名师一号B版数学理全解全析

双基限时练(十四)二次函数的性质与图象基础强化1．下列各个函数在(1,2)上单调递减的是()A．f(x)＝x2＋2x－1B．f(x)＝－x2＋4x＋1C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝－x2＋2x－1解析D选项中的二次函数对称轴x＝1，且开口向下．故它在(1,2)上单调递减．答案 D2．某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－112x 2＋23x＋53，则该运动员的成绩是()A．6 m B．10 mC．8 m D．12 m解析当y＝0时，－112x2＋23x＋53＝0，则x＝10.答案 B3．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()解析当m>0时，函数y＝mx＋m递增，且与y轴交于正半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2开口向下，对称轴在y轴右侧．当m<0时，函数y＝mx＋m递减，且与y轴交于负半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．答案 D4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①a ＋b ＋c <0；②a －b ＋c >1；③abc >0；④4a －2b ＋c <0；⑤c －a >1，其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤解析 由图象可知f (1)<0，f (－1)>1， ∴①②正确．∵－b2a ＝－1，且a <0，∴b ＝2a <0. ∵f (0)＝c ＝1，∴③正确．∵f (－2)＝f (0)＝1，∴f (－2)＝4a －2b ＋c >0， 故④不正确．∵c ＝1，a <0，∴c －a >1，∴⑤正确． 答案 C5．若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间上的最大值为4，则a 的值为( )A ．－1B.38C ．－1或38D.38或－3解析 f (x )的对称轴为x ＝－1，当a >0时，f (x )在x ＝2处取得最大值， ∴f (2)＝4a ＋4a ＋1＝4. ∴a ＝38.当a <0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值， ∴f (－1)＝a －2a ＋1＝4， ∴a ＝－3. 答案 D6．若二次函数y ＝x 2－3x －4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围为( )A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，＋∞ 解析 y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254， ∵f (0)＝f (3)＝－4，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.答案 C7．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点为A ，B ，顶点为C ，则△ABC 的面积为________．解析 由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 得点A (－3,0)，B (1,0)，C (－1,4)，所以|AB |＝|1－(－3)|＝4，点C 到边AB 的距离为4，所以S△ABC＝12×4×4＝8.答案88．已知二次函数的图象开口向上，且满足f(2013＋x)＝f(2013－x)，x∈R，则f(2011)与f(2014)的大小关系为________．解析由题意，知二次函数图象的对称轴为x＝2013.∵|2011－2013|>|2014－2013|，∴f(2011)>f(2014)．答案f(2011)>f(2014)能力提升9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)，若函数f(x)的定义域和值域为，则实数a的值为________．解析∵f(x)的对称轴x＝a，∴f(x)在上单调递减．∴f(a)＝1.∴a2－2a2＋5＝1.∴a2＝4.∵a>1，∴a＝2.答案 210．已知二次函数y＝－x2＋4x＋3.(1)指出其图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得到的．解y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7.(1)开口向下；对称轴方程为x＝2；顶点坐标为(2,7)．(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象．11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a>0,0≤x≤1)．(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的最小值是－78，求此时f (x )的最大值． 解 (1)f (x )＝(x －a )2＋2a 2－1.当a ≥1时，函数f (x )在区间上是减函数， 故f (x )的最大值为f (0)＝3a 2－1， f (x )的最小值为f (1)＝3a 2－2a . 当0<a <1时，f (x )的最小值为f (a )＝2a 2－1， f (x )的最大值为f (0)，f (1)中的较大者． 设f (1)>f (0)，即3a 2－2a >3a 2－1⇔a <12.因此，当0<a <12时， f (x )的最大值为3a 2－2a ；当12≤a <1时，f (x )的最大值为3a 2－1. (2)依题意，得⎩⎨⎧a ≥1，3a 2－2a ＝－78，或⎩⎨⎧0<a <1，2a 2－1＝－78.可以解得a ＝14. 因为0<14<12，故此时f (x )的最大值为3a 2－2a . 当a ＝14时，为3×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－516. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋(3＋k )x ＋3，其中k 为常数． (1)若f (2)＝3，求函数f (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，设g (x )＝f (x )－mx ，若g (x )在区间上是单调函数，求实数m 的取值范围；(3)是否存在k 使得f (x )在上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (2)＝－4＋2(3＋k )＋3＝3， ∴k ＝－1.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3.(2)g (x )＝－x 2＋(2－m )x ＋3，其对称轴为x ＝2－m 2， ∵g (x )在上是单调函数， ∴2－m 2≥2，或2－m2≤－2. ∴m ≤－2，或m ≥6. (3)f (x )的对称轴为x ＝3＋k2， ①当3＋k2≤－1，即k ≤－5时，f (x )在上单调递减． ∴f (－1)＝－1－(3＋k )＋3＝4. ∴k ＝－5.②当－1<3＋k2<4，即－5<k <5时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3＋k 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋k 2，4上单调递减，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3＋k 2＝－(3＋k )24＋(3＋k )22＋3＝4. ∴k ＝－1，或k ＝－5(舍去)． ∴k ＝－1.③当3＋k2≥4，即k ≥5，f (x )在上单调递增， ∴f (4)＝－16＋4 (3＋k )＋3＝4，k ＝54(舍去)． 综上所述，k ＝－5，或k ＝－1.品 味 高 考13．若对于一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得ax 2－2x ＋2>0都成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≥12B ．a >12 C ．a ≥－4 D ．a >4 解析 a >2x －2x 2＝－2·1x 2＋2x .设1x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴令f (t )＝－2t 2＋2t . ∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12.∴－2·1x 2＋2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为12. ∴a >12.答案∴－2·1x 2＋2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为12.∴a >12.。

