复杂网络度分布的研究

复杂网络的结构分析与模型研究随着信息技术的飞速发展和互联网的普及，网络已经成为人们不可分割的一部分。

然而，网络并不是简单的连通图，它更多的是一种复杂的拓扑结构。

而复杂网络的结构分析与模型研究正是在探究这种复杂的拓扑结构。

一、复杂网络的概念和分类复杂网络是一种由众多节点和边组成的图形结构，其在现实生活中的各种应用越来越广泛，如社交网络、交通网络、供应链网络等。

根据网络节点之间连接的方式，复杂网络可以分为以下四类：1. 随机网络。

随机网络是节点之间连接完全随机的网络，其中各节点的度数呈现高斯分布。

这种网络的特点是具有较小的聚类系数和较小的平均路径长度。

2. 规则网络。

规则网络是节点之间连接具有规则性的网络，其中各节点的度数相同，且该度数相同。

这种网络的特点是具有较大的聚类系数和较小的平均路径长度。

3. 小世界网络。

小世界网络在随机网络和规则网络之间，其中大部分节点连接在一起，但也有一部分节点连接到远离它们的其他节点。

这种网络的特点是具有较小的平均路径长度和较大的聚类系数。

4. 非线性网络。

非线性网络包括动力学网络和生物网络，在这些网络中，边的权重也具有非线性性质。

这种网络的特点是具有丰富的动力学行为，包括同步、混沌等。

二、复杂网络的结构分析复杂网络的结构分析主要是研究网络连接的拓扑结构，包括网络的度分布、聚类系数、平均路径长度等特征。

1. 度分布。

度分布是指节点在网络中的度数概率分布，它是复杂网络的基本特性之一。

在一个网络中，节点度数越大，其所占比例越小，表现出幂律分布。

2. 聚类系数。

聚类系数是指节点的邻居之间也彼此相连的概率，它描述了网络的局部结构。

在随机网络中，聚类系数很小，在规则网络中，聚类系数很大，而在小世界网络中，聚类系数介于二者之间。

3. 平均路径长度。

平均路径长度是指节点之间的平均最短路径长度，它是网络中任意两个节点间距离的度量。

在随机网络中，平均路径长度较大，在规则网络中平均路径长度较小，而在小世界网络中，平均路径长度介于二者之间。

复杂网络研究概述3周　涛 柏文洁 汪秉宏 刘之景 严　钢(中国科学技术大学近代物理系　合肥　230026)摘　要 近年来,真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网路的研究热潮.复杂网络区别于以前广泛研究的规则网络和随机网络最重要的统计特征是什么?物理学家研究复杂网络的终极问题是什么?物理过程以及相关的物理现象对拓扑结构是否敏感?物理学家进入这一研究领域的原因和意义何在?复杂网络研究领域将来可能会向着什么方向发展?文章围绕上述问题,从整体上概述了复杂网络的研究进展.关键词 复杂网络,小世界,无标度,拓扑性质A brief revie w of complex net worksZHOU Tao BAI Wen 2Jie WAN G Bing 2Hong L IU Zhi 2Jing YAN G ang(Depart ment of Modern Physics ,U niversity of Science and Technology of China ,Hef ei 230026,China )Abstract In recent years the discovery of small 2world effects and scale 2free properties of real 2life networks has attracted a much interest among physicists.Which are the most important statistical characteristics for complex networks that are known from regular networks and random networks ?What is the ultimate goal of the study of complex networks ?Are physical processes sensitive to the topological structure of networks ?What are the reason and meaning for physicists to enter the research field of complex networks ?What are the direc 2tions for future research ?In this paper we concentrate on the above questions and present a general overview of complex networks.K eyw ord complex networks ,small 2world ,scale 2free ,topological characters3　国家重点基础研究发展计划项目;国家自然科学基金(批准号:70271070,70471033,10472116)、中国与加拿大大学工业联合基金(批准号:CCU IPP 2NSFC 70142005)、高等教育博士点专项基金(批准号:SRFDP 20020358009)资助项目2004-06-30收到初稿,2004-08-07修回　通讯联系人.E 2mail :bhwang @1　引言自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述.一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的,其中节点用来代表真实系统中不同的个体,而边则用来表示个体之间的关系,通常是当两个节点之间具有某种特定的关系时连一条边,反之则不连边.有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的.例如,神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1];计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2].类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3,4]、交通网络[5]等等.数学家和物理学家在考虑网络的时候,往往只关心节点之间有没有边相连,至于节点到底在什么位置,边是长还是短,是弯曲还是平直,有没有相交等等都是他们不在意的.在这里,我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质,相应的结构叫做网络的拓扑结构.那么,什么样的拓扑结构比较适用于描述真实的系统呢?两百多年来,对这个问题的研究经历了三个阶段.在最初的一百多年里,科学家们认为・13・　34卷(2005年)1期真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示,例如二维平面上的欧几里德格网,它看起来像是格子体恤衫上的花纹;又如最近邻环网,它总是会让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘.到了20世纪50年代末,数学家们想出了一种新的构造网络的方法,在这种方法下,两个节点之间连边与否不再是确定的事情,而是根据一个概率决定.数学家把这样生成的网络叫做随机网络,它在接下来的40年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络[6—8].直到最近几年,由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展,科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络,也不是随机网络,而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络.