1、数列前n项和的定义是什么？；2、等差数列的数列前n项和公式是什么？；3、等比数列的通项公式是什么？；“合作互学——群凤和鸣”（师生、生生合作完成）〖♣〗探求新知：【问题一】：等比数列前项和公式推导：q(q≠.已知数列{}n a是等比数列，且首项为1a，公比为)1推导方法一：（错位相减法）推导方法二：（拆项法）【问题二】：等比数列前项和公式的应用：1、已知数列{}n a是等比数列，请完成下表：题号a1q n a n s n① 2 1 10②27 (q>0) 91243③ 3 2 96④ 2 7 3812、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?“展示激情——凤举鸾翔”（小组代表展示）【问题三】：你现在能用以上所学的知识解决下列问题，并勇敢地展示出你的解答吗？1、求等比数列12，14，18，…的前8项的和.2、等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及3、在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若105S =，2015S =，求30S .“提升引领——凤翔九天”（师、生归纳小结）1．等比数列前n 项和推导法：由等比数列的定义，32121n n a a a q a a a -====，利用合比定理： ；2．等比数列{}n a 前n 项和公式为n S ； 2．等比数列{}n a 通项公式、前n 项和公式中有1,,,,n n a d n a S 等五个元素，在已知三个元素时，可以求另二个元素．即知三求二．3．错位相减法求和：若{}n a 成等差数列（公差为d ），{}n b 成等比数列（公比1q ≠），则数列{}n n a b 的前n 项和可错位相减法求：【巩固演练】：1．设{an}为等比数列，Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中（ ） A.任何一项均不为零 B.必有一项为零C.至多有一项为零D.或有一项为零，或有无穷多项为零。

2.3.3 等比数列前n 项和(1)教学目标： 1. 掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；2. 会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题.．教学重点：等比数列的前n 项和公式推导与灵活应用公式解决有关问题．教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导．教学过程一、问题情境我们已经学习了等比数列的概念与通项公式，与等差数列类似．下面，我们应该研究什么问题呢？求等比数列前n 项和．问题：如何求一个等比数列前n 项和呢？已知等比数列{a n }的第1项1a 、公比为q ，求该数列的前n 项和是S n ，即=n S 123n a a a a ++++．研究问题疏理： 有哪些条件呢？{a n }是等比数列是什么意思？1n n a a q -=或32121n n a a a q a a a -===． 要求什么呢？求该数列的前n 项和是S n 是什么意思？用1a ，q ，n 表示S n ． 让我们为难的是什么？项数多，运算次数多，无法算．如何求呢？请同学们思考．二、学生活动老师巡视，请学生上黑板板演．思路一：错位相减法．22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++得2211111123111111n n n n n n S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q-=- 当q =1时，1na S n =评：再构造一个等式，两式相减．特点：每一项都是前一项的q 倍，原式乘以q 后，相当于各项向后移了一位，两式右边有n -1项相同，相减后减少项数． 思路二：32121n n a a a q a a a -===， 等比定理：23121n n a a a q a a a -+++=+++，即1n n nS a q S a -=- ∴11(1)n n q S a a q -=-,注：由11(1)n n q S a a q -=-的左边，(1)n n n q S S qS -=-，可看出需用S n 减去n qS ，也可引出错位相减法．思路三：22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++=2211(1)n n a q q q q --+++++ 只要求S n ＝2211n n q q q q --+++++即可．转化 角度一：错位相减法；角度二：S n =2212211(1)n n n q q q q q q q q ---+++++=+++++=1+ q S n -1S n 11()n n q S q -=+-，解出S n 。

..专业.2.3.3等比数列前n 项和(1) 第 18 课时一、学习目标 〔1〕掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；〔2〕会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题．二、学法指导推导等比数列前n 项和公式的方法称为错位相减法。

