高中数学PPT课件

余洁
学与教的目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度， 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件
重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos

|
ab a || b
|
运算律
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b =-| a | ·| b | ． 特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos

|
ab a || b
|
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．
B
B
B
b
b
b

O
a B1 A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0

B1 O
aA
θ为钝角时， | b | cosθ＜0

O(B1 ) a
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
平面向量的数量积及运算律
讨论总结性质： a ·b =|a | |b |cosθ
(0 180 )
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？
W | F || s |cos
F
θ s
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
数量 F s cos 叫做力F 与位移s的数量积
向量的夹角
r r uuur r uuur r
思考: 结合律成立吗: (a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
θ s
垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
（3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB rb， r 则 AOB (0 180 ) 叫做向量 a和 b的夹角．
B
b
a
r ra
ObB
0
rr a 与b 同向
r b
O
r a
A
r
r
a
ABb O
r r180 a与 b 反向
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的
例题讲解 例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a ·b.
(1) 135 0 (2)a ∥b 3a b
a ·b =|a | |b |cosθ
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
B
r
A
r
b
O

r a
r 90
A
a
与rb
垂直，
r
记作 a b
例1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
120 60
A
通过平移 变成共起点！
B
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
√
8. 0 • a 0a ×
例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积； （3） AC与BC 的数量积. C
A
B
a 交换律
2. (λ·a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b
3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0
×
4．若a ·b=0，则a ·b中至少有一个为0．
×
5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c
×
6．若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．×
7．对任意向量 a 有 a2 | a |2