2a＋b＝b＋1 故有 a＋b＝1
1 ⇒a＝b＝ . 2
1 2 1 因此，f(x)＝ x ＋ x. 2 2
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[点评]
①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解
析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)；将x＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中 ，求得f(t)的解析式；再用x替换t，便得f(x)的解析式．注：换元后注意确 定新元t的取值范围． ②利用待定系数求解析式时，主要寻求恒等关系解出等式中的未 知数．
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3．已知 f(x)的定义域是[－2,2]，则 f(x 2－1)的定义域是( A．[－1， 3] C．[－ 3， 3] B．[0， 3] D．[－4,4]
)
解析： 由－2≤x2－1≤2⇒－1≤x 2≤3⇒0≤x 2≤3⇒－ 3≤x≤ 3.
答案：C
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(3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0 知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1
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类型四
函数的建模应用
解题准备：由实际问题抽象出函数关系式，就是用函数知识解决 实际问题的基础．解这类题的一般步骤是：①设元；②列式；③用x表 示y；④考虑定义域(这个定义域必须使实际问题有意义)．
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1.【广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三一模理数】若，为虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充要条件B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C2.【广西陆川中学2017届高三下学期期中考试理数】已知向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“若向量同向，则”为真命题，“若向量反向，则”为假命题，则“”是“”的必要不充分条件；故选B.3.【浙江省台州市2017届高三一模】若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当，而，反过来也成立，所以是充要条件，故选C.4.【青海省西宁市2017届高三二模理数】在中,成等差数列是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C(2)若(b +a −c )(b −a +c )=ac ，则： b 2−(a −c )2=b 2−a 2−c 2+2ac =ac ；∴a 2+c 2−b 2=ac ；由余弦定理：a 2+c 2−b 2=2ac ⋅cosB ；∴；∴B =60°；∴60°−A =180°−(A +60°)−60°； 即B −A =C −B ；∴A ，B ，C 成等差数列；∴A ,B ,C 成等差数列是(b +a −c )(b −a +c )=ac 的必要条件； ∴综上得,A ,B ,C 成等差数列是(b +a −c )(b −a +c )=ac 的充要条件。