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，由12311n n n n S a a a a a a q-=++++⎧⎨=⎩ 得2211111123111111n n n n n n S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩ ∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=- 当q=1时，1na S n =〔错位相减法〕说明：〔1〕n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各三个可求第四个；〔2〕注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；〔3〕应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．三、课前预习1．等比数列的前n 项和：等比数列{}n a 中123,,,,n a a a a 的和，即=n S 123n a a a a ++++2. 推导等比数列前n 项和公式的方法：------------------------3．等比数列前n 项和公式：---------------------------------------------------------------------三、课堂探究如何推导等比数列前n 项和公式的方法四．数学运用例1．求等比数列{}n a 中，〔1〕；14a =-，12q =，求10S ；〔2〕；11a =，243k a =，3q =，求k S ．..专业.例2．求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；例3．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++的前n 项和．例4．〔选讲〕设{}n a 是等比数列，求证：232,,n n n n n S S S S S --成等比数列．四、巩固训练 〔一〕当堂练习〔52页书后练习〕 〔二〕课后作业选做1．{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，248=a a ，S 4=4，求S 8 2．在等比数列{}n a 中，n S 表示该数列的前n 项和，假设1049S =，20112S =，求30S五、反思总结。

2.3.3 等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握用“错位相减”的方法推导等比数列前n项和公式；(2)掌握等比数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；(3)综合运用等比数列的定义、通项公式、性质及前n项和公式解决相关问题．2.过程与方法(1)经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题；(2)从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力；(3)通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．3．情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．●重点、难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.难点：等比数列的前n项和公式的推导．等比数列的前n项和公式的推导过程中蕴含了分类讨论、递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键．虽然在此之前，已经学习了等差数列的前n项和，但是两者相似度低，不能通过类比得到．同时，错位相减法是第一次出现，学生不容易理解，为此，要注意引导学生分析等比数列的性质和通项公式，关注相邻项的变化特点，引出错位相减法．(教师用书独具)●教学建议学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前n 项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就本节的内容展开思考，而且学生在情感上也具备了学习新知识的渴求．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导；但也是不利因素，因本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破．另外，对于q＝1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错，应特别提醒学生注意．本节课是公式推导课，建议可采用探究式教学方法．在教学中以学生的分组讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路．●教学流程回顾等比数列有关概念、通项公式，引导学生思考如何求一个等比数列的前n项和.⇒引导学生自主写出一般的等比数列的前n项，探寻相邻项之间的变化特点，引出错位相减法.⇒引导学生用错位相减法推导等比数列的前n项和公式，推导完成后提醒学生关注q＝1这一特殊情况.⇒结合具体数列，引导学生观察、探寻等比数列前n项和满足的性质.⇒通过例1及其互动探究使学生掌握等比数列前n项和公式的应用方法.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握等比数列前n项和性质的应用.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握运用等比数列前n项和公式解实际应用题的方法.⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第34页)已知等比数列{a n}，公比为q，S n是其前n项和，则S n＝a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a1q＋…＋a1q n－1.1．若q＝1，则S n与a n有何关系？【提示】S n＝na1.2．若q≠1，你能用a1，q直接表示S n吗？如何表示？【提示】∵S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①所以两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .②①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q .S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1na 1.q ＝1等比数列前n 项和的性质【问题导思】等比数列{a n }前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (q ＝－1且n 为偶数时除外)有何关系？【提示】 也为等比数列．证明如下：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1. 显然S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ，S 2n ＝a 11－q 2n1－q ，S 3n ＝a 11－q 3n1－q.则S 2n －S n ＝a 1q n －q 2n 1－q ＝a 1q n 1－q n1－q ，S 3n －S 2n ＝a 1q 2n －q 3n 1－q ＝a 1q 2n 1－q n1－q.∴(S 2n －S n )2＝a 21q2n 1－q n 21－q2， S n (S 3n －S 2n )＝a 11－q n 1－q ·a 1q 2n 1－q n1－q＝a 21q 2n 1－q n 21－q2. ∴S n ·(S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则(1)若S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 均不为0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列；(2)若{a n }共2n (n ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q .