【高考精品复习】第七篇 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法

第七章 不等式第二节 一元二次不等式及其解法A 级·基础过关|固根基|1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}D ．{1，2，3}解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.3．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数f(x)＝－x 2－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x>1或x<－1.答案：{x|x>1或x<－1}7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．解析：因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2＋ax ＋14a 2－c<0，若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，也就是方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2－c ， 可得|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(－a)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.答案：168．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2－b －2>0成立， 解得b<－1或b>2.答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c≤0，要使－3x 2＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解：对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}．综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.B 级·素养提升|练能力|11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )A ．－12≤t ≤12B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0C ．t ≥12或t≤－12或t ＝0D ．－2≤t≤2解析：选B 若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2≤0对a ∈[－1，1]都成立．设g(a)＝2ta －t 2(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2≤0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.12．(一题多解)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1－a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 24，要使不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 24≥0，显然成立．当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a2，同理，要使原不等式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立． 综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－52.故选C.解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝________．解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图．可得f(x)min ＝f(2)＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去．所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 答案：414．函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x∈R 时，x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立， 只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≥4，a ≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点， 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa ＋x 2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

第2课时 一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x ＞1m 或x ＜m}C ．{x|x ＞m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m}答案 D解析 当0<m<1时，m<1m.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C解析 x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x－1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( ) A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．(2013·某某，理)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>lg2}B ．{x|－1<x<lg2}C ．{x|x>－lg2}D ．{x|x<－lg2}答案 D解析 方法一：由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}，故f(10x )>0等价于－1<10x <12.由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x >－1.而10x <12可化为10x<10lg 12，即10x<10－lg2.由指数函数的单调性可知x<－lg2，故选D.方法二：当x ＝1时，f(10)<0，排除A ，C 选项．当x ＝－1时，f(110)>0，排除选项B ，选D.9．(2017·某某模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值X 围是( ) A ．(－235，＋∞)B ．[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－235]答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0， 即a>－235.10．(2017·某某质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为( )答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值X 围是( ) A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．(2018·某某一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值X 围是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4] D ．[－2，－1)∪(3，4]答案 D解析 由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．13．(2018·某某某某质检)已知g(x)是R 上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x>0.若f(2－x 2)<f(x)，则实数x 的取值X 围是( ) A ．(－1，2) B ．(1，2) C ．(－2，－1) D ．(－2，1)答案 D解析 若x>0，则－x<0，因为g(x)是R 上的奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(x ＋1)，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x>0，则函数f(x)是R 上的增函数，所以当f(2－x 2)>f(x)时，2－x 2>x ，解得－2<x<1，故选D.14．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________． 答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.15．已知－12<1x <2，则实数x 的取值X 围是________．答案 x<－2或x>12解析 当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值X 围是x<－2或x>12.16．若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a>14解析 不等式可变形为a>2x－14x ＝(12)x －(14)x，令(12)x＝t ，则t>0. ∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值X 围是a>14.17．(2017·某某毛坦厂中学月考)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值X 围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值X 围．答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66 (4)k≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}， 所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66. (4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k≥66.18．(2017·某某中学调研卷)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，某某数a 的取值X 围． 答案 (－∞，9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a≤0，∴a ≤9.1．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1，13)，则ab 的值为( )A ．－6B ．－5C ．6D ．5答案 C解析 方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为－1，13，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，－1×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.∴ab ＝6，故选C.2．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2，2] C ．(－2，2) D ．(－∞，2)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a<2，另a ＝2时，原式化为－4<0，恒成立，∴－2<a≤2.故选B.3．已知x 1，x 2是二次方程f(x)＝0的两个不同实根，x 3，x 4是二次方程g(x)＝0的两个不同实根，若g(x 1)g(x 2)<0，则( )A ．x 1，x 2介于x 3，x 4之间B ．x 3，x 4介于x 1，x 2之间C ．x 1，x 2相邻，x 3，x 4相邻D ．x 1，x 2与x 3，x 4间隔排列答案 D解析 画图知，选D.4．(2017·某某外国语学校月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由值域为[0，＋∞)，当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝(x ＋a 2)2，∴f(x)＝(x ＋a 2)2<c 解得－c<x ＋a 2<c ，－c －a 2<x<c －a 2.∵不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴(c －a 2)－(－c －a2)＝2c ＝6，解得c ＝9.5．已知(ax －1)(x －1)≥0的解集为R ，则实数a 的值为________． 答案 1解析 原不等式为ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a ＋1）2－4a≤0⇒a ＝1. 6．不等式log 2(x ＋1x ＋6)≤3的解集为________．答案 (－3－22，－3＋22)∪{1}解析 原不等式⇔0<x ＋1x＋6≤8⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x 2＋6x ＋1>0，x 2－2x ＋1≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0.解①得x ＝1，解②得－3－22<x<－3＋2 2. ∴原不等式的解集为(－3－22，－3＋22)∪{1}．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对x∈(0，12]恒成立，求a 的最小值．答案 －52解析 方法一：(1)Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a≤2成立． (2)a<－2时，－a2>1，只需(12)2＋a·12＋1≥0，即a≥－52，此时－52≤a<－2.(3)a>2时，－a2<－1恒成立．综上所述，a ≥－52.∴a 的最小值为－52.方法二：由x 2＋ax ＋1≥0，得a≥－x －1x ，x ∈(0，12]．令f(x)＝－x －1x (x∈(0，12])＝－(x ＋1x )，是增函数．当x ＝12时，f(12)＝－52，∴f(x)max ＝－52.要使原命题成立，则a≥－52.∴a 的最小值为－52.。