这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络(complex net2 works),对于它们的研究标志着第三阶段的到来.遗憾的是,就目前而言,科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义,从这几年的研究来看,之所以称其为复杂网络,大致上包含以下几层意思:首先,它是大量真实复杂系统的拓扑抽象;其次,它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂,因为我们可以很容易地生成规则和随机网络,但就目前而言,还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的复杂网络;最后,由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础,因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题.2　复杂网络的统计特征如前所述,复杂网络具有很多与规则网络和随机网络不同的统计特征,其中最重要的是小世界效应(small2world effect)[1,9]和无标度特性(scale2free property)[10,11].在网络中,两点间的距离被定义为连接两点的最短路所包含的边的数目,把所有节点对的距离求平均,就得到了网络的平均距离(average distance).另外一个叫做簇系数(clustering coefficient)的参数,专门用来衡量网络节点聚类的情况.比如在朋友关系网中,你朋友的朋友很可能也是你的朋友;你的两个朋友很可能彼此也是朋友.簇系数就是用来度量网络的这种性质的.用数学化的语言来说,对于某个节点,它的簇系数被定义为它所有相邻节点之间连边的数目占可能的最大连边数目的比例,网络的簇系数C则是所有节点簇系数的平均值.研究表明,规则网络具有大的簇系数和大的平均距离,随机网络具有小的簇系数和小的平均距离.1998年,Watts 和Strogatz通过以某个很小的概率p切断规则网络中原始的边,并随机选择新的端点重新连接,构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络(WS 网络),它同时具有大的簇系数和小的平均距离,因此既不能当作规则网络处理,也不能被看作是随机网络[1].随后,Newman和Watts给出了一种新的网络的构造方法,在他们的网络(NW网络)中,原有的连边并不会被破坏,平均距离的缩短源于以一个很小的概率在原来的规则网络上添加新的连边[12].后来物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效应,具有这种效应的网络就是小世界网络(small2world networks)(见图1).图1　小世界网络拓扑结构示意图(左边的网络是规则的,右边的网络是随机的,中间的网络是在规则网络上加上一点随机的因素而形成的小世界网络,它同时具有大的簇系数和小的平均距离)大量的实验研究表明,真实网络几乎都具有小世界效应[1—5,13],同时科学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布[2,4,13—15],这里某节点的度是指该节点拥有相邻节点的数目,或者说与该节点关联的边的数目.节点度服从幂律分布就是说,具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示.幂函数曲线是一条下降相对缓慢的曲线,这使得度很大的节点可以在网络中存在.对于随机网络和规则网络,度分布区间非常狭窄,几乎找不到偏离节点度均值较大的点,故其平均度可以被看作是其节点度的一个特征标度.在这个意义上,我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络(scale2free networks),并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性.1999年, Barabási和Albert给出了构造无标度网络的演化模型[10,11],他们所用的方法与Price的方法类似[16,17].Barabási和Albert把真实系统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因素:生长和优先连接,而他们的网络模型(BA网络)正是模拟这两个关键机制设计的.除了小世界效应和无标度特性外,真实网络还・23・物理有很多统计上的特征,例如,混合模式特性[18],度相关特性[19—21],超小世界性质[13]等等.限于篇幅,本文不再赘述,有兴趣的读者可以参考相关文献.图2　无标度网络的拓扑结构示意图(本图展示了有130个节点的BA 网络,其节点度服从幂指数为-3的幂律分布.图中标注的5个节点是网络中度最大的5个节点)3　复杂网络上的物理过程对于物理学家而言,研究复杂网络的终极目标是理解网络拓扑结构对物理过程的影响.在以前的研究中,物理学家往往忽略了网络的拓扑性质,在讨论逾渗、传播、同步等物理过程时,他们自然地选择了最容易模拟和分析的规则网络或随机网络,而没有仔细思考和研究这种选择是不是应该的,不同的选择会不会对物理过程产生不可忽略的影响.以网络上的传播动力学模型为例,由于传统的网络传播模型大都是基于规则网络的,因此,复杂网络不同统计特征的发现使科学家面临更改既有结论的危险.当然,如果理论研究和实验结果都说明复杂网络上的传播动力学行为与规则网络别无二致,那么我们至少暂时还可以心安理得地使用以前的结论.但是,不幸的是,复杂网络上的传播行为与规则网络相比确实存在根本上的不同.类似的情况还出现在其他的物理过程中,下面我们将简略地介绍网络拓扑性质对某些典型物理过程的影响.3.1　逾渗模型与疾病传播动力学之所以在这里把逾渗模型和网络上的疾病传播动力学问题归在一起讨论,是因为网络上的疾病传播模型可以等价于键逾渗模型[22,23].以前的基于规则网络的研究表明,疾病在网络中的平均波及范围与疾病的传染强度正相关,而疾病的传染强度有一个阈值,只有当其值大于这个阈值时,疾病才能在网络中长期存在,否则感染人数会呈指数衰减[24—26].根据这个理论,疾病若是持久存在,则必然波及大量个体.但实验研究表明,计算机病毒、麻疹等一般仅波及少数个体但能够长期存在[27,28].这一理论与实验的矛盾在很长时间里一直困扰着科学界.近年来的研究表明,在无标度网络中,没有正的传播阈值[29—31],也就是说,即使疾病的传染强度接近零,只波及非常少的个体,也能在网络中长期存在.由于大部分真实网络是无标度网络,因此该结论很好地解决了上面的矛盾.3.2　混沌同步近十余年来,混沌动力系统在网络上的同步性能吸引了大量科学家的关注.早期的研究主要是针对以最近邻环网为代表的规则网络,研究表明,对于给定的非零耦合强度,当节点数目很大时,网络无法实现同步[32].最近几年的研究却表明,尽管小世界网络只是在规则网络进行一个非常小的修正的结果[1,12],但其实现混沌同步的能力却远远好于规则网络[33,34].对于小世界上的广义混沌同步[35]与超混沌同步[36]的研究同样表明,小世界网络有明显好于规则网络的同步能力.物理学家还考察了无标度网络,研究表明,其混沌同步的能力与星形网络几乎是一样的,这可能是因为它与星形网络都具有很不均匀的节点度分布[37](见图3).图3　网络中疾病平均波及范围与传染强度关系的示意图(图中位于右侧的实线表示疾病在规则网络中传播的情况,位于左侧的实线表示疾病在小世界网络中传播的情况,虚线表示疾病在无标度网络中传播的情况.可以看到,疾病在无标度网络中没有正的传播阈值,而小世界网络的传播阈值明显小于规则网络.注意,图中的曲线只是为了帮助我们定性地理解,并不是通过数值模拟得到的定量的曲线)3.3　沙堆模型与自组织临界性网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的自组织临界现象,一直就是该领域争论的焦点[38—43].Zhou 和Wang 对复杂网络上沙堆模型的研究表明,沙堆模型中的雪崩动力学性质对网络拓扑结构非常敏感,相比规则网络,无标度网络上大雪崩发生更为频・33・　34卷(2005年)1期图4　雪崩规模分布图[曲线1和曲线2分别代表在二维欧几里德格网和无标度网络上雪崩规模的分布,其中P(S)表示在100万次微扰中规模为S的雪崩出现的次数.