(对应学生用书第34页)在等比数列{a n }中：(1)已知a 1＝－1.5，a 7＝－96，求q 和S n ； (2)已知q ＝12，S 5＝－318，求a 1和a n ；(3)已知a 1＝2，S 3＝26，求q 和a n .【思路探究】 解决本题可由通项公式或前n 项和公式列出基本量a 1，q 的方程或方程组，先求a 1，q 再求其他量．【自主解答】 (1)∵a 7＝a 1q 6，∴q 6＝a 7a 1＝－96－1.5＝26，∴q ＝±2.当q ＝2时，S n ＝－1.5×1－2n1－2＝32－3×2n －1； 当q ＝－2时， S n ＝－1.5×[1－－2n]1＋2＝－12＋(－1)n ×2n －1.综上所述，当q ＝2时，S n ＝32－3×2n －1；当q ＝－2时，S n ＝－12＋(－1)n ×2n －1.(2)∵S 5＝a 1×1－q 51－q ＝－318，且q ＝12，∴a 1＝－2，∴a n ＝a 1qn －1＝(－2)×(12)n －1＝－22－n .∴a 1＝－2，a n ＝－22－n.(3)由a 1＝2，S 3＝26，∴q ≠1，∴S 3＝21－q 31－q＝26，∴1－q1＋q＋q21－q＝13，即q2＋q－12＝0，解得q＝－4或3.当q＝－4时，a n＝a1q n－1＝2×(－4)n－1＝(－1)n－1×22n－1.当q＝3时，a n＝a1q n－1＝2×3n－1.综上所述，当q＝－4时，a n＝(－1)n－1×22n－1；当q＝3时，a n＝2×3n－1.1．在等比数列中，对于a1，q，n，a n，S n五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常列方程组来解答问题，有时会涉及高次方程或指数方程，求解可能遇到困难，这时要注意表达式有什么特点，再采取必要的数学处理方法．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．若本例(2)中的条件不变，如何求数列{a n }的前n 项和S n 呢？【解】 ∵S 5＝a 1×1－q 51－q ＝－318且q ＝12，∴a 1＝－2，∴S n ＝a 1×1－qn1－q＝－2×[1－12n]1－12＝－4×[1－(12)n]＝4·(12)n －4＝(12)n －2－4.等比数列前n 项和性质的应用各项均为正数的等比数列{a n }的前n项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，求S 40.【思路探究】 本题可用基本量法先求a 1，q 再求S 40，也可利用等比数列前n 项和的性质求解．【自主解答】 法一 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，且由条件可知q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 101－q＝10， ①a 11－q 301－q＝70. ②由①÷②得q 10＝2或q 10＝－3(舍去)， 将其代入①，得a 11－21－q＝10.∴a 11－q ＝101－2＝－10. ∴S 40＝a 11－q(1－q 40)＝－10×(1－24)＝150.法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30仍成等比数列． 又S 10＝10，S 30＝70，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)． ∴(S 20－10)2＝10(70－S 20)，∴S 220－10S 20－600＝0， ∴S 20＝30或S 20＝－20. ∵{a n }各项均为正数，∴S 20＝30，∴10,20,40，S 40－70成等比数列， ∴S 40－70＝80，∴S 40＝150.1．本例中，两种解法相比较，法二的计算量较小，显示出利用等比数列前n 项和性质的优越性．2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(q ＝－1且n 为偶数时除外)，这一性质可直接使用．一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【解】 法一 设等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *)，由已知a 1＝1，q ≠1，有⎩⎪⎨⎪⎧1－q2n1－q 2＝85， ①q1－q2n1－q2＝170. ②②÷①得q ＝2，将q ＝2代入①得1－4n1－4＝85，∴4n＝256，n ＝4，∴公比q ＝2，项数为8. 法二 设公比为q (q ≠1)，项数为2n . 由等比数列前n 项和的性质可知S 偶S 奇＝q . ∴q ＝17085＝2.又S 2n ＝170＋85＝a 11－q 2n1－q，∴1－22n1－2＝255. ∴n ＝4，项数为8.等比数列前n 项和公式的实际应用在一次人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2 000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%.设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算在一家公司连续工作10年，仅从工资收入总量作为应聘标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司？为什么？【思路探究】 从题意出发，从条件中提取有用的信息．A 公司第n 年的月工资构成等差数列，B 公司第n 年的月工资构成等比数列，分别计算出前10项和，比较可得结果．【自主解答】 (1)设该人在A 、B 两家公司第n 年的月工资分别为a n 、b n . 由已知，得{a n }构成等差数列，以1 500为首项，230为公差，a n ＝230n ＋1 270. {b n }构成等比数列，以2 000为首项，以(1＋5%)为公比，b n ＝2 000(1＋5%)n －1.(2)若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S 10＝12(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝12×[10×1 500＋1010－12×230]＝304 200(元)； 若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S ′10＝12(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝12×2 0001－1.05101－1.05≈301 869(元)．由于在A 公司总收入多，因此该人应选择A 公司．1．本例解题的出发点是构造出两个数列，一个等差另一个等比，通过求两个数列的前n 项和，比较得出结论．2．在解数列应用题时，不要被题目的设计背景所干扰．解答时要注意对数列进行辨析，分清等差数列与等比数列的不同表示语句，从而更好的解决问题．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元？(精确到0.01元)【解】 设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2 000×(1＋0.008)－x ， 第2期付款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， ……因为第12期付款后欠款为0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0， 故x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1≈175.46(元) ，即每期应付款约为175.46元.