高考数学一轮复习知识点与练习一元二次不等式及其解法

第45课一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+6x>2的解集为.【答案】331x x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】将不等式-3x2+6x>2转化为3x2-6x+2<0，所以不等式的解集为33|1-133x x⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.2.(必修5P80习题11改编)不等式-13xx+<0的解集为.【答案】{x|-3<x<1}3.(必修5P71习题7改编)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3<x<4}，则a=，b=.【答案】-1127124.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本C=500+30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是.【答案】[20，45]【解析】由题意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2-2x+k2-2>0对于任意的x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值X围是.【答案】(-∞，2∪2【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x≥2，可求得f(x)max=2，则k2>f(x)max=2，所以k>2或k<-2.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1=x2=-b2a无实数根ax2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}bx|x-2a⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅2.求解一元二次不等式的三个步骤：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)结合二次函数y=ax2+bx+c的图象；(3)写出一元二次不等式的解集.3.分式不等式--x ax b<0(a<b)的解集为{x|a<x<b}.分式不等式--x ax b >0(a<b)的解集为{x|x<a或x>b}.4.二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的条件是0 a>⎧⎨∆<⎩，.二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R的条件是a<⎧⎨∆<⎩，.【要点导学】要点导学各个击破一元二次不等式及分式不等式的解法例1 解下列关于x的不等式.(1)-6x2-5x+1<0；(2)1xx+≤3.【思维引导】(1)本题考查一元二次不等式的解法，求解时注意与相应的二次函数的图象相结合.(2)由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母.所以有1xx+-3≤0，通分得-21xx+≤0，即2-1xx≥0，又2-1xx≥0等价于(2x-1)x≥0且x≠0，不等式(2x-1)x≥0对应方程的根为x1=0，x2=12，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为x≥12或x<0.【解答】(1)原不等式转化为6x 2+5x -1>0，方程6x 2+5x -1=0的解为x 1=16，x 2=-1.根据y =6x 2+5x -1的图象，可得原不等式的解集为1|-16x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. (2)原不等式变形为1x x +-3≤0，即2-1x x ≥0，所以原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或. 【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为--x ax b <0(a <b )或者--x ax b >0(a <b )的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2)题，就可以转化成001313x x x x x x ><⎧⎧⎨⎨+≤+≥⎩⎩，，或者，再分别求解.变式1 解下列关于x 的不等式. (1)x -3x >-2；(2)x 2-(a 2+a )x +a 3<0(a >0). 【解答】(1)解不等式x -3x >-2，可得x >2或x <1.由x >2，得x >4；由x <1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}.(2)原不等式转化为(x -a )(x -a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a 2=a ，即a =1时，不等式的解集为∅.变式2 已知关于x 的不等式(1)-3-1a x x +<1. (1)当a =1时，解该不等式； (2)当a 为任意实数时，解该不等式.【解答】(1)当a=1时，不等式化为2-3-1xx<1，化为-2-1xx<0，所以1<x<2，解集为{x|1<x<2}.(2)由(1)-3-1a xx+<1，得-2-1axx<0，即(ax-2)(x-1)<0.当2a=1，即a=2时，解集为∅；当2a>1，即0<a<2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当2a<1，即a>2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=0时，解集为{x|x>1}；当a<0时，解集为{x|x<2a或x>1}.三个“二次”的关系例2 已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<m 的解集为(n，n+10)，某某数m的值.【解答】因为函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，所以Δ=b2-8c=0，所以c=28b，因为不等式f(x)<m的解集为(n，n+10)，所以2x2+bx+28b<m，即2x2+bx+28b-m<0的解集为(n，n+10)，设方程2x 2+bx +28b -m =0的两根为x 1，x 2， 则x 1+x 2=-2b，x 1x 2=216b -2m ，所以|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=22--4-2162b b m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2m=10，解得m =50.【精要点评】(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)若x 1，x 2为ax 2+bx +c =0(a ≠0)两根，则|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=2--4b c a a ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2-4||b aca =||a ∆.变式(2015·某某期末)若不等式x 2-ax -b <0 的解集为(2，3). (1)某某数a ，b 的值；(2)求不等式bx 2-ax -1>0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式x 2-ax -b <0的解集是{x |2<x <3}. 所以2和3是方程x 2-ax -b =0的两个根，由韦达定理得2323-a b +=⎧⎨⨯=⎩，，解得5-6.a b =⎧⎨=⎩，(2)不等式bx 2-ax -1>0， 即为-6x 2-5x -1>0，不等式-6x 2-5x -1>0可化为6x 2+5x +1<0， 即(2x +1)(3x +1)<0，解得-12<x <-13，所以所求不等式的解集为{x 11--}23x <<.例3(1)已知方程x 2+ax +2=0的两根都小于-1，某某数a 的取值X 围；(2)若α，β是方程x2+(2m -1)x+4-2m=0的两个根，且α<2<β，某某数m的取值X围. 【思维引导】数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的关系：(1)--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，；(2)f(2)<0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因为x2+ax+2=0的两根都小于-1，所以--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，，所以22≤a<3，即实数a的取值X围是[22，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，则此二次函数的图象开口向上.