第2讲 一元二次不等式的解法配套课时作业1．(2019·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.2．若集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |(x －a )(x ＋1)<0}，则“a >1”是“A ∩B ≠∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若A ∩B ≠∅，则只需要满足条件a >0即可， ∴“a >1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件．3．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 依题意得q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1.故选B. 4．(2019·郑州模拟)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( )A ．－1B ．12C ．1D ．2答案 D解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)( x － ⎭⎪⎫1a>0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 5．(2019·江西九江模拟)不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a ＝－2时，不等式解集为空集；当a ≠－2时，不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，即(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1<0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65综上可知a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65.故选B. 6．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 答案 A解析 令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f1≤0，f 2＞0，解得2≤a ＜52.7．(2019·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]答案 C解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0，解得1<a <19.综上1≤a ＜19.故选C.8．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4) D ．(3,6)答案 B解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.9．(2019·云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.故选B.10．(2019·山东临沂模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析 ∵关于x 的不等式ax －b <0的解集为(1，＋∞)，∴a <0且ba＝1，即a ＝b ，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可转化为(x ＋1)(x －3)<0.解得－1<x <3，故选C.11．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.12．(2019·广西陆川中学月考)关于x 的不等式ax 2－2x ＋1 <0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <0答案 B解析 由题意得，当a ＝0时，原不等式化为－2x ＋1<0，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12；当a >0时，要使得关于x 的不等式的解集非空，则Δ＝4－4a >0⇒a <1，即0<a <1；当a <0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空时，实数a 的取值范围是a <1.所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是a ≤1，故选B.13．若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.14．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．答案 1解析 将原不等式化为12x 2＋(m －2)x <0，即x (x ＋2m －4)<0，故0,2是对应方程x (x ＋2m －4)＝0的两个根，代入得m ＝1.15．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max ，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.16．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．答案 [－3,2)解析 由x 2－x －2>0，可得x >2或x <－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，可得(2x ＋5)(x ＋k )<0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k >－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k <2.17．(2019·日照模拟)已知x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，且关于x 的不等式ax 2＋2x －1>0 有解，求实数a 的取值范围．解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝m 2＋8，∴当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立， 可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.① 又不等式ax 2＋2x －1>0有解，则 当a >0时，ax 2＋2x －1>0显然有解； 当a ＝0时，ax 2＋2x －1>0有解； 当a <0时，由Δ＝4＋4a >0，得－1<a <0. ∴不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1，② 由①②可得实数a 的取值范围为[6，＋∞)． 18．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a<－1，即a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 19．已知关于x 的不等式2x －1>m (x 2－1)．(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立？并说明理由； (2)若对于m ∈[－2,2]不等式恒成立，求实数x 的取值范围．解 (1)原不等式等价于mx 2－2x ＋(1－m )<0， 若对于任意实数x 恒成立，当且仅当m <0且Δ＝4－4m (1－m )<0，不等式解集为∅，所以不存在实数m ，使不等式恒成立． (2)设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)， 当m ∈[－2,2]时，f (m )<0恒成立． 而f (m )在m ∈[－2,2]时表示线段，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f 2<0，f－2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，①－2x 2－2x ＋3<0.②由①，得1－32<x <1＋32.由②，得x <－1－72或x >－1＋72.取交集，得－1＋72<x <1＋32.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 20．(2019·兰州模拟)已如函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意，可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4<m <0⇔－4<m ≤0， 故m 的取值范围是(－4,0]．(2)解法一：要使f (x )<5－m 在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6，则m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.解法二：因为f (x )<5－m ⇔m (x 2－x ＋1)<6， 又因为x 2－x ＋1>0，所以m <6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立．只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.。

