名师一号高中新课标A数学必修2课件：4.2.3

4.2.3直线与圆的方程的应用共45页自学导引（学生用书P93）2共45页同1 ■掌握直线方程、圆的方程，进一步提高知识运用能力•共45页3课前热身（学生用书P93）4共45页在掌握直线方程与圆力，领会将几何问题转化为代数问题的过程，即由坐标方法解决平面几何问题•一般来说此类问题分为如下三步:第一步:中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题. 第二步:通过代数运解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.注意:数形结合思想方法的灵活运用■共45页5名师讲解（学生用书P93）6共45页1 •用坐标法解决几何问题的方法步骤:（俗称“三步曲”）第一步:根据题目的特点，建立适当的直角坐标系，一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等•建立坐标系适当,可使问题简化•用坐标和方程表示几何问题中的元素•将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2•要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题，根据其几何意义,可用几何方法解决.共45页7典例剖析（学生用书P93）8共45页题型一数形结合思想方法的应用例1 ：(1)方程y = J9-荐示的曲线是什么？(2)若方程□十弟解，求实数b的取值范围.解:⑴y =疔？等价于x2+y2=9(y>0),/. y =尼表示半圆，即以原点为圆心,3为半径的圆在X轴上方的半圆(包括两个端点)•与直线⑵方程a -x2=x + b有解，即半圆11y =寸9_分1变式训练1 :（2008 •全国卷）若直线与圆x2+y2=1有公共点，则（）A.a2+b2<1.a2+b2>1C・A +、W1a2 b2解析：直线- + — 1可化为bx^ray—ab = O 9a b直线与圆有公共点,•••"s 即vi占<1,a2 + 方$ / 9••寺 + gfa b答案:D题型二用坐标法求圆的方程例2:如下图所示，点M是弓形弧血中点，弦|OA|=8,弓.形的高为2 □求此弧所在圆的方程那么圆的方程是(x ・4)2+(y ・b)2=『2. 由于原点0(02)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上(0 —4)2 +(0 — 5)2 =严， (4一4)2 + (2 — 6)2=厂2,解#:b=-3,r 2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.规律技巧:本题也可以选取弦° A 的中点为坐标原点建立直角 坐标,可求得此弧所在圆的方程为x 2+(y+3)2=25.由此看来，建 立解:(4,b),圆的半径为r, 于是解方程组的坐标系不同，所求得的方程不同•变式训练2：如图，圆Q和圆。

2的半径都等于%°1°2=4＞过动点P分别作O15fflO2的切线PM、PN（M,N分别为切点），使得PM N PN，建立平面直角坐标系，并求动点卩的轨迹方程.，建立直角坐标系如图所示，则0[(・2,0),02(2,0).由已知 PM =近PN 、得PM 2=2PN 25 共45页19因为圆的半径为1,所以:PO2r 1=2(PO 22-1),设 P(x,y),则(x+2)2+y 2-1 =2[(x-2)2+y 2-1 ], BP(x-6)2+y 2=33. 故所求动点P 的轨迹方程为(x ・6)2+y2=33. 题型三与圆有关的综合问题 例 3:已知△ AOB 中JOB|=3JOA|=4，|AB|=5,点 P 是 AABO 内切圆上一点，求以|PA|. |PB|. |PO|为直径的三个圆面积之 和的最大值与最小值.分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是AAB O内切圆上的点，若想找到P点坐标，必须先从△ABO内切圆的方程入手.解:如下图，建立直角坐标系，彳A(450).B(053).0(050).20吏A. B. O 三点的坐标分别为共45页X共45页21故内切圆的方程是（x-i ）2+（y-i ）2=i -化简为 x 2+y 2-2x-2y+1 =0,① 设 P （x ，y ），则|PA|2+|PB|2+|PO|2=（x-4）2+y 2+x 2+（y-3）2+x 2+y 2易求得AAB O 的内切点半径曰,共45页22由①可知 x 2+y 2-2y=2x-15 将其代入②有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25 =・2x+22.VXG[052],M|PA|2+|PB|2+|PO| 啲最大值为 22,最小值为 18,三个圆面积之和为^-!)2+ 龙(巴$2 =-(IPA 卩 + 丨 PB 卩 +2 2 4所求面积的最大值为学小值为辛IPAL 2 (丁)+”(题，将几何问题转化为代数问题.共45页23变式训练3:—艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报冶风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心的正北40 km 处，如果这艘船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响共45页24解:如图所示:0港口轮船以台风中心为坐标原点,以正东方向为X轴正方向建立直角坐标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为即4x+7y-28=0,ia心到直线的距离/ I28I 28 °由d = 丁 = -f= >3, flOA/42+72V65r=35/.d>r5/道线与圆相离，所以轮船不会受到台风影响.