(对应学生用书第36页)应用等比数列求和公式时，忽略q＝1的情况致错等比数列{a n}的前n项的和与积分别为S和T，数列{1a n }的前n项和为S′，求证T2＝(SS′)n.【错解】由题意可设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则数列{1a n }的首项为1a1，公比为1q，所以S ＝a 11－q n 1－q ，T ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n 1q n n －12， S ′＝a －111－q －n1－q －1＝q n －1a 1q n －1q －1， 所以(S S ′)n ＝(a 21q n －1)n ＝[a n1·q n n －12]2＝T 2， 即T 2＝(S S ′)n. 【错因分析】 由题设无法判断q 与1的关系，以上证法，漏掉了公比q ＝1的情形，故导致错误．【防范措施】 对于公比为q ，首项为a 1的等比数列，其前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.当q ＝1时，此类数列为常数列(各项均不为0)，其前n项和为na 1，故解决此类问题时要细心，一般来说，只要题目中含有字母，就有可能要讨论，否则容易漏解．【正解】 由题意可设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 则数列{1a n }是首项为1a 1，公比为1q的等比数列．当q ＝1时，S ＝na 1，T ＝a n1，S ′＝n a 1， 所以(S S ′)n ＝a 2n 1＝T 2，所以T 2＝(S S ′)n ； 当q ≠1时，S ＝a 11－q n 1－q ，T ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n 1q n n －12，S ′＝a －111－q －n1－q －1＝q n －1a 1q n －1q －1， 所以(S S ′)n ＝(a 21q n －1)n ＝[a n 1q n n －12]2＝T 2， 即T 2＝(S S ′)n. 综上可知T 2＝(S S ′)n.1．基础知识：(1)等比数列前n项和公式；(2)等比数列前n项和公式与函数关系；(3)等比数列前n项和性质．2．基本技能：(1)等比数列前n项和公式的应用；(2)等比数列前n项和性质的应用；(3)运用等比数列前n项和公式解决实际问题．3．思想方法：(1)方程思想；(2)函数思想.(对应学生用书第36页)1．等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝1，则S n 等于________． 【解析】 q ≠1，直接使用等比数列求和公式，得S n ＝a 11－q n 1－q ＝1－2n1－2＝2n－1.【答案】 2n－12．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________. 【解析】 设等比数列首项为a 1，∵q ＝2， ∴由前n 项和公式得S 4＝a 11－241－2＝15a 1.又a 2＝a 1·q ＝2a 1，∴S 4a 2＝15a 12a 1＝152.【答案】1523．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝4，S 4＝40，则S 6＝________. 【解析】 由等比数列前n 项和性质：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4) ∴362＝4(S 6－40)，S 6＝364.【答案】 3644．设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．【解】 由题设知a 1≠0，S n ＝a 11－q n1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 11－q 41－q＝5×a 11－q 21－q . ②由②得1－q 4＝5(1－q 2)， (q 2－4)(q 2－1)＝0，(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q ＜1，所以q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2， 通项公式为a n ＝2×(－1)n －1(n ∈N *)；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，通项公式为a n ＝12×(－2)n －1(n ∈N *).(对应学生用书第90页)一、填空题1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝22，则a 1的值等于________． 【解析】 由等比数列前n 项和公式S 5＝a 1[1－－25]1－－2＝22，∴33a 1＝3×22，∴a 1＝2.【答案】 22．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则公比q 等于________．【解析】 ∵a 1＝3，S 3＝21，∴q ≠1. 由等比数列前n 项和公式， S 3＝31－q 31－q＝31－q1＋q ＋q 21－q＝3q 2＋3q ＋3＝21，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或q ＝－3. 又∵各项都为正数，∴q ＝2. 【答案】 23．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________. 【解析】 ∵S 3n ≠3S n ，∴q ≠1.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q n －1q －1＝2， ①a1q 3n－1q －1＝14， ②②÷①整理得(q n＋3)(q n－2)＝0，则q n＝2(q n＝－3舍去)，∴a 1q －1＝2，S 4n ＝a 1q －1(q 4n－1)＝30.【答案】 304．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于________．【解析】 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则有(2＋2d )2＝2(2＋5d )，即4d 2－2d ＝0.又d ≠0，所以d ＝12，所以S n ＝2n ＋n n －12×12＝14n 2＋74n .【答案】 14n 2＋74n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 13n －12(n ≥1)，且a 4＝54，则a 1＝________. 【解析】 由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 13n －12(n ≥1)，则a 4＝S 4－S 3＝a 181－12－a 127－12＝27a 1，且a 4＝54，则a 1＝2.【答案】 26．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝________.【解析】 由等比数列的性质知a 1·a 2n －1＝a 2·a 2n －2＝…＝a n －1·a n ＋1＝a 2n ＝a 5·a 2n －5＝22n，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1 ＝log 2(a 1·a 2·a 3·…·a 2n －1)＝log 2(2n )2n －1＝n (2n －1)．【答案】 n (2n －1)7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.【解析】 设公比为q ，则S 6S 3＝1＋q 3S 3S 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2，于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q3＝1＋2＋41＋2＝73.