又α<2<β，所以f(2)<0，即4+(2m-1)·2+4-2m<0，所以m<-3，即实数m的取值X围是(-∞，-3).【精要点评】利用二次函数的图象分析一元二次方程的根的问题，通常要考查其开口方向、判别式、对称轴及端点处函数值的符号.恒成立问题求参数例4 如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值X围为.【答案】[0，4]【解析】当a=0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2-ax+1≥0恒成立，得2-40aa a>⎧⎨∆=≤⎩，，解得0<a≤4.综上，实数a的取值X围为[0，4].变式已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，某某数m的取值X围.【解答】令t=3x(t>1)，则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的图象恒在x轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或12(1)1-10mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=++≥⎪⎩，，，解得m<2+22.即实数m的取值X围是(-∞，2+22).1.(2015·某某卷)不等式2-2x x<4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得x2-x<2⇒-1<x<2，故解集为(-1，2).2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，那么不等式ax2-bx+c<0的解集为.【答案】{x|-3<x<-2}【解析】因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为a>0，所以不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|-3<x<-2}.3.(2014·某某期末)已知函数f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，若f(f(-2))>f(k)，则实数k的取值X围为.【答案】(lo12g9，4)【解析】由题设知f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，所以f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等价于f(k)<9，即192kk<⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，或2(-1)9kk≥⎧⎨<⎩，，解得k∈(lo12g9，4).4.若关于x的不等式ax2+x-2a<0的解集中有且仅有4个整数解，则实数a的取值X围是.【答案】23 77⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】当a≤0时，不等式ax2+x-2a<0的解集中有无数个整数解，因此a>0.设f(x)=ax2+x-2a，因为f(0)=-2a<0，f(1)=1-a，f(2)=2+2a>0.若a>1，则f(1)=1-a<0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f(-2)=4a-2-2a=2a-2>0，矛盾.所以假设错误，故0<a≤1，所以4个整数解应为0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-3<0，f(-4)=14a-4≥0，所以实数a的取值X围是2377⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.5.(2015·某某二模)已知函数y=2-2x x a+的定义域为R，值域为[0，+∞)，则实数a的取值集合为.【答案】{1}【解析】由定义域为R，知x2-2x+a≥0恒成立.又值域为[0，+∞)，则函数y=x2-2x+a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ=4-4a=0，则a=1，所以实数a的取值集合为{1}.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第89~90页.【检测与评估】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)一、填空题1.(2015·某某卷)不等式-x 2-3x +4>0的解集为.(用区间表示)2.不等式2-1xx <0的解集为.3.(2015·某某期末)已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2}，则实数a +b =.4.(2014·苏北五市模拟)已知集合A={x ||x -a |≤1}，B={x |x 2-5x +4≥0}.若A∩B=∅，则实数a的取值X 围是.5.若关于x 的不等式ax 2-|x |+2a <0的解集为空集，则实数a 的取值X 围是.6.若一元二次不等式ax 2-ax +b <0的解集为(m ，m +1)，则实数b =.7.对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2+ax >4x +a -3恒成立的x 的取值X 围是.8.(2014·某某期末)已知函数f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，，那么不等式f (x 2-x +1)<12的解集为.二、解答题9.设命题p ：实数x 满足(x -4a )(x -a )<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2-4x +3≤0. (1)若a =1，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； (2)若p 是q 成立的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围.10.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R 元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R 万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R 应怎样确定?11.(2015·某某期末)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R.(1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，某某数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，某某数a的取值X围.(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当x∈(-∞，-1]时，不等式(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，则实数m的取值X围是.13.(2015·某某三模)已知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[-a，a].若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为.【检测与评估答案】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+4>0，得-4<x<1，所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4，1).2.1 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，3.0【解析】因为解集为(-1，2)，所以由韦达定理可得-12-2-12baa⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，，解得-11ab=⎧⎨=⎩，，所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由题意知A=[a-1，a+1]，B=(-∞，1]∪[4，+∞).因为A∩B=∅，所以a+1<4且a-1>1，即2<a<3.5.4∞⎫+⎪⎪⎣⎭【解析】当x=0时，不等式变为2a<0，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥0；当x ≠0时，不等式可化为a<2||2x x +=11||||x x +，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥max 11||||x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎝⎭，又|x|+1||x11||||x x +≤4，所以a≥4.综上，实数a 的取值X围是∞⎫+⎪⎪⎣⎭.6. 