试验中,欧几里德格网和无标度网络的节点数均为4900,平均度均为4.在无标度网络中,最大的雪崩规模为8829,而在欧几里德格网中相应的值仅为1799]繁,最大雪崩的规模也大得多[44](见图4).物理性质明显依赖于网络拓扑结构的物理过程还很多,例如随机游走[45—48]、玻色-爱因斯坦凝聚[49—51]、XY临界模型[52,53]等等.在此我们无法一一介绍,读者可以参阅相关文献.总的来说,物理学家已经开始学会把网络拓扑性质看作影响系统行为的一个特征量,这也在很大程度上改变了我们对很多物理过程原有的认识.4　总结与展望关于网络的研究,数学家早在两百多年前就开始了,他们已经发展出了成体系的理论与技术,而物理学家的进入只有五年左右的历史!到底是什么鼓动物理学家来趟这塘浑水,他们的到来有意义吗?在我们看来,研究对象特殊的尺度效应是召唤物理学家到来的根本原因.数学家经典的网络理论,要么是分析包含几十数百个顶点,可以画在一张纸上,从而形成直观印象的网络;要么是讨论不含有限尺度效应,可以精确求解的网络性质.“随机移走一个顶点会对网络的性能产生什么样的影响?”这个问题对于研究有限规则网络的数学家是有意义的,但对于拥有几千万个节点,连接方式复杂多样的真实网络而言,或许“随机移走3%的顶点会对网络性能产生什么样的影响?”这个问题更有意义.这个尺度的网络,是被物理学家称作“足够大”的网络,对它们的研究,需要使用统计物理的方法.有的读者可能会问,数学家除了经典的网络理论外,还构造了一套随机图的理论,这套理论就是专门对付“足够大”的网络的,统计力学的方法到底能不能得到随机图论不能得到的新的有意义的结果呢?需要强调的是,随机图论的方法的确在复杂网络的研究中扮演了不可或缺的角色,但是,数学家的“足够大”和物理学家的“足够大”完全不是一个概念,虽然他们都使用顶点数趋于无穷的假设.对于物理学家而言,平均场的近似,主方程的求解,在网络顶点数达到百十万甚至只需几万时,误差就已经可以接受了;而随机图的大量有意义的结果,要求节点数在连续求取3次常用对数后还要比10大[8],在我们的宇宙中,目前还没有任何一个有物理意义的数值达到如此的量级.从前面的介绍中我们已经看到,物理学家不仅在方法论上为网络研究注入了新的活力,而且大大地拓展了网络研究的视野.他们不仅和数学家一样关心网络自身的拓扑性质,而且关注网络上进行的各种物理过程和动力学行为,诸如传播、同步、自组织临界、玻色-爱因斯坦凝聚等等,他们发现了网络拓扑结构对各种动力学行为的影响,并给出了很多虽不严谨但很美妙的解释.这些工作很有可能会推动相关数学物理理论的发展.近几年来,大量关于复杂网络的文章发表在Science,Nature,PRL,PNAS等国际一流的刊物上,从一个侧面反映了复杂网络已经成为物理界的一个新兴的研究热点.香港城市大学的陈关荣教授统计了几年来被SCI收录的关于复杂网络的文章数量(见图5),从中可以看出明显的增长趋势.Evans统计了6年来在arXiv:cond-mat上提交的标题含有“network”的文章数,也同样发现了逐年递增的趋势(见图6).复杂网络的研究刚刚起步,前景看好,我国科学家应当尽快加入这个行列,争取做出原创性质的工作.5　结束语作为文章的结束,我们将为读者介绍一些重要的综述,希望这会有助于读者以更快的速度进入复杂网络研究的前沿阵地.关于小世界网络的研究,Newman[54]和Hayes[55,56]给出了不算太长的3篇综述,更短的1篇由Strogatz完成[57],发表在Nature上;Albert和Barabási给出了一篇更像是教科书的综述[58],他们讨论的重点是演化的无标度网络,这篇文献在两年之内已经被引用了近千次;最为详尽的综述是Dorogovtsev和Mendes给出的[59],在这篇文章中,・43・物理图5　SCI 收录的关于复杂网络的研究论文数量(统计了从1998年到2004年第一季度的情况,从图中可以看出,复杂网络的研究方兴未艾)图6　arXiv :cond 2mat 上关于网络的研究论文数量(统计了从1997年到2003年cond 2mat 上标题含有“network ”的文章数目,从图中可以看出,网络的研究在近6年来越来越受到物理学家的关注)他们用超过100页的篇幅穷举了在此之前几乎所有关于演化网络的结论,包括相当详细的实验与分析的过程;2003年Newman 的综述堪称精品[60],漂亮的组织结构,地道风趣的语言和独到的视角,使你在阅读时会忘掉是在读一篇学术文献,后面所附的400多篇参考文献,足以填饱任何人的肚子;Wang 和Chen 在IEEE 期刊上的一篇短综述[61],非常适合作为入门读物,一个完全不谙此道的人都可以通过一个下午的阅读对复杂网络的研究概貌有所了解;Wang 的另一篇综述像是上一篇文章的扩展版[62],在这篇文献中,Wang 强调了复杂网络上的混沌同步,对这方面工作感兴趣的读者切不可放过该文献.最新的综述是Evans 在2004年5月完成的[63],这篇文献中包含了很多最新研究的结果.参考文献[1]Watts D J ,Strogatz S H.Nature ,1998,393:440[2]Faloutsos M ,Faloutsos P ,Faloutsos puter Communi 2cations Review ,1999,29:251[3]Liljeros F et al .Nature ,2001,411:907[4]Ebel H ,Mielsch L I ,Borbholdt S.Phys.Rev.E ,2002,66:035103[5]Sen P et al .Phys.Rev.E ,2003,67:036106[6]Erd s P ,R ényi A.Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Science ,1960,5:17[7]Erd s P ,R ényi A.Acta Mathematica Scientia Hungary ,1961,12:261[8]Bollob ás B.Random Graphs.London :Academic Press Inc ,1985[9]Milgram S.Psychology Today ,1967,2:60[10]Barab ási A L ,Albert R.Science ,1999,286:509[11]Barab ási A L ,Albert R ,Jeong H.Physica A ,1999,272:173[12]Newman M E J ,Watts D J.Phys.Rev.E ,1999,60:7332[13]Zhou T et al .arXiv :cond -mat/0405258[14]Jeong H et al .Nature ,2001,411:41[15]Jeong H et al .Nature ,2000,407:651[16]de Price D J S.Science ,1965,149:510[17]de Price D J S.J.Amer.S rm.Sci.,1976,27:292[18]Newman M E J.Phys.Rev.E ,2003,67:026126[19]Pastor 2Satorras R ,V ázquez A ,Vespignani A.Phys.Rev.Lett.,2001,87:258701[20]V ázquez A ,Pastor 2Satorras R Vespignani A.Phys.Rev.E ,2002,65:066130[21]Newman M E J.Phys.Rev.Lett.,2002,89:208701[22]Grimmett G R.Percolation.Berlin :S pringer -Verlag ,1989[23]Sander L M et al .Math.Biosci.,2002,180:293[24]Bailey N T J.The Mathematical Theory of Infectious Diseases and Its Applications.New Y ork :Hafner Press ,1975[25]Anderson R M ,May R M.Infectious Diseases of Humans.Oxford :Oxford University Press ,1992[26]Hethcote H W.SIAM Review ,2000,42:599[27]K ephart J O.Sci.Am.,1997,277:56[28]K ephart J O et al .IEEE Spectr.,1993,30:20[29]Pastor 2Satorras R ,Vespignani A.Phys.Rev.E ,2001,63:066117[30]Pastor 2Satorras R ,Vespignani A.Phys.Rev.Lett.,2001,86:3200[31]Barthelemy M et al .Phys.Rev.E ,2004,92:178701[32]Wu C W ,Chua L O.IEEE Trans.Circuits Syst.I ,1995,42:430[33]G ade P M ,Hu C K.Phys.Rev.E ,2000,62:6409[34]Wang X F ,Chen G R.Int.J.Bifurcation and Chaos ,2002,12:187[35]Barahona M ,Pecora L M.Phys.Rev.Lett.,2002,89:054101[36]Jiang P Q et al .Int.J.Mod.Phys.B ,2004,18:2674[37]Wang X F ,Chen G R.IEEE Trans.Circuits Syst.I ,2002,49:54[38]Olami Z et al .Phys.Rev.Lett.,1992,68:1244[39]K lein W ,Rundle J.Phys.Rev.Lett.,1993,71:1288[40]Christensen K.Phys.Rev.Lett.,1993,71:1289[41]Carvalho J X ,Prado C P C.Phys.Rev.Lett.,2000,84:4006・53・　34卷(2005年)1期[42]Christensen K et al .Phys.Rev.Lett.,2001,87:039801[43]Carvalho J X ,Prado C P C.Phys.Rev.Lett.,2001,87:039802[44]Zhou T ,Wang B H.arXiv :cond 2mat/0406575[45]Jespersen S et al .Phys.Rev.E ,2000,62:4405[46]Pandit S A ,Amritkar R E.Phys.Rev.E ,2001,63:041104[47]Lahtinen J et al .Phys.Rev.E ,2001,64:057105[48]Lahtinen J et al .Physica A ,2002,311:571[49]Bianconi G et al .arXiv :cond 2mat/0011224[50]Burioni R et al .arXiv :cond 2mat/0104365[51]Burioni R et al .J.Phys.B ,2001,34:4697[52]K im B J et al .Phys.Rev.E ,2001,64:056135[53]Medvedyeva K et al .Phys.Rev.E ,2003,67:036118[54]Newman M E J.J.Stat.Phys.,2000,101:819[55]Hayes B.American Scientist ,2000,88:9[56]Hayes B.American Scientist ,2000,88:104[57]Strogatz S H.Nature ,2001,410:268[58]Albert R ,Barab ási A L.Rev.Mod.Phys.,2002,74:47[59]Dorogovtsev S N ,Mendes J F F.Advances in Physics ,2002,51:1079[60]Newman M E J.SIAM Review 2003,45:167[61]Wang X F ,Chen G R.IEEE Circuits &Systems Magazine ,2003,3:6[62]Wang X F.Int.J.Bifurcation &Chaos ,2002,12:885[63]Evans T S.arXiv :cond 2mat/0405123・物理新闻和动态・用激光观察分子轨道科学家们演示了一种观察简单分子周围的电子“云”的新方法.他们利用激光脉冲将氧和氮的分子解离成离子对,然后根据离子的轨迹重构出分子原来的电子云或“轨道”.发表在2004年9月10日的PRL 上的结果,证实了关于电场中分子的分裂可能依赖于其电子轨道的理论预言.这种技术可以帮助研究者探查在激光聚变系统、日冕和生物分子间所发生的反应.当分子漂移进入一个强的电磁场(如太阳表面)时,就会被电离.研究人员可以在实验室中利用超短激光脉冲研究这一过程.激光的强电场迫使分子中的2个电子离开分子,只剩下2个离子.近期的实验表明,像O 2和S 2这类分子与像N 2这样的分子相比,更不易被电离.这是一种很奇怪现象,因为将这3种分子束缚在一起的化学键的强度相差无几.这一现象似乎可以从轨道的形状中找到解释.某些轨道形状有利于电子按激光的电场排列,这使得这些电子更易被电离.在Manhattan 的K ansas 州立大学的Lewis Cocke 的光学物理组,决定采用一种新的能更直接地对电子轨道进行观察的技术来检验这一想法.他们将氧和氮喷在激光通过的路径上,激光器调谐到能在8fs 长的时间内发射出15μJ 的能量,这能量刚好.安装在附近的探测器收集离子并记录它们的位置.然后他们重构出原来的分子相对于激光的电场的取向.研究人员对每种分子的测量结果作图.将每一取向角度在图上标出一个点.该点到图的中心的距离对应于分子破裂的概率.例如,当激光电场与分子的长轴平行时,氮分子最容易被电离,在其他情况下则很难被电离.氮的图形看上去类似于一个长轴是沿零度方向的椭圆形.这种图形与由计算得知的氮的外层轨道的大体形状相符,外层轨道主要集中分布在沿连接两个原子的连线上.而氧分子当电场与分子轴线成40°左右角度时,即分子外层轨道像四叶草的形状时,更容易被电离.(树华　编译自Alnaser A S et al .Phys.Rev.Lett.,2004,93:113003)图1　病人手腕上的脉络图像寻找脉络为了能很好地管理静脉血液,在皮下寻找必要的脉络是一件不容易的事情.最近,美国田纳西大学健康科学中心的H.Zeman 教授和他的同事们,在美国Rochester 召开的“前沿光学会议”上,展示了他们所发明的一台新的仪器———脉络对比增长器(Vein Constrast Enhancer ,简称为VCE ).这种仪器是利用灵敏的红外传感器去寻找皮下的脉络,然后投射为脉络图像,再明显地展示在病人的手腕上(如图1所示).这种图像能使医务工作者们非常容易地进行各种注射.这台仪器的工作原理极为简单.它是由一组发光二极管将红外光照射在对象上,利用红外光对红血球与其周围的脂肪组织有着极不相同的散射性能,当散射光线通过滤光片后就被CCD TV 摄像机接收,并转变为每秒可形成30帧画面的图像.这些经过细致矫正后就形成为解剖学所要求的皮下图像.H.Zeman 教授的研究组利用VCE 进行了大量的临床试验,并且对投影能力也作了各种测试.现在,VCE可探测到皮下8mm 深处的脉络,并形成图像,图像的空间分辨率一般为011mm.(云中客　摘自Frontiers in Optics Meeting ,15October 2004)・63・物理。

