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高中物理中的极值问题及求解方法

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高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。

一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。

解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

一小物快以速度 v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。

对应的轨道半径为（重力加速度大小为g ）( )A ．216v gB ．28v gC ．24v g D.22v g解：物体由最低点到最高点有机械能守恒：22111222mv mgr mv =+ （1） 由平抛运动规律：1x v t = （2） 2122r gt = （3）（1）（2）（3）联立得22416v x r r g=- 因为a=-16<0所以x 有最大值的条件为：22422(16)8b v v r a g g=-=-=⨯-时x 最大故B 对。

2.判别式法：利用一元二次方程式和不等式判别式的性质求极值根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠；当在实数范围内有解时，其判别式为240b ac ∆=-≥① 当在实数范围内无解时，其判别式为240b ac ∆=-<②根据一元二次方程不等式20(0)ax bx c a ++≥≠，当x 取任何实数时均能成立，其判别式为240b ac ∆=-≤③利用这三个判别式，可以极为方便求a 、b 和c 的极值。

例3.(2008四川) 如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。

整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。

一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ’。

球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（02πθ＜＜）为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率。

解：小球受力如图：洛仑兹力：F qvB = ①,竖直方向：cos 0N mg θ-=②，水平方向：2sin v F N m rθ-=③轨道半径：sin r R θ=④ 。

① ③④联立解得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+= ⑤ 由判别式22sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥解得2cos m g B q R θ≥， min 2cos m g B q R θ=，min sin 2qB R v m θ=3.利用定和求积与定积求和原理求极值不等式有一个重要的定理：两个（或n 个）正数的算术平均值总是大于或等于几何平均值，即1()2a b ab +≥，利用这个定理，可以得出两个极为重要的推论。

（1）定和求积原理——如果两个正数之和常数K ，则两个数相等时其积最大，即当a b k += 且2K a b ==时，其积最大为2max ()()2kab = ① (2)定积求和原理——如果两个正数之积为常数K ，则两个数相等时其和最小，即当ab k = 且a b k ==时，其和最小为min ()2a b K += ②利用这两个原理，可极为简捷地求物理量的最大值和最小值。

例4.如图所示，将质量为M 的木块，分成质量为m 1和m 2两部分，并用细线连接；置于光滑水平面上，m 2通过定滑轮竖直悬挂，试分析应该将M 怎样分割，才能使系统在加速运动过程中绳中的拉力最大？拉力最大值是多少？解析：对m 1有：1T m a = ① 对m 2有：22m g T m a -= ②① ②联立得212m a g m m =+ ③， 1212m m T g m m =+ ④ 因为12m m M += ,当12m m M +=1212m m M == 时其积最大，所以拉力最大值为2max1()124M T Mg M ==例5.(2012全国大纲卷) 探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。

此队员从山沟的竖直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。

如图所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy 。

已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为22x y h= ，探险队员的质量为m 。

人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。

(1)求此人落到坡面的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 解：(1)由平抛运动规律：0x v t = ①，2122y h gt =- ②，①② 联立得22022g y h x v =-③ 由题意22x y h = ④，③④联立解得220204h v x v gh =+ ⑤，③⑤联立得 20202hv y v gh =+ ⑥根据机械能守恒定律：20122k mg h mv mgy E ⋅+=+⑦ 解得; 222020122k mg h E mv v gh=++(2)由a b ab +≥ 知：2222220022001211213()2()22222k mg h mg h E m v gh mgh m v gh mgh mgh v gh v gh =++-≥+⋅-=++当0v gh =，min 32K E mgh =。

4、利用三角函数性质求极值如果物理量的变化规律，可以表示成三角函数sin y θ=和cos y θ=，根据正弦或者余弦函数的绝对值在0~1之间变化的性质，可以极为简捷地求出物理量的最大值和最小值。

（1） 当θ=10时：sin 0θ=时——最小，cos 1θ=——最大 （2） 当θ=900时：sin 1θ=时——最大，cos 0θ=——最小（3） 当三角函数的形式为sin cos y a b θθ=+时利用等效变化的方式，可以将上转化为222222(sin cos )y a b a ba bθθ=++++ 若令22cos a bϕ=+，22sin a bϕ=+则tan b aϕ=① 2222(sin cos cos sin )sin()y a b a b θϕθϕθϕ=++=++当90θϕ+=o ，y 有最大值为22max y a b =+ ② ，当0θϕ+=o ，y 有最小值min 0y = ③另外，为了将三角函数化为sin y θ=和cos y θ=形式，还常用到下列关系：cos cos sin sin cos()y αθαθαθ==±m2sin cos sin2y θαθ== 2sin 1tan y θθ==+ 2cos 1cot y θθ==+例6、如图3在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。

试分析和解：在屋顶宽度（2L ）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？（不计一切摩擦阻力）解析：设屋顶倾角为α，根据雨滴做初速度为零的匀加速运动规律212h at =则雨滴下落时间可表示为22/cos 4sin sin 2s L Lt a g g ααα===可以看出：当sin21α=即290α=o 时，时间最短，所以45α=o 时间最短，得min 2Lt g=。

例7.如图所示。

一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?[解析]：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，速度为V ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：21cos 2mV mgR θ=,2cos V N mg mRθ-= 解得小球对小车的压力为：3N mgcos θ=，其水平分量为：33sin 22x N mgsin cos mg θθθ== 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：3sin 22x f N mg θ==可以看出：当21sin θ=,即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：32max f mg = 例8、(2003上海）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。