0【解析】由根与系数的关系可知11(1)m m b m m a ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，所以m=0，b=0.7.(-∞，-1)∪(3，+∞)【解析】原不等式等价于x 2+ax-4x-a+3>0，所以a (x-1)+x 2-4x+3>0，令f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3，则函数f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3表示一条直线，所以要使f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3>0，则有f (0)>0，f (4)>0，即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1，即使原不等式恒成立的x 的取值X 围为(-∞，-1)∪(3，+∞).8.(-1，2)【解析】易知f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，是奇函数，且在R 上单调递增，f (3)=12，所以原不等式等价于x 2-x+1<3，解得-1<x<2，即不等式f (x 2-x+1)<12的解集为(-1，2).9. (1) 由(x-4a )(x-a )<0，a>0，得a<x<4a.当a=1时，1<x<4，即p 为真命题时，实数x 的取值X 围为{x|1<x<4}. 由x 2-4x+3≤0，得1≤x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值X 围为{x|1≤x ≤3}. 若p ∧q 为真，则1<x ≤3，所以实数x的取值X围是(1，3].(2) 设A={x|a<x<4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则B A，所以0143aa<<⎧⎨>⎩，⇒34<a<1，所以实数a的取值X围是314⎛⎫⎪⎝⎭，.10.设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70x·R%(万元)，且x=100-10R.由题意知70(100-10R)·R%≥112，化简得R2-10R+16≤0，解得2≤R≤8，可知税率定在2%到8%之间，年收入附加税不少于112万元.11.因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2，所以-1×2=-2a，解得a=1.(2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.因此，①当a=2时，不等式变为1≥0，显然成立，②当a≠2时，2-20(-2)-4(-2)0aa a>⎧⎨≤⎩，，得2<a≤6.综上，实数a的取值X围为[2，6].(3) ax2+(a-2)x-2≥0⇔(x+1)(ax-2)≥0.当a=0时，原不等式变形为-2x-2≥0，解得x≤-1；当a≠0时，ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2 a，当a>0时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒x≤-1或x≥2a；当a<-2时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒-1≤x≤2a；当a=-2时，-1=2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇔(x+1)2≤0⇒x=-1；当-2<a<0时，-1>2 a；所以(x+1)(ax-2)≥0⇒2a≤x≤-1，综上可得，①当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤-1}；②当a>0时，原不等式的解集为2|-1x x xa⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；③当-2<a<0时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；④当a=-2时，原不等式的解集为{}|-1x x=；⑤当a<-2时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.12.(-2，3)【解析】因为(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，所以m-m2>-214xx+.设t=12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为x∈(-∞，-1]，所以t≥2，所以m-m2>-t2-t，令g(t)=-t2-t(t≥2)，g(t)=-212t⎛⎫+⎪⎝⎭+14≤-6，所以m-m2>-6，解得-2<m<3.13.(0，1)∪{2}【解析】因为f(x)=(x-1)2+a-1，且f(0)=f(2)=a.当a-1≥-a，即a≥12时，此时恒有[a-1，a]⊆[-a，a]，故t∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a-1<-a，即0<a<12时，此时t∈(0，1)且t2-2t+a≥-a在a∈12⎛⎫⎪⎝⎭，时恒成立，即t≥1不成立，舍去)或t≤10<a<12，故t∈(0，1).综上，g(a)的值域为(0，1)∪{2}.。

答案：{x|－3≤x≤1}
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4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
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三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
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5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
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2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
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第七章 不等式
第二节 一元(yī yuán)二次不等式及 其解法

一元二次函数（方程，不等式）目录第一部分：基础知识.............................................................1第二部分：高考真题回顾.........................................................3第三部分：高频考点一遍过. (4)高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）............................4高频考点二：一元二次不等式解法（含参）......................................7高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系..................10高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 (15)角度1：x R ∀∈上恒成立（优选∆法）......................................15角度2：x R ∃∈上成立（优选∆法）........................................16角度3：x D ∀∈上恒成立（优选分离变量法）...............................16角度4：x D ∃∈上成立（优选分离变量法）.................................17角度5：已知参数a D ∈，求x 取值范围（优选变更主元法）. (17)高频考点五：分式不等式.....................................................23高频考点六：一元二次不等式的应用...........................................25第四部分：典型易错题型.. (28)备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。

...............................28备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。

合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
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1

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