复杂网络模型的建立与分析研究随着社交媒体、互联网和大数据等领域的快速发展，复杂网络模型已成为研究的热点之一。

复杂网络模型是指由节点和连接组成的网络结构，是对现实世界中诸如社交网络、生物网络、交通网络等众多网络的抽象形式化描述。

建立和分析复杂网络模型可以对实际问题进行深入的研究和解决，因此在计算机、物理学、社会学等领域都具有重要的应用价值。

在建立复杂网络模型的过程中，主要分为以下几步骤。

首先，要确定网络的节点集和连接集。

节点集可以表示实体或者抽象概念，连接集则描述节点之间的联系。

其次，要构建网络连通性矩阵，以便进行后续的网络分析和建模。

网络连通性矩阵可以是邻接矩阵或者关联矩阵。

邻接矩阵描述了节点之间的直接连接，而关联矩阵则描述了节点之间的关联关系。

最后，需要进行模型验证和分析。

通常使用复杂网络的度分布、聚类系数、介数中心性等参数来量化网络性质，以验证模型的正确性和有效性。

与传统的图论相比，复杂网络模型提供了更加细致的网络分析方式和应用场景。

例如，社交网络中节点的度分布可以用于关键人物的识别，生物网络中网络结构的研究有助于分子生物学的探索和药物研发，交通网络中的研究可以为城市规划提供重要参考。

几乎所有与人类社会、自然界、技术和经济等领域有关的问题都可以用复杂网络模型来进行分析和研究。

例如在社交网络中，一个节点可以表示一个人，而边表示他们之间的关系。

在这个模型中，有些节点会比其他节点更具有影响力。

通过研究网络中的度中心性、紧密中心性和介数中心性等参数，可以找出社交网络中的核心人物，即关键人物。

这些关键人物往往具有较高的社交地位，拥有更多的信息和资源，可以对社会产生更大的影响力。

找到这些人物从而可以在企业管理、市场营销等方面做出更有利的决策。

在物理学领域，复杂网络也经常被应用于探究自组织现象和相变行为。

例如在研究网格布局中的交通模型时，复杂网络模型可以用于描述复杂的交通流量和拥堵现象。

这种模型的建立和分析可以有助于设计出更加高效的交通管理系统和城市规划方案。

复杂网络模型及其应用研究一、引言网络模型在各种研究领域中都扮演着重要的角色，如社交网络、交通网络、蛋白质相互作用网络等。

为了更好地理解和研究这些网络，科学家们提出了一些复杂网络模型。

本文将介绍几种常见的网络模型及其应用研究。

二、随机图模型随机图模型是最早被讨论和研究的网络模型之一，该模型中每个节点都有相同的度数分布，每对节点之间的连边独立等概率地存在。

该模型的研究成果被应用于社交网络，比如，评估节点之间的联系性以及社交网络中信息的传播和影响等问题。

三、小世界网络模型在小世界网络模型中，节点之间连接的方式是在随机图中随机建立的，但是每个节点与他人的距离非常短，有利于信息传输。

该模型常被应用于通信网络，如电话网络和因特网等领域。

近年来，该模型在计算机科学领域得到了广泛的关注。

四、尺度无关网络模型尺度无关网络模型是一种可用于描述复杂网络中节点度数分布的模型。

在该模型中，节点度数的分布与网络的大小无关，因此该模型也成为无标度网络模型。

该模型被广泛应用于生物学和社交网络等领域。

在社交网络领域，这种模型可用于确定群体中活跃和不活跃成员之间的关系。

五、无尺度网络模型无尺度网络模型是一种与尺度无关网络模型非常相似的网络模型，但它假设网络中节点度数分布呈现幂律分布，即度数较大的节点出现的概率相对较小。

该模型被应用于物理、社交、金融、医疗等多个领域，例如，可以通过该模型来分析股票市场中不同公司之间的联系方式。

六、小结网络模型在各种应用领域中都扮演着重要的角色。

通过对不同的网络模型的研究，我们可以更好地了解和理解网络的复杂性，同时也能够更好地处理和解决相关问题。

尽管这些模型都有它们的局限性和不足，但是它们仍然是现代研究领域中必不可少的研究方法之一。

复杂网络与社交网络分析一、复杂网络的概念和基本模型复杂网络是一种由许多节点和连接它们的边组成的网络，具有复杂的拓扑结构和动态行为。

在真实世界中，很多现象都可以用复杂网络来描述，例如社交网络、交通网、电力网等。

复杂网络分析是研究这些网络的结构、性质和演化规律的学科。

常见的复杂网络模型包括随机网络、小世界网络和无标度网络等。

随机网络是指节点之间的连接具有随机性，节点度数呈现正态分布。

小世界网络是在随机网络的基础上增加一些具有长程联系的节点，从而使得网络具有短路径和聚类性质。

无标度网络则是由一些具有非常大度数的节点（称为“中心节点”）和大量度数较小的节点（称为“外围节点”）组成，呈现“无标度性”。

二、复杂网络的度分布和聚类性质度分布是指网络中节点度数的概率分布函数，是描述网络拓扑结构的重要指标之一。

在随机网络中，节点度数呈现正态分布，但在其他类型的网络中，度分布往往呈现幂律分布。

幂律分布的特点是存在少数节点（通常为中心节点）的度数非常大，而大部分节点的度数非常小。

聚类性质是指网络中节点之间的联系程度，可以通过聚类系数来描述。

聚类系数指节点的邻居之间的连接占最大可能连接数的比例。

在随机网络中，聚类系数比较低，但在小世界网络中，聚类系数较高。

三、社交网络的结构和特点社交网络是指由一组人以及它们之间的社会关系构成的网络。

社交网络可以分为在线社交网络和离线社交网络，其中在线社交网络包括Facebook、微信等，离线社交网络则包括学校、家庭、组织等。

社交网络的结构和特点与复杂网络有很大的联系。

在社交网络中，节点代表人员，边则代表人员之间的关系，例如朋友、家庭成员、同事等。

社交网络可分为稠密网络和稀疏网络两类。

稠密网络的特点是节点之间联系紧密，而稀疏网络则相对分散。

此外，社交网络还具有小世界和无标度等特点。

四、社交网络的行为和演化规律社交网络中的行为和演化规律是指人们在社交网络中的行为方式以及社交网络本身的演化规律。

复杂网络的性质及研究进展随着互联网技术的进步，现代社会中出现了大量复杂网络。

复杂网络是一类由大量节点和连接构成的复杂结构，如社交网络、互联网、物流网络等。

复杂网络中的节点可以是人、机器、城市、物品等，节点间的连接可以是关系、交易、信息传递等。

复杂网络的性质及研究进展成为当前网络科学热门话题。

一、复杂网络的性质复杂网络具有许多独特的性质。

其中最著名的是小世界现象和无尺度性。

小世界现象指的是在相对较少的步数内，两个节点间可以通过少量的中间节点相互连接。

这个现象源于节点个数巨大的复杂网络中所存在的“短路”现象。

无尺度性则指的是复杂网络中存在少数节点拥有极高的度数，这些度数相对较低的节点则占据大多数。

这个现象发生的原因是特定节点的度数与网络结构有关，而网络结构可以不断扩大，使得度数与网络尺寸成幂律分布。

另外，复杂网络还具有同配性和社团结构这些特征。

同配性指的是节点之间存在相似的连接方式。

也就是说，度数大的节点会与度数大的节点相连，而度数小的节点会与度数小的节点相连。

在社交网络中，身份地位相近的人之间也会有相似的交际方式。

社团结构则指的是节点在网络中的归属群体。

网络社团结构不仅有助于分析节点间的关系，而且有助于我们更好地理解复杂网络的拓扑性质。

二、复杂网络研究进展近年来，复杂网络的研究取得了非常显著的进展。

1. 复杂网络模型为了更好地研究复杂网络，科学家提出了一些复杂网络模型。

比较常用的模型有随机图模型、小世界模型、无尺度网络模型等。

这些模型的提出极大地推动了复杂网络的研究，使得我们能够更加深入地理解复杂网络的性质和演化规律。

2. 复杂网络在社会与生命科学中的应用复杂网络不仅被广泛应用于计算机科学领域，而且在社会网络与生命科学领域也有着广泛的应用。

例如，社交网络分析被广泛应用于研究社交关系、信息传播和个人信任等问题；基因调控网络分析被应用于研究生物调控机制和疾病发生机理等重要问题。

复杂网络为社会与生命科学领域的研究提供了一个全新的视角，使得我们能够更加全面地了解问题背后的本质。

基于大数据分析的复杂网络分析研究复杂网络，是由许多个体之间相互作用形成的网络。

复杂网络研究的重要性在于，它蕴含着许多重要的数据和信息，可以被用于各种领域的应用。

而大数据分析，则是大量有机联系的数据的收集、处理、分析和应用的一项技术。

本文将着重于介绍基于大数据分析的复杂网络分析研究，探讨其研究方法、应用、未来发展方向等方面的问题。

一、基础知识复杂网络由节点和连线组成，其中节点代表个体，连线代表节点之间的相互作用。

复杂网络中的节点可以是人、物件、机构等等，而相互作用可以指物理上的关系，如器具的连通、人类之间的关系等，在数学理论上，也可以是逻辑关系，如网页与网页之间的链接等。