第2讲 一元二次不等式及其解法 考点一 一元二次不等式的解法【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．解析 由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0.且⎩⎪⎨⎪⎧1－ab a ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13，∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0， 解得x ＞12或x ＜－32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．【训练1】 (2013·江西卷改编)使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是________． 解析 当x >0时，原不等式可化为x 2＜1＜x 3，解得x ∈∅，当x ＜0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x 2＞1，x 3＜1，解得x ＜－1.答案 (－∞，－1)考点二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013·烟台期末)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 【训练2】 (1)(2013·重庆卷改编)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于________． (2)解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.(1)解析 法一 ∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4(－8a 2)＝15，又∵a ＞0，∴a ＝52.法二 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a ＞0，∴不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(－2a,4a )， 又∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15， ∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 答案 52(2)解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0， 即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a ＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考点三 一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)法一 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＜67. 法二 ∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.【训练3】 (1)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)(2014·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ， 只需⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12.综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)∵x ∈(0,2]， ∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞1．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．2．当判别式Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)解集为R ；ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)解集为∅.二者不要混为一谈．3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .思想方法6——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012·福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”；a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 由定义可知：f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ＞0，∴f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x ＞0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1＜x 2＜x 3，易知x 2＞0，且x 2＋x 3＝2×12＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14. 令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x ＜0，解得x ＝1－34或1＋34(舍去)．∴1－34＞x 1＞0，∴3－14＞－x 1＞0， ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116， ∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【自主体验】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1；②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜2－1.答案 (－1，2－1)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝________.解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3]2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2013·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为________．解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 {x |x <4}4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 (2,3)5．(2014·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________. 解析 由于不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根，∴a ＝－2. 答案 －27．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin 2 α－cos 2α≤0，即4sin 2 α≤1，所以sin 2 α≤14，即－12≤sin α≤12，因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 8．(2014·福州期末)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________.解析 原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3. 答案 [－4,3] 二、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 10．(2014·长沙质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]． 法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是________．解析 不等式2x(x －a )＜1可变形为x －a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a ＜1，所以a ＞－1. 答案 (－1，＋∞)2．(2013·西安二模)在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.答案 323．(2014·铜陵一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0.答案 (－4,0)二、解答题4．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

高考数学复习一元二次不等式及其解法知识点一元二次不等式是指含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式。

小编准备了一元二次不等式及其解法知识点，详细请看以下内容。

一.解不等式的相关理论(1)若两个不等式的解集同样，则称它们是同解不等式;(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这类变形称为不等式的同解变形;(3)解不等式时应进行同解变形;(4)解不等式的结果，原则上要用会合表示。

二.一元二次不等式的解集三.解一元二次不等式的基本步骤：(1)整理系数，使最高次项的系数为正数;(2)试试用十字相乘法分解因式;(3)计算(4)联合二次函数的图象特点写出解集。

四.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，转变为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解;★重难点打破★1.重点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型;娴熟掌握一元二次不等式的解法。

与此刻“教师”一称最靠近的“老师”观点，最早也要追忆至宋元期间。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元期间小学教师被称为“老师”有案可稽。

清朝称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师” 一说是比较晚的事了。

此刻领会，“教师”的含义比之“老师” 一说，拥有资历和学问程度上较低一些的差异。

辛亥革命后，教师与其余官员同样依法律委任，故又称“教师”为“教员”。

2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式 , 会解简单的指数不等式和对数不等式.照本宣科是一种传统的教课方式,在我国有悠长的历史。

第2讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的 图象一元二次方 程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实 根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实 数根ax 2＋bx ＋c>0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c<0(a >0) 的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.4．绝对值不等式的解法(1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－32解析：选B.2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1. 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选A.由不等式x －12x ＋1≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.设二次不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________． 解析：由不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6. 答案：6若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领]角度一 解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3.【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[通关练习]1．(2018·陕西西安模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}， B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．(2018·广东清远一中模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b <0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，所以所求解集是(－1，3)．故选C.3．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围； (3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[典例引领]角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定 参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围(转化与化归思想)若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0， 解得－22<m <0.【答案】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例2­2是不等式与函数的转化，例2­3是主元与次元的转化，而例2­1是对二次项系数是否为0进行讨论．[通关练习]1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：m ≥132．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． 易错防范(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．(2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －ba 的值为( ) A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－ba＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56. 3．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 解析：选C.不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.5．(2018·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：选A.不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，故f (x )<0的解集是{x |x <－1或x >3}，故f (－2x )<0的解集为{x |－2x <－1或－2x >3}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >12.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．函数y ＝lg （1－x ）－2x 2＋12x ＋32的定义域为________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋12x ＋32>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x －16<0，1－x >0，解得－2<x <1， 即原函数的定义域为{x |－2<x <1}．答案：(－2，1)8．(2018·江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，329．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a≤x ≤6a ；当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6a≤x ≤－2a .(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．(2018·陕西咸阳模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21D ．26解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)． 答案：[2，8)4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立， 所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3. 答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2 ＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎨⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。