重庆八中2013-2014学年高二上学期期中考试数学理试题一．选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.已知命题1sin ,:≤∈∀x R x p ，则p ⌝为（ ）A ．1sin ,≥∈∃x R xB ．1sin ,≥∈∀x R xC ．1sin ,>∈∃x R xD ．1sin ,>∈∀x R x2.圆()5222=++y x 关于原点()0,0P 对称的圆的方程为（ ） A ．()5222=+-y x B ．()()52222=+++y x C ．()5222=-+y x D ．()5222=++y x 3.若直线02:1=+y ax l 与直线()011:2=+++y a x l 垂直，则=a （ ） A.32 B. 32- C.2 D.1-4.椭圆192522=+y x 的焦点分别为21,F F ,直线l 过1F ,且与椭圆交于Q P ,两点,则2PQF ∆的周长等于( )A.20B.18C.10D.95.已知两圆122=+y x 和098622=+--+y x y x ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.外切D.内切 6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )2cmA.5B.225+C.325+D.77.设n m ,是两条直线，βα,是两个平面，给出四个命题①,,//,//m n m n αββα⊂⊂βα//⇒ ②,//m n m n αα⊥⊥⇒③αα////,//n n m m ⇒ ④,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.38．“2a =-”是“直线2(3)180a x a y -++=与直线440x y a -+-=平行”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 9.已知椭圆()012222>>=+b a by a x ,过椭圆的右焦点2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于P Q 、两点，设椭圆的左焦点1F ，若1PQF ∆为正三角形，则此椭圆的离心率为( ) A.22 B. 21 C. 33 D.31 10.若动点P 在直线02:1=--y x l 上 ，动点Q 在直线06:2=--y x l 上，设线段PQ 的正视图俯视图左视图中点为()00,y x M ，且满足()()8222020≤++-y x ，则2020y x +的取值范围是( ) A. 22,4⎡⎤⎣⎦ B. 22,23⎡⎤⎣⎦ C. []8,12 D. []8,16二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.若点(4,3),(5,),(6,5)A B a C 三点共线，则a 的值为_____________.12.圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离最小值为 .13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 元.14.圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.15.正三棱柱111C B A ABC -的各条棱长均为3,长为2的线段MN 的一个端点M 在1AA 上运动，另一端点N 在底面111C B A 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正三棱柱共顶点1A 的三个面所围成的几何体的体积为 .三．解答题（本题共6小题，共75分）16.（本小题满分13分．）已知命题0352:2<--a a p , 命题162:>a q ,若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）已知直线02:0=+-y x l 和圆0444:22=+-++y x y x C（Ⅰ）若直线0l 交圆C 于B A ,两点，求AB ；（Ⅱ）求过点()5,4-P 的圆的切线方程.18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB BC a ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PB DM ⊥.19. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知椭圆C 的中心为原点O ，点()0,12F 是它的一个焦点，直线l 过点2F 与椭圆C 交于B A ,两点，当直线l 垂直于x 轴时，OAB ∆的面积22=∆OAB S （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知点P 在椭圆C 上,21,F F 是椭圆的两个焦点,︒=∠6021PF F ,求21PF F ∆的面积.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知一几何体如图所示，正方形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，//BE CF ，3AB =，2EF =，4CF =，90BCF CEF ∠=∠=.（Ⅰ）求证：//AE 平面DCF ；（Ⅱ）求该几何体的体积.21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知椭圆C :()112222>>=+b a b y a x 的离心率为22，点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21N 与椭圆上任意一点的距离的最小值为27. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，M 为左顶点，连接MB MA ,并延长交直线4=x 于Q P ,两点，设Q P y y ,分别为点Q P ,的纵坐标，且211111y y y y Q P +=+，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.重庆八中2013—2014学年度(下)半期考试高二年级数学试题答案（理科）二．选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）CABAC BBACD二．填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．4； 12．4； 13．2800 14．23； 15. 9π 三.解答题(本题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤)16.解：（1）75:<<-a P , 4:>a Q …………4分由已知︒1.P 真Q 假时: 45≤<-a …………8分︒2.Q 真P 假时: 7≥a …………12分综上：45≤<-a 或7≥a …………13分17.解：（1）圆：()()42222=-++y x 知圆心()2,2-C ，半径2=r 圆心到直线0l 的距离()22222=+--=d所以22222=-=d r AB …………6分（2）︒1.当直线斜率不存在时，直线4-=x 是圆的一条切线︒2.当直线k 存在时，由于过点()5,4-，故有点斜式设切线方程为()05445=++-⇒+=-k y kx x k y因r d =→切线心即1252154222-=⇒=+++--k k k k 此时切线方程为040125=-+y x故所求切线有两条：4-=x 与040125=-+y x …………13分18. 解：解：（1）因为M 、N 分别为PC 、PB 的中点，所以//MN BC ，且221a BC MN ==. …………2分 又因为//AD BC ，所以//MN AD . …………4分又因为MN ⊄平面PAD ，AD ⊆平面PAD ，所以//MN 平面PAD ………6分（2）因为AN 为等腰ABP ∆底边PB 上的中线，所以AN PB ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊆平面ABCD ，所以AD PA ⊥.又因为AD AB ⊥，且AB AP A ⋂=，所以AD ⊥平面PAB .………………9分 又PB ⊆平面PAB ，所以AD PB ⊥.………………10分因为AN PB ⊥，AD PB ⊥，且AN AD A ⋂=，所以PB ⊥平面ADMN . 又DM ⊆平面ADMN ，所以PB DM ⊥。