复杂网络最早被用于社会学研究，但如今已被广泛应用于社会、物理、信息等各个领域。

对于想要深入了解复杂网络的人来说，需要掌握的知识点主要包括以下几个方面：1.节点度数：指一个节点连接的其他节点的数量，节点度数越高，说明该节点在网络中的作用越重要。

2.网络密度：表示网络中实际连接数与可能的连接数之比，网络密度越大，说明网络中的节点之间相互作用越多。

3.网络直径：网络中最短路径的长度，即网络中任意两个节点之间最短的路径长度。

4.聚类系数：反映节点之间的紧密度，指一个节点的邻居节点之间的边的密度。

5.小世界：复杂网络中的“小世界”现象即它既有较高的聚类系数，也有较短的平均路径长度。

二、数据收集基于大数据分析的复杂网络分析研究，首先需要的是大量的数据。

数据的收集分为两种方式：一是通过已有数据集进行挖掘，二是通过人工采集的方式获取新的数据集。

对于第一种方式，需要的是先有一定规模的数据集，然后对其进行分析和挖掘。

例如，在社交媒体平台中，用户的交互行为就是一个比较典型的数据集。

通过收集大量的用户交互数据，可以构建一张完整的用户关系图，进而进行复杂网络分析。

对于第二种方式，需要采用各种手段进行数据的收集。

例如，通过网络爬虫爬取互联网中的数据，或是通过调查问卷获取数据等。

复杂网络分析Python中的复杂网络结构与动态演化研究在当今信息时代，网络已成为连接人与人、人与事物的重要纽带，而网络结构的复杂性和演化规律一直是学者们关注的焦点之一。

Python 作为一种功能强大的编程语言，为复杂网络的分析与研究提供了丰富的工具和库，使得对复杂网络结构与动态演化的研究更加深入和系统。

本文将从Python中的复杂网络分析入手，探讨复杂网络结构与动态演化的相关内容。

复杂网络结构分析是复杂网络研究的基础，Python中有许多用于网络分析的库，例如NetworkX、igraph等。

这些库提供了丰富的功能，包括创建网络、节点和边的属性设定、网络可视化等。

在分析网络结构时，可以通过这些库来计算网络的度分布、聚类系数、中心性等指标，从而揭示网络的基本特征和拓扑结构。

除了静态网络结构分析外，动态演化也是复杂网络研究的重要方面。

Python中的复杂网络分析工具也提供了对动态网络的支持。

例如，可以利用这些工具对网络的时间序列数据进行分析，探索网络随时间变化的规律和特征。

同时，可以通过模拟和仿真等方法，研究网络结构在外部环境变化或内部动态调整下的演化过程，从而深入理解复杂网络的发展规律和行为特征。

除了以上介绍的基本内容外，Python中的复杂网络分析还涉及到一些高级主题，如社区发现、信息传播、网络动力学等。

这些主题通常需要结合复杂网络理论、机器学习、统计分析等多个领域的知识，进行综合研究和分析。

Python作为一种灵活且易于使用的编程语言，为跨学科研究提供了便利条件，促进了不同领域之间的交流与合作。

综上所述，Python中的复杂网络分析涵盖了网络结构分析、动态演化研究以及相关高级主题等内容，为深入理解和探索复杂网络提供了强大的工具和平台。

未来随着信息技术的不断发展和学科交叉的加深，Python在复杂网络研究中的应用将会更加广泛和深入，为人们揭示复杂系统的奥秘，推动社会发展和科学进步。

复杂网络及其应用研究随着现代社会的发展，人们对网络的依赖与需求不断增加，网络已成为人们生活、工作交流的重要平台。

同时，网络的规模和复杂性也不断增加，如何有效地管理和利用这个巨大的网络系统成为了一个重要问题。

而复杂网络的研究，为我们理解和解决这个问题提供了重要的思路。

复杂网络是指由大量节点和连接构成的网络，其结构复杂，一般具有高复杂性、自组织性、小世界性、无标度性和群聚性等特点。

复杂网络的研究主要集中在两个方向：一个是网络的结构特性和演化规律，如何描述和模拟网络的形成和演化；另一个方向是网络的功能和应用，如何利用网络实现信息传输、数据处理、社会网络建设等方面的应用。

在网络结构和演化规律方面，研究人员主要关注网络的拓扑结构和相应的性质。

网络的拓扑结构包括节点的度数分布、聚类系数、平均路径长度、连通性等，这些指标反映了网络的规模、密度、稳定性和传输效率等方面的特征。

其中，节点的度数分布和连通性是网络最基本的特性，它们能够影响信息传输和数据处理的速度和效率。

例如，无标度网络中极少数的“超级节点”具有极高的度数，它们承担了网络中大部分的信息传输和数据处理任务，因此这些“超级节点”的性质和演化规律成为了网络研究的重点。

在网络功能和应用方面，研究人员将复杂网络应用于信息传输、社交网络、电子商务等方面。

其中，社交网络是复杂网络应用的重点之一。

社交网络主要针对人与人之间的联系与关系，它是从人们的日常生活中衍生而来的网络形态。

社交网络中的节点可能是人或组织等，它们通过共同的兴趣、爱好、职业等联系在一起，形成复杂的社会网络。

利用社交网络，人们能够快速地发现感兴趣的信息、获得资源和人脉，并建立起可靠的合作伙伴关系。

此外，复杂网络还是电子商务、搜索引擎等方面的核心技术。

例如，在电子商务领域，复杂网络可以帮助人们实现精准的推荐和个性化服务；在搜索引擎领域，复杂网络可以优化搜索结果和搜索引擎算法。

复杂网络在信息传输和数据处理方面有广泛的应用，它们可以提高信息传输的效率和速度，从而对人们的生活和工作产生积极的影响。

复杂网络及其在国内研究进展的综述一、本文概述随着信息技术的飞速发展，复杂网络作为一种描述现实世界中复杂系统的有效工具，正逐渐受到学术界的广泛关注。

复杂网络广泛存在于我们的生活中，包括社交网络、生物网络、互联网、交通网络等，它们以复杂而多样的方式连接着世界的各个角落。

因此，对复杂网络的研究不仅具有理论价值，也具有深远的现实意义。

本文旨在全面综述复杂网络的基本理论、研究方法以及在国内的研究进展。

我们将对复杂网络的基本概念和特性进行介绍，包括网络的拓扑结构、节点间的连接关系、网络的动态演化等。

然后，我们将重点介绍复杂网络研究中的一些重要理论和方法，如网络模型、网络动力学、网络演化、网络同步等。

在此基础上，我们将对国内复杂网络研究的现状进行梳理和评价，包括研究成果、研究热点、存在问题以及未来发展趋势等。

通过对复杂网络及其在国内研究进展的综述，我们希望能够为相关领域的研究者提供一个全面的参考，推动复杂网络研究的深入发展，同时也为我国在该领域的创新研究提供有益的借鉴和启示。

