七年级-相交线与平行线讲义含辅助线

人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳（五四制）

第十二章 相交线与平行线

相交线与平行线

一：相交线

（1）相交线的定义

两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．

（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．

（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）

相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角： 1，2，3，4

对顶角与邻补角

（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

（3）对顶角的性质：对顶角相等．

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的

邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；

1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。所以对顶角相等

二：垂线

（1）垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

（2）垂线的性质

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．

如图所示，图中ABCD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。

垂线段最短

- 1 - 《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1．熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3.

了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、两条直线的位置关系

1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.

要点诠释：

（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.

（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.

2.对顶角、补角、余角

（1）定义：

①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.

②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．

（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．

3.垂线

（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．

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（2）垂线的性质：

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

七下数学“相交线与平⾏线”的知识点

开学已经有⼏天了，新的第⼀章知识掌握的怎么样了呢？这⼀单元主要是概念和性质定理⼀定要理解清楚，可以在这篇⽂章梳理⼀下，⼀定能帮到你！

⼀、相交线1.邻补⾓与对顶⾓

两直线相交所成的四个⾓中存在⼏种不同关系的⾓，它们的概念及性质如下表：

注意点：

⑴对顶⾓是成对出现的，对顶⾓是具有特殊位置关系的两个⾓；

⑵如果∠α与∠β是对顶⾓，那么⼀定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不⼀定是对顶⾓

⑶如果∠α与∠β互为邻补⾓，则⼀定有∠α ∠β=180°；反之如果∠α ∠β=180°， 则∠α与∠β不⼀定是邻补⾓。

⑶两直线相交形成的四个⾓中，每⼀个⾓的邻补⾓有两个，⽽对顶⾓只有⼀个。2.垂线

⑴定义：当两条直线相交所成的四个⾓中，有⼀个⾓是直⾓时，就说这两条直线互相垂直， 其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，它们的交点叫做垂⾜。

符号语⾔记作：

如图所⽰：AB⊥CD，垂⾜为 O

⑵垂线性质 1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直 (与平⾏公理相⽐较记)

⑶垂线性质 2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3.垂线的画法：

⑴过直线上⼀点画已知直线的垂线；

⑵过直线外⼀点画已知直线的垂线。

注意：①画⼀条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过⼀点作线段的垂线，垂⾜可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴⼀靠：⽤三⾓尺⼀条直⾓边靠在已知直线上，⑵⼆移：移动三⾓尺使⼀点落在它的 另⼀边直⾓边上，⑶三画：沿着这条直⾓边画线，不要画成给⼈的印象是线段的线。4.点到直线的距离

直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。应该结合图形进⾏记忆。

如图，PO⊥AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的⼀条。 现实⽣活中开沟引⽔，牵⽜喝⽔都是“垂线段最短”性质的应⽤。

5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近⽽⼜相异的概念。分析它们的联系与区别。

相交线与平行线

第一节 相交线

一：相交线

1相交线的定义

两条直线交于一点;我们称这两条直线相交．相对的;我们称这两条直线为相交线．

2两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．

3在同一平面内;两条直线的位置关系有两种：平行和相交重合除外．

对顶角与邻补角

1对顶角：有一个公共顶点;并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线;具有这种位置关系的两个角;互为对顶角．

2邻补角：只有一条公共边;它们的另一边互为反向延长线;具有这种关系的两个角;互为邻补角．

3对顶角的性质：对顶角相等．

4邻补角的性质：邻补角互补;即和为180°．

5邻补角、对顶角成对出现;在相交直线中;一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言;是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．

二：垂线

1垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中;有一个角是直角时;就说这两条直线互相垂直;其中一条直线叫做另一条直线的垂线;它们的交点叫做垂足．

2垂线的性质

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

注意：“有且只有”中;“有”指“存在”;“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以．

垂线段最短

1垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线;这点和垂足之间的线段叫做垂线段．

2垂线段的性质：垂线段最短．

正确理解此性质;垂线段最短;指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

3实际问题中涉及线路最短问题时;其理论依据应从“两点之间;线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．

点到直线的距离

1点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度;叫做点到直线的距离．

2点到直线的距离是一个长度;而不是一个图形;也就是垂线段的长度;而不是垂线段．它只能量出或求出;而不能说画出;画出的是垂线段这个图形．

第二节 平行线及其判定 一：平行线