【答案】 738．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则前3项的和S 3的取值范围是________．【解析】 ∵{a n }是等比数列，∴设数列{a n }的公比为q (q ≠0)．又∵a 2＝1，∴a 1＝1q，a 3＝q ，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1q＋1＋q ，∴q 2＋(1－S 3)q ＋1＝0，∴Δ＝(1－S 3)2－4≥0，∴S 3≤－1或S 3≥3.综上可知S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、解答题9．(2013·临沂高二检测)已知等比数列{a n }前n 项之和为S n ，若S 4＝－20，S 8＝－1 640，求a 1和q .【解】 (1)当q ＝1时，S 4＝4a 1＝－20，∴a 1＝－5；S 8＝8a 1＝－1640，∴a 1＝－205，∴无解．(2)当q ≠1时，S 4＝a 11－q 41－q ＝－20，S 8＝a 11－q 81－q＝－1640，∴1－q81－q 4＝82，∴q ＝±3 当q ＝3时，由a 11－341－3＝－20，∴a 1＝－12；当q ＝－3时，由a 1[1－－34]1－3＝－20，∴a 1＝1.综上：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝－310．(2013·扬州检测)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝－10，且a 2，a 4，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＞0，求数列{aa n ＋12}的前n 项和S n . 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 1＝－10，a 2，a 4，a 5成等比数列，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )， 即(－10＋3d )2＝(－10＋d )(－10＋4d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍)．所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12， 所以aa n ＋12＝a 2n (a ＞0)．当a ＝1时，数列{aa n ＋12}的前n 项和S n ＝n ； 当a ≠1时，令b n ＝aa n ＋12＝a 2n(a ＞0)，则b n ＋1＝a2n ＋2，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a2n ＝a 2(n ∈N *)，故{b n }为等比数列，所以{b n }的前n 项和S n ＝a 21－a 2n1－a2. 11．(2013·泗阳检测)已知等差数列{a n }的公差d ＜0，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求S n 的最大值．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，S 2b 2＝6＋dq ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，故a n ＝3＋(n －1)×(－65)＝－65n ＋215，b n ＝(403)n －1.(2)S n ＝－35n 2＋185n ＝－35(n －3)2＋275，∴当n ＝3时，S n 有最大值为275.(教师用书独具)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1. 【思路探究】 由数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，求出a n ，从而求出a n ＋1－a n .【自主解答】 (1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d ， 由a 1＝3，a 3＝9，得2(log 22＋d )＝log 22＋log 28， ∴d ＝1.∴log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n＋1. (2)证明：∵1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n ＜1.先求出{a n }的通项公式是解题的关键，然后进一步求出a n ＋1－a n ，最后运用等比数列的前n 项和公式证明不等式成立．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ，数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ＝1,2,3，…，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证T n ＜72.【解】 (1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23.b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29.当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13， 所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .(2)证明：由数列{a n }为等差数列，a 5＝14，a 7＝20，可得公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n ，∴T n ＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…＋(3n －1)·13n ]＝72－72·13n －n 3n －1＜72. 拓展例说函数思想在数列中的应用数列是一类特殊的函数，即数列是定义在正整数集N *或其子集{1,2，…，n }上的函数．对于等差数列{a n }，其通项公式a n 为关于n 的一次函数，因此其图象是一直线上的离散点；其前n 项和S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0(公差不为0)，故其图象是一抛物线上的离散点．对于等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q q n ，前n 项和的公式S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q－a 11－qq n (q ≠1)，都具有类似于指数函数的结构特点，所以，它们的图象都是指数函数图象上的离散点．已知数列{a n }是等差数列，若S n ＝10，S 2n ＝50，求S 3n .【解】 由条件知数列{S nn }是等差数列，故(n ，S n n )，(2n ，S 2n 2n )，(3n ，S 3n3n)三点共线， 所以502n －10n 2n －n ＝S 3n 3n －10n 3n －n.解得S 3n ＝120.数列{a n }中，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，a 1＝2，求a n .【解】 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，∵数列{a n2n }为等差数列，且公差为1，由通项公式得a n 2n ＝a 12＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝2nn (n ∈N *)．注：例1说明等比数列S n 是常数项为0的二次函数，S n n是一次函数．例2是经过函数变换，将原问题转化为等比数列和等差数列问题后再来求解的．。