本题选择C 选项.5.“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A6.命题“任意[]1,2x ∈，20x a ≤－”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【答案】C【解析】命题“任意[]1,2x ∈，20x a ≤－”为真命题的充要条件是4a ≥．故其充分不必要条件是集合[4)∞，＋的真子集，正确选项为C ．7.已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 （ ）A. ),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞【答案】B 【解析】由311x <+得，321011x x x --=<++，即(2)(1)0x x -+>，解得1x <-或2x >，由p 是的充分不必要条件知，2k >，故选B.8.【天津市一中2017届高三下学期第五次月考理数】已知命题：，；命题：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B9.【云南省民族中学2017届高三适应性考试（三）理数】下列说法中，正确的个数是（ ） ①若()a x f x ++=121为奇函数，则21=a ；②“在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >”的逆命题是假命题； ③“三个数c b a ,,成等比数列”是“ac b =”的既不充分也不必要条件；④命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“01,20300>+-∈∃x x R x ”A ．B ． C. D ．【答案】C【解析】对于①，若()121xf x a =++为奇函数，则()00f =，解得12a =-，所以①不正确；对于②，“在ABC ∆中，若sin sin A B >，由正弦定理可得ab >，则A B >”的逆命题是真命题，所以②不正确；对于③，“三个数,,a b c 成等比数列，则2b ac =”， b ∴=，若0a b c ===，满足b =，但三个数,,a b c 成等比数列不成立，∴“三个数,,a b c 成等比数列”是“b =的既不充分也不必要条件，所以③正确；对于④，命题“x R ∀∈， 3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈， 320010x x -+>”，满足命题的否定形式，所以④正确，故选C ．10.【安徽省合肥市2017届高三一模考试理数】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A11.【重庆市2017届高三上学期期末测试理数试题】命题甲的数学成绩不低于100分，命题乙的数学成绩低于100分，则表示 （ ）A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于100分D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 【答案】D【解析】解析：由题设可知：表示乙的数学成绩不低于100分，则表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分，应选答案D 。

高考专题训练二十基础知识型、计算型、推理型班级_______ 姓名_______ 时间：90分钟分值:100分总得分_______1．已知A＝｛1，2，3}，B＝{1，2｝定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝｛x｜x＝x1＋x2，x1∈A,x2∈B}，则集合A*B中最大的元素是________;集合A*B的所有子集的个数为________．解析：由定义得A*B＝{2，3，4,5},所以最大的元素是5;A＊B 的所有子集个数为24＝16.答案：5 162．设a＝(1,2），b＝（－2，－3)，又c＝2a＋b,d＝a＋mb，若c 与d的夹角为45°，则实数m的值为________．解析：∵a＝(1，2）,b＝（－2，－3）,∴c＝2a＋b＝2(1，2）＋(－2，－3)＝（0,1),d＝a＋mb＝（1，2)＋m(－2，－3）＝（1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m，而|c|＝1，｜d｜＝错误!，∵c·d＝｜c|·｜d|·cosθ,∴2－3m＝错误!cos45°，即错误!＝错误!(2－3m)，化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝错误!。

答案：1或错误!3．已知a＝(1,2sinθ），b＝（cosθ，2）且a⊥b，则错误!＝________。

解析：∵a＝(1,2sinθ），b＝(cosθ，2）且a⊥b，∴a·b＝cosθ＋4sinθ＝0，即tanθ＝－错误!。

∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

答案:错误!4．数列｛a n｝的构成法则如下：a1＝1,如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2.否则用递推公式a n＋1＝3a n.则a6＝________.解析：∵a1－2＝－1∉N，∴a2＝3a1＝3.∵a2－2＝1＝a1，∴a3＝3a2＝9，∵a3－2＝7，∴a4＝7，∵a4－2＝5，∴a5＝5，∵a5－2＝3＝a2，∴a6＝3a5＝15。