二、复杂网络的基本理论复杂网络，作为一种描述现实世界中各种复杂系统的有力工具，其基本理论涵盖了图论、统计物理、非线性科学等多个学科。

其基本构成元素包括节点（Node）和边（Edge），节点通常代表系统中的个体，而边则代表个体之间的联系或相互作用。

网络中的节点和边的组合方式以及它们所承载的信息，决定了网络的复杂性和多样性。

在复杂网络理论中，有几个核心的概念和度量指标。

首先是网络的度分布（Degree Distribution），它描述了网络中节点连接数的分布情况，对于理解网络的拓扑结构和动力学行为至关重要。

其次是网络的聚类系数（Clustering Coefficient），它反映了网络中节点的聚集程度，即一个节点的邻居节点之间也成为邻居的可能性。

网络的路径长度（Path Length）和介数中心性（Betweenness Centrality）等也是重要的度量指标，它们分别描述了网络中信息传播的效率和节点在网络中的影响力。

复杂网络理论及其应用研究概述一、本文概述随着信息技术的飞速发展，复杂网络理论及其应用研究已成为当今科学研究的热点之一。

复杂网络无处不在，从社交网络到生物网络，从互联网到交通网络，它们构成了我们现代社会的基础架构。

复杂网络理论不仅关注网络的结构和性质，还致力于探索网络的行为和演化规律，以及如何利用网络进行优化和控制。

本文旨在全面概述复杂网络理论的基本概念、主要研究方法及其在各领域的应用实践，以期为读者提供一个清晰、系统的复杂网络研究视角。

在本文中，我们首先介绍复杂网络理论的基本概念，包括网络的定义、分类和性质。

然后，我们将重点介绍复杂网络的主要研究方法，包括网络建模、网络分析、网络演化等。

在此基础上，我们将探讨复杂网络理论在各领域的应用实践，包括社交网络分析、生物网络研究、互联网拓扑结构分析、交通网络优化等。

我们将对复杂网络理论的发展趋势和未来挑战进行展望，以期为读者提供一个全面了解复杂网络理论及其应用研究的框架。

二、复杂网络理论基础知识复杂网络理论作为图论和统计物理学的交叉学科，旨在揭示现实世界中复杂系统的结构和动力学行为。

其理论基础主要源自图论、统计物理、非线性科学以及计算机科学等多个学科。

图论为复杂网络提供了基本的数学语言和描述工具。

在网络中，节点代表系统中的个体，边则代表个体之间的关系或交互。

基于图论，可以定义诸如度、路径、聚类系数、平均路径长度等关键的网络参数，从而量化网络的拓扑结构和性质。

统计物理学的概念和方法为复杂网络提供了深入分析大规模网络结构的工具。

例如，通过引入概率分布来描述网络中的节点度、路径长度等属性，可以揭示网络的全局统计特性。

网络中的相变、自组织临界性等现象也为复杂网络理论带来了新的视角和思考。

非线性科学则为复杂网络的动力学行为提供了理论支撑。

在网络中，节点之间的相互作用和演化往往是非线性的，这导致网络的动力学行为表现出复杂的时空特征。

通过研究网络的稳定性、同步性、演化机制等，可以深入理解复杂系统的动力学行为。

复杂网络结构的分析与优化研究作为人类社会的一个重要组成部分，网络早已被广泛应用于各行各业。

但是，在新时代的发展中，网络的规模和复杂性不断增长，导致网络结构呈现出更加复杂的特征，这就需要对复杂网络结构进行深入分析和优化研究，以满足人类社会的需求。

一、复杂网络结构的分析在复杂网络结构的分析中，最常用的方法是图论分析方法。

图论是研究图结构的一门学科，通常将网络看作是由节点和连接组成的图结构，节点代表一个实体，连接代表实体之间的联系。

在图论的基础上，可以通过各种图论分析方法对复杂网络结构进行深入分析。

例如，在社交网络中，可以利用图论中的中心性指标来分析节点的重要性，以此来确定社交网络中的影响力最大的节点。

中心性指标一般包括度中心性、介数中心性和紧密中心性。

度中心性指的是一个节点与其他节点接触的数量；介数中心性指的是一个节点在社交网络中的影响力，即节点在多少条最短路径上存在；紧密中心性指的是社交网络中距离最短的节点。

这些指标可以帮助我们更好地理解复杂网络结构中的节点重要性。

此外，复杂网络结构的分析还可以涉及到关联网络、演化网络和基于内容的网络等不同类型的网络结构。

对于每种不同类型的网络结构，需要采用不同的图论分析方法和指标来进行分析，以便更好地理解和优化复杂网络结构。

二、复杂网络结构的优化在复杂网络结构的优化研究中，最常用的方法是基于图论分析结果进行的一系列策略性调整。

这些策略性调整可以包括节点的添加和删除、网络连接的调整、网络分割和重组等。

例如，在社交网络中，如果我们希望提高某个节点的影响力，可以采取增加与该节点有关系的节点的方法。

通过增加节点数，社交网络中该节点的影响力也就随之呈现出了增长的趋势。

另外一种对于影响力最大节点的优化方法是删除其他节点以提高该节点的独特性和影响力。

除了节点的添加和删除之外，还可以通过调整节点之间的连接关系来优化网络结构。

例如，在社交网络中，如果我们发现某个节点的影响力很大，但是其与其他节点的连接很少，就需要对该节点进行加强连接的处理以加强其在社交网络中的影响力。

复杂网络研‎究及其意义‎*吴彤近年来，学界关于复‎杂网络的研‎究正方兴未‎艾。

特别是, 国际上有两‎项开创性工‎作掀起了一‎股不小的研‎究复杂网络‎的热潮。

一是199‎8年Watt‎s和Stro‎g atz在‎N a tur‎e杂志上发‎表文章，引入了小世‎界(Small‎-World‎)网络模型，以描述从完‎全规则网络‎到完全随机‎网络的转变‎。

小世界网络‎既具有与规‎则网络类似‎的聚类特性‎,又具有与随‎机网络类似‎的较小的平‎均路径长度‎。

(Watts‎＆ Strog‎a tz,p.440-442)二是199‎9年Bara‎b asi 和Albe‎r t 在Scie‎n ce 上发‎表文章指出‎，许多实际的‎复杂网络的‎连接度分布‎具有幂律形‎式。

由于幂律分‎布没有明显‎的特征长度‎,该类网络又‎被称为无标‎度(Scale‎-Free) 网络。

（Barab‎a si & Alber‎t,p.509-512）而后科学家‎们又研究了‎各种复杂网‎络的各种特‎性。

(Strog‎a tz，p.268-276) 国内学界也‎已经注意到‎了这种趋势‎，并且也开始‎展开研究。

(吴金闪、狄增如,第18-46页）加入复杂网‎络研究的学‎者主要来自‎图论、统计物理学‎、计算机网络‎研究、生态学、社会学以及‎经济学等领‎域，研究所涉及‎的网络主要‎有：生命科学领‎域的各种网‎络（如细胞网络‎、蛋白质－蛋白质作用‎网络、蛋白质折叠‎网络、神经网络、生态网络）、Inter‎n et/WWW网络‎、社会网络，包括流行性‎疾病的传播‎网络、科学家合作‎网络、人类性关系‎网络、语言学网络‎，等等；所使用的主‎要方法是数‎学上的图论‎、物理学中的‎统计物理学‎方法和社会‎网络分析方‎法。

