南京工业大学浦江学院高等数学（A ）试题（A ）卷（闭）
班级 学号 姓名
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1. 2!
lim n n n n n
→∞= 2. 设x
z y
=
，则z 在点(1,1)处得全微分dz = 3. 设2
2
:2,D x y x +≤由二重积分的几何意义知
D
=
4. 设向量[3,2,1],[,4,5]a b p =-=--,已知a b ⊥，则a b ⨯=
5. 幂级数2
01(2)n n
x n
∞
=-∑的收敛域为
二、单项选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
1. 函数(,)z f x
y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导数存在的[ ]
)(A
必要而非充分条件 )(B 充分而非必要条件 )(
C 充分必要条件 )(
D 既非充分又非必要条件
2. 设2
,
z x y =它在点(1,1)P 处沿从点(1,1)P 至点(2,0)Q 的方向导数
z
l ∂∂为[ ] )
(A
)
(B )(C )(D
3. 设(,)f x y 是连续函数，交换二次积分1220
0dy x y dx ⎰
的积分次序后的结果为[ ]
)
(A 1
220
dx x y dy ⎰
)
(B 1
220
3x y dy ⎰
)(C 2
1
12
2
3x dx x y dy -⎰⎰
)(D 2
1
1220
3x dx x y dy +⎰⎰
4. 设L 为22
1x y += 则
2()L
x y ds +=⎰
[ ]
)(A 0 )(B 2π )(C 1 )(D 24π
三、（本题8分）
1.求曲线x e y t z e t t ===--232,,在对应于t =0点处的切线及法平面方程. 四、（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 1．设)sin(22xy e z y x +=，求
∂∂∂∂z x z
y
,在点(0,1)处的值.
2．设()y x f z ,=是由方程2
2z
x y z e +-=所确定的隐函数，求
,z z x y
∂∂∂∂.
3. 求函数xyz
u e
=在条件0,0,0,1>>>=++z y x z y x 的极值
五、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
1.计算22()D
I x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是由三条直线2,1,x y y x ===所围成的区域。
2.计算三重积分
⎰⎰⎰Ω
zdxdydz ，其中Ω是圆柱面2
21x
y +=介于0z =与2z =的部分。
六、（本题7分）
1．计算224(2)()L
I x xy dx x y dy =
+++⎰
其中：L 为从点(0,0)O 到点(1,1)B 的曲线弧2y x =
七、（本题7分）计算xdydz ydzdx zdxdy ++∑
⎰⎰，其中∑
为上半球面z =的
上侧，R 为实数.
八、（本题8分）已知幂级数11
(1)n n
n x n -∞
=-∑ (1)求收敛半径R 及收敛域
(2)求和函数()S x ，并且求级数1
1
(1)2n n
n n -∞
=-∑的和
九、（本题6分）设()f x x x x x x =+-≤<=<≤⎧⎨⎪
⎩
⎪2000ππππ,,
,,
,,，()1cos d ,(0,1,2)n a f x nx x n ππ
π-==⎰L 利用函数的Fourier 级数展开式，求数项级数0
n
n a
+∞
=∑的和.
南京工业大学浦江学院高等数学（A ）试题（A ）卷（闭）
解答
2009-2010学年第二学期
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1.0
2.dx dy -
3.23
π
4.141414i j k +-r r r
5.[1,3]
二、单项选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
1. ()B
2. )(C
3. )(C
4. )(B
三、（本题8分）
1.解：t =0对应点(,,)101-，对应的切线方向向量
{}3,2,2=s ρ
切线方程
x y z -==
+1221
3
法平面方程为 212310()()x y z -+++=
或 22310x y z +++=
四、（本题共3小题，每小题7分，满分21分）
1.解： 22222sin()cos()x y x y z
e xy e xy y x
++∂=+⋅∂
2222(sin()cos())x y
e xy y xy +=+
2(0,1)
z
e x ∂=∂
22222sin()cos()2x y x y z
e xy e xy xy x
++∂=⋅⋅+⋅∂ 2222(sin()cos())x y e xy xy xy +=+
(0,1)
0z
y ∂=∂
2．解：设2(,,)2z
F x y z x y z e =+--
(,,)2x F x y z x =，(,,)2y F x y z =，(,,)1z
z F x y z e =--
21x z z F z x x F e ∂=-=∂+ ，2
1y z
z F z y F e ∂=-=∂+
