n 1 n 1
§ 11-2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数： Un Un 0 ⑴
n 1
显然，部分和数列sn单调增加：s1 s2 Sn . sn
1.收敛准则
定理1正项级数 Un收敛部分数列Sn有界.
n 1
n
例1判别正项级数 亠的收敛性
定理2设 Un和 Vn都是正项级数，且Un V. (n
n 1 n 1
则 Un收敛；反之,
n 1 若 Un发散，则 Vn发散.
n 1 n 1
分析: Vn
n 1 ，贝U Un的部分和
n 1
Sn U1 U2 Un V1 V2 Vn (n 1,2, ),
即Sn有界，由TH1知 Un收敛。反之，设
n 1 Un发散，则
n 1 Vn
n 1 必发散.因为若
Vn收敛，由上面已证结论知 Un也收敛，与假设矛盾 n
1
1
解「 sin 2
22
22
1 1
I 2n
1 1
2 2
Sin2n 1 1 1
2n 2 22 2n
1有上界 级数收敛
1,2,).若 Vn收敛,
n 1 2.比较审敛法 推论 设 Un和 Vn都是正项级数，如果级数 Vn收敛，且存在自然数 N,使
n 1 n 1
kvn (k 0)成立，则级数 un收敛；如果级数 vn发散，且当n N
n 1 n 1
分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.
注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数)
例3判别下列级数的敛散性. 当n N时有Un
时有 un kvn (k 0)成立,则级数 Un发散.
n 1
例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0.
1，当n 则書
n时, 1
丄，但调和级数发散，故级数(2)发散.
n
有
1
np I
n 1np 2dx
x (n np 1 n 2,3,
考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和
sn 1
2卩1 1
3p 1 1 =1 1
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正项级数的收敛性问题研究
作者：曾春花 余英
来源：《科教导刊·电子版》2020年第02期 龙源期刊网 龙源期刊网
摘 要 本文对正项级数的收敛性方法进行了总结，并举例说明了这些方法在解题中的应用。
关键词 正项级数 收敛 发散
数项级数是表示函数的一个形式，也是学习数学分析和高等数学的重要组成部分，而正项级数是数项级数里最基本的级数。对于正项级数敛散性的判别是学习正项级数的的重要内容，判别数项级数的常用方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等，在文献[3，4]中对正项级数的敛散性问题进行了讨论，本文将对正项级数敛散性的判别法进行总结及其比较，并举例说明了这些方法在解题中的应用。
1正项级数收敛性的判别方法
1.1比较判别法
设和都是正项级数 且。 龙源期刊网
若收敛，则收敛;若发散，则发散。
1.2比值审敛法
若正项级数满足，则当时级数收敛;
当（或）时级数发散，当时级数可能收敛也可能发散。
1.3根值审敛法
若正项级数满足，则当时级数收敛;
当（或）时级数发散。当时级数可能收敛也可能发散。
1.4 p-判别法
设为正项级数 满足，则
（1）如果而则级数发散;
（2）如果，而则级数收敛。
1.5积分判别法
设在区间上函数且单调递减。则正项级数与积分共敛散。
1.6拉贝判别法
若为正项级数，且存在某正整数及常数，
（1）如果对一切，成立不等式则级数收敛;
（2）如果对一切，成立不等式，级数发散。
2判别法的应用
极限形式的比较审敛法正项级数 -回复
在数学中，级数是指无穷多个数的无限和。正项级数是指所有项都是非负的级数。极限形式的比较审敛法是一种判断正项级数是否收敛的方法，即通过将待判定级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，来判断待判定级数的收敛性。
比较审敛法分为两种情况：比较判别法和比较审敛法。比较判别法是指根据两个级数之间的大小关系来判断待判定级数的收敛性；比较审敛是指根据两个级数之间的大小关系和知道的级数的收敛性来判断待判定级数的收敛性。
下面我们以极限形式的比较审敛法来讲解正项级数的收敛判别问题：
设我们有两个正项级数an和bn，且lim（n→∞）（an/bn）=c，其中c是一个常数，且0 1. 若c<∞，则当级数bn收敛时，级数an也收敛。 2. 若c=∞，则当级数an发散时，级数bn也发散。 在这个算法中，我们比较的是级数an和级数bn之间的大小关系以及知道的级数bn的收敛性。如果级数bn收敛，那么an/bn就趋向于零，因此级数an也收敛；如果级数an发散，那么an/bn就趋向于无穷大，因此级数bn也发散。 比较审敛法的优点就在于，只需找一个已知收敛或发散的级数进行比较，就可以判断出待判定级数的收敛性，同时还具有较高的实用性。当然，在使用比较审敛法时，需要注意选择合适的级数进行比较，确保比较结果的可靠性。 需要强调的是，比较审敛法仅适用于正项级数的收敛判别问题，对于其他类型的级数，需要使用其他方法进行判别。
授课：XXX
正项级数敛散性的判别方法
摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。
关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用
1引言
数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J（1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法
2.1判别敛散性的简单方法
由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nnu收敛0,,,,NNnNpN有12nnnpuuu。取特殊的1p，可得推论：若级数1nnu收敛，则lim0nnu。
2.2比较判别法
定理一（比较判别法的极限形式）：
设1nnu和1nnv为两个正项级数，且有limnnnulv，于是
（1）若0l，则1nnu与1nnv同时收敛或同时发散。