本文首先介‎绍这一研究‎的发展，并在此基础‎上论述这类‎研究的重要‎的科学和哲‎学意义。

一、复杂网络研‎究：小世界、无标度和幂‎律现象在当前的复‎杂网络研究‎中，研究者提出‎的最主要概‎念就是“网络”（netwo‎r ks）。

数学中的复杂网络理论数学中的复杂网络理论是一门研究网络结构和行为的学科，广泛应用于物理学、生物学、信息科学等领域。

本文将介绍复杂网络理论的基本概念、应用以及未来的发展方向。

一、复杂网络理论的基本概念复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。

在复杂网络中，节点代表系统中的个体或元素，边表示节点之间的互连关系。

复杂网络的特点包括节点的数量庞大、节点之间的连接关系复杂以及网络的动态演化过程。

1.1 节点和边的度在复杂网络中，每个节点都有一个度的概念，表示该节点和其他节点之间的连接数量。

节点的度数可以分为入度和出度，入度表示连接到该节点的边的数量，出度表示从该节点出发的边的数量。

节点的度分布是研究复杂网络结构的重要内容之一。

1.2 网络直径和平均最短路径网络直径是指网络中任意两个节点之间最短路径的最大值。

平均最短路径是指网络中所有节点之间最短路径长度的平均值。

网络直径和平均最短路径是评价网络传输效率和信息传播速度的指标。

1.3 节点的聚集系数节点的聚集系数是指该节点的邻居节点之间实际存在的边的数量与可能存在的边的数量之比。

聚集系数反映了节点周围邻居节点之间的紧密程度，用于研究网络中的社交群体、信息扩散等问题。

二、复杂网络理论的应用复杂网络理论在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用领域。

2.1 社交网络社交网络是指由人际关系构成的复杂网络。

通过分析社交网络的结构，可以揭示人们之间的关系、信息传播的规律以及社群结构等。

研究社交网络对理解社会行为、社会学原理以及疾病传播等具有重要意义。

2.2 蛋白质相互作用网络蛋白质相互作用网络是一种描述蛋白质之间相互作用关系的复杂网络。

通过分析蛋白质相互作用网络，可以揭示蛋白质功能、信号传递以及疾病发生机理等。

对于研究蛋白质结构与功能的关系具有重要意义。

2.3 互联网互联网是一个典型的复杂网络，由大量计算机节点和连接它们的边组成。

通过分析互联网的拓扑结构，可以揭示网络中的节点重要性、信息传播规律以及网络攻击与网络安全等问题。

基于复杂网络理论的社会网络分析研究首先，我们来了解一下什么是复杂网络理论。

复杂网络理论是研究网络结构与行为的一门学科，其中涉及到图论、统计物理学、网络科学等多个学科的交叉。

复杂网络理论的一个主要研究对象就是社会网络。

社会网络是指一个社会系统中，个体或组织之间通过各种关系（如友谊、家族、职业等）搭建起来的联系集合。

社会网络的研究可以帮助我们了解社会系统的构成、演化和规律，并可以为社会的发展提供参考和支持。

基于复杂网络理论的社会网络分析研究，可以从以下几个方面进行探讨。

1. 社会网络中节点的度分布在社会网络中，节点的度指的是与该节点直接相连的其他节点的数量。

社交网络中，节点的度可以表示一个人的朋友圈规模。

通过分析社会网络中节点的度分布，我们可以了解到社会网络中有多少节点是“中心节点”，以及节点的连接方式和稳定性等信息。

2. 社会网络中群体的聚集特征社会网络中群体的聚集特征是指节点之间通过不同的关系形成的不同子集之间的联系和区别。

通过社会网络中群体的聚集特征，我们可以研究社区结构、亲密度、隔离度、多样性、流动性等特征，并进一步了解群体在社会网络中的作用和影响。

3. 社会网络的动态演变社会网络是一个动态的系统，它不断地进行连接和剪枝，节点不断地加入和退出网络。

通过对社会网络的动态演变进行研究，我们可以了解社会网络的变化趋势、演化规律、拓扑性质等信息。

4. 社会网络中信息传播和创新社交媒体上的消息传播就是社会网络的一个重要方面。

通过对社会网络中的信息传播和创新进行研究，可以了解到信息流动的路径、速度和影响因素，而且还可以进一步探讨消息在社会网络中的应用和影响。

最后，基于复杂网络理论的社会网络分析是一项具有挑战性和前景的研究领域。

未来研究中，我们应该发挥跨界合作的优势，引入更多领域的知识，不断完善社会网络分析的方法和模型，以更好地服务于理论研究和中心任务的发展。

复杂网络的分析与建模方法研究在当今社会，网络已经成为了信息传递、交流和娱乐的主要手段。

而复杂网络则是由大量节点和边（或链接）组成的复杂结构。

复杂网络具有许多重要的应用领域，例如社交网络、物流网络、金融网络和生物网络等。

因此，对于复杂网络的分析和建模非常重要。

本文将介绍复杂网络的分析与建模方法，并讨论它们的应用及局限性。

一、复杂网络的基本概念复杂网络是指由大量节点和边组成的复杂结构。

其中，节点表示网络中的个体或者物品，边则代表它们之间的联系。

在复杂网络中，节点的度数（即边的数量）可能是非常不均匀的，有些节点连接着大量的其他节点，而有些节点则只有很少的链接。

节点的度分布是衡量复杂网络拓扑性质的重要指标之一。

通常，度分布可以分为幂律分布、指数分布和高斯分布等几种形式。

幂律分布的度分布函数表示为P(k) ~ k^(-γ)，其中γ 是幂律指数。

在复杂网络中，常见的拓扑结构有随机网络、小世界网络和无标度网络。

其中，随机网络指的是节点之间的链接是随机构成的，没有明显的规律。

小世界网络则是指节点之间存在一些局部联系，同时又存在跨越较远节点的长程联系。

最后，无标度网络是指只有少数节点拥有大量链接，而绝大多数节点只有极少的链接。

二、复杂网络的分析方法复杂网络的分析方法可以分为图论方法、统计物理方法和机器学习方法三类。

2.1 图论方法图论方法是指利用网络的基本拓扑结构进行分析。

其中，最基本的方法是度分布分析。

除此之外，还包括小世界性、聚集系数、路径长度等指标。

聚集系数表示网络中节点的密集程度，表示为节点的邻居之间已经连接的边条数除以节点的邻居总数。

在小世界网络中，节点之间存在较多的短路径，即只需要经过几个节点就可以相互联系。

小世界网络具有高聚集性和短路径特性。

2.2 统计物理方法统计物理方法是指利用物理学中的概念和方法对网络进行分析。

其中，最重要的方法是随机矩阵论和Percolation理论。

随机矩阵论是指研究大规模随机矩阵性质的一类数学理论。