易错探究例4:己知圆x2+y2+2x+2y+1=05x2+y2-6x+8y+9=05求两圆的位置关系.+2H+2，+1 = 0，错解：由｛—6z+8j/+9 = 0 9得4x-3y-4=0,即y =出二.代入x2+y2+2x+2y+1 =05并整理得25x2+1 Ox+1=O. \A=100-4X25=0,•••两圆只有一个公共点，故两圆相切.错因分析:两圆方程联立,说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切迪有可能内切.正解:把两圆的方程分别配方，化为标准方程为(x+1 )2+(y+1 )2=15(x-3)2+(y+4)2=16,•••两圆心坐标0,(-15-1)5C2(35-4)5半径r1=15r2=4.•••圆心距|0&2|= J(3+ir +(_4+戒=屮『2・・・•两圆相外切・技能演练（学生用书P95）29 共45页基础强化1 ■已知直线ax-by+c=O(abc^O),与圆x 2+y 2=1相切，则三条边 长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()/.a 2+b 2=c 2. 答案:A.是锐角三角形C.是钝角三角形解析:直线与圆相切，则B.是直角三角形 D.不存在 \]a 2+b22•已知点A. B 分别在两圆x 2+(y-1)2=1与(x ・2尸+(y ・5尸=9上则A.B 两点之间的最短距离为(B2y[^ - 2D.2J(2 _ 0尸 + (5 _ I)? = 2巧〉4 =斤 + 込,答案:C解析:两圆心之间的距离为 111 •I 两圆相离，.3、 两点之间的最短距离为C.2A /5-43.方程x(x2+y2・l )=0和x 2-(x 2+y 2-1尸=0表示的图形是()A •都是两个点•一条直线和一个圆D.前者为两个点，后者是一条直线和一个圆解析:x(x 2+y 2-1 )=0 世0或x 2+y 2-1=O 5J8i|它表示一条直线x=0 和一个圆 x 2+y 2=1;x 2-(x 2+y 2-1 )2=0 =^c+x 2+y 2-1 )(x-x 2-y 2+1 )=0, .\x+x 2+y 2-1 =0 ^x-x 2-y 2+1 =05C •前者是一条直线和一个圆，后者是两个I即(”y+n)2+r，它表示两个圆•因此，选C. 答案:c4•过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切,若切点在第三象限，则该直线的方程是(A.y = V3xV3C.y =——x3解析:设切线方程为y=kx,(x+2)2+y2=f,圆心(・ 2,0)到直线戶kx 的距离为1,)B.y --乜乂n V33—亍. \-2k I5.（2007 •重庆）若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点, 且zPOQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A.-忑或忑B.V3C.-迈或迈D.y/2解析:\zPOQ=120°•.点O到直线y=kx+1的距离〃斗… ___ =1./.Z: = ±—VFZi 3又•.•切点在第三象限,答案:C又J =., = ±73厶+1 2答案:AK S 寸tt&J'?A 孑T X MHs 5辕寸 H A +X «w llr nll (I?只勺一l t 驛卜7■两®x2+y2=l »(x+4)2+(y-a)2=25 相切厕实数a 的值为±2亦或0解析:当两圆内切时有毎丁庐4，・・・a=0.当两圆外切时，有切线的斜率“事切点为•••切线方程为 y-73 =—（X + 1）, 艮卩 兀―、/§y + 4 = 0.能力提升9■已知圆 C:(x-2)2+y 2=2.⑴求与圆C 相切，且在x 轴.y 轴上截距相等的直线方程; (2)从圆C 外一点P 作圆C 的一条切线,切点为M,O 为坐标原点,■与圆x 2+y 2=4切于点 卩（-1,矽切线方程为x 一 + 4 = 0解析:圆心（0,0）， （-1,馆）,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.解:(1)设横、纵截距相等的切线方程为kx-y=O,与x+y+c=O,则-^===迈,与'行&近,解得k=± 1 ,c=-4或c=0.故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得J[(—2)2 + 汁2 詡宀几化简得点P的轨迹为直线使|PM|最小,即要使|PO|最小，过O作直线"附垂线..•.垂足碍是所要求的点. 10. 己知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=05⑴求啲最值;(2)求y・x的最值;⑶求x?+y啲最值.解:⑴・・・圆的标准方程为(x-2)2+y2=3,其圆心为(2,0)，半径为设V3.即严.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值•此时'晋点解得k=±騙的最大值为最小值为X(2)设y・x=b，即y=x+b.当『=乂+b取得最大值，'途即b=・2 土屈y-x的最大值为-2+属小值为-2・V6.(3)x2+y2表示圆可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值•又圆心到原点的距离为2,•*.X2+y2的最大值为(2 + ^3)2 = 7 +癩I、值为(2-73)2 = 7-4^.。