2.1数列的概念和简单表示（2）一、我来学（一）知识要点1、了解数列的递推公式含义，能根据数列递推公式写出数列中的项；2、掌握如何根据数列的前n 和确定数列的通项公式。

（二）回顾1、数列{n a }的通项公式n a =n n -+11，则174+是该数列的第 项。

2、已知数列{n a }的通项公式n a =1242--n n ，则4a = ，7a = ，65是它的第几项；数列{n a }从第几项起数列的各项都为正；数列{n a }中第 项的值最小，是 。

3、数列{n a }中n a =10092--n n ，则数列{n a }的最小项是 。

4、写出下列数列的通项公式（1）2, -5, 10，-17， (2)32，154，356，638，… （3）21，2，29，8，25，… （4）0.5, 0.55, 0.555，0.5555，…（5）211，413，815，1617，… （三）探究1、已知数列{n a }中，1a =1，1+n a =n a +2，那么这个数列的每一项是否都可以写出来？2、数列的递推公式：如果数列的任意一项n a 与其他某些项之间的关系可以用一个公式表达出来，则这个公式叫做数列{n a }的递推公式。

请思考数列的递推公式有何作用？3、数列的前n 项的和记为n S ，即+++=321a a a S n …+n a ，那么n a 与n S 之间有怎样的关系？二、我来做例1、（1）若数列{n a }中，1a =2，且各项满足1+n a =21-n a ，写出数列的前四项。

（2）若数列{n a }中，1a =1，2a =4，且各项满足2+n a =n n a a 21++，则26是该数列的第几项？例2、已知数列{n a }的前n 项的和n S =23-n ，求该数列的通项公式。

例3、已知数列{n a }的前n 项的和n S =221-+n ，（1） 求该数列的通项公式；（2） 设1+=n n a b +n a ，求数列{n b }的通项公式。

2.2.3等差数列的前n 项和（1）一、我来学（一）、知识要点1．掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题（二）、情景与探究首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义：2．等差数列的通项公式：3．等差中项：4．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 问题: 如何求等差数列{}n a 的前n 项和n S ?应该怎么推导？二、我来做例1、等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？例2.在等差数列{}n a 中,⑴已知43,7101-==a a ,求10S ⑵已知3,41==d a ,求10S例3.在等差数列{}n a 中,已知215,23,21-===n n S a d ,求1a 和n例4.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求第21项到第30项的和.三、我来练1．已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．2．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和3. 求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和4.某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧场共有多少个座位?5.在等差数列{}n a 中,⑴已知101,3501==a a ,求50S ⑵已知2,1001-==d a ,求50S⑶已知2,1015=-=d a ,求20S ⑷已知24,895==a a ,求n S6.在等差数列{}n a 的通项公式是32+=n a n ,求它的前n 项的和.7.在等差数列{}n a 中,⑴已知999,54,201===n n S a a ,求n d , ⑵已知629,37,31===n S n d ,求n a a ,1 ⑶已知5,61,651-=-==n S d a ,求n a n , ⑷已知,10,15,2-===n a n d 求n S a ,18．已知等差数列{}n a 的前4项和为2,前9项和为-6,求它的前n 项和.。