支架的两直角边长度分别为2l 和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。

开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，求A 球的最大速度？ 解：设OA 边与水平方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律22112sin 2(1cos )22A B mg l mgl mv mv θθ--=+ ① 由角速度ω相等得：2A B v v = ② 解得：88(sin cos )33A v gl gl θθ=+- ③ 由22sin cos y a b a b θθ=+≤+，可知45θ=o 时8(21)3Am v gl =- ④ 例9.物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？分析：该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。

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数学知识与物理极值问题

数学知识与物理极值问题

数学知识与物理极值问题河南省宜阳一高（471600） 王胜利物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是中学物理教学中的常见问题，因其涉及的知识面广，综合性强，具有很强的考查功能，是高考命题的热点之一。

加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为中学物理教学的难点。

一、运用二次函数求极值1．利用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数c bx ax y ++=2,若0>a ,则当a b x 2-=时,y 有极小值，为ab ac y 442min -=；若0<a ,则当a b x 2-=时,y 有极大值，为ab ac y 442max -=；例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。

恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。

汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间t 后，自行车做匀速运动，其位移为Vt S =1， 汽车做匀加速运动，其位移为：2221at S = 两车相距为：222123621t t at Vt S S S -=-=-=∆ 这是一个关于t 的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS 有最大值。

当有最大值时S ，s a b t ∆=-⨯-=-=)(2)2/3(262 )(6)2/3(4604422m ab ac S m =-⨯-=-=∆2．利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数c bx ax y ++=2，可变形为一元二次方程02=-++y c bx ax 用判别式法0)(4422≥--=-=∆y c a b ac b 即：aac b y 442-≤则由不等式可知y 的极值为：aac b 442-对于例题1，我们可以转化为二次方程求解。

将221236t t S S S -=-=∆ 可转化为一元二次方程：021232=∆-+-S t t 要使方程有解，必使判别式0)2()3(412422≥∆-⨯-⨯-=-=∆S ac b 解不等式得：6≤∆S ，即最大值为6m 3．利用配方法求极值对于二次函数c bx ax y ++=2，函数解析式经配方可变为ab ac a bx a y 44)2(22-++= (1) 若a>0时，当a b x 2-=时，y 有极小值为a b ac y m 442-=(2) 若a<0时，当a bx 2-=时，y 有极大值为ab ac y m 442-=对于例题1还可用配方法求解。

高考物理中数学方法

高考物理中数学方法

处理物理问题的数学方法一、极值法1、 利用二次函数求极值：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a(其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)．2、 利用三角函数求极值：y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋ba 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝ba 2＋b 2则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)3、 利用均值不等式求极值：对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24例题：[2013山东理综 22（15分）]如图所示，一质量m =0.4kg 的小物块，以v 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某的角度的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t =2s 的时间物块由A 点运动到B 点，AB 两点间的距离L ＝10m.已知斜面倾角30=θ，物块与斜面之间的动摩擦因数33=μ，重力加速度g 取10m/s 2. （1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。

（2）拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 答：（1）物块加速度的大小为3m/s 2，到达B 点的速度为8m/s ； （2）拉力F 与斜面的夹角30°时，拉力F 最小，最小值是N 53 13=F min解析：（1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：221at L =①， v=at ②联立解得； a=3m/s 2，v=8m/s （2）对物体受力分析 根据牛顿第二定律，有：水平方向：Fcosα-mgsinα-F f =ma 竖直方向：Fsinα+F N -mgcosα=0 其中：F f =μF N 联立解得：α)+sin(60 3 32ma +μcosα)+mg(sin α= sin cos ma +μcosα)+mg(sin α=F ︒+αμα故当α=30°时，拉力F 有最小值，为N 53 13=F min ； 二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上常见的几何关系：1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图1所示．图1由勾股定理得：R 2＝(R －CE )2＋EB 2解得：R ＝EB 22CE ＋CE2．例题：[2014山东理综 24（20分）]如图-2甲所示，间距为、垂直于纸面的两平行板间存在匀强磁场。

例析高中物理极值问题的求解方法

例析高中物理极值问题的求解方法

例 析 高 中物 理 极值 问题 的求解 方 法
■ 周 宏 建
求极 值 问题 不止 在数 学 中出现 ， 在 物 ＋ ｑ的 小 球 ， 用 长
理 解 题 中 也 经 常 出 现 。 物 理 极 值 问 题 是 指
某 一 物 理 过 程 中 物 理 量 出 现 的 最 大 值 或 最 小值 。
一 ．
为 Ｌ 的 细 线 悬 挂

＼
球 使 细 线 水 平 并
矢 － 豳 法 伸 盲 。然 后 自 由 释 ，
高 中物理 中 ， 许 多物理 量 是矢 量 ， 求 矢 量
的最值 时 ， 矢 量 图 法 是 经 常 使 用 的 方 法 。 根 据平 行 四边 形 法 则 、 三 角 形 法 则 作 出 合 成 矢 量图， 结 合 题 目条 件 加 以 分 析 ， 解 决 极 值 问 题 就会 极为 简 洁方便 。 例 １ 一条 大河 宽 Ｌ一３ ０ ０ ｍ， 水 流 速 度 一３ ｍ／ ｓ ， 计 算 下
熟 练 掌 握 各 种 求 极 值 的 方 法 是 解 好 极 值
问题 的基 础 ， 选择合 适 的求 极值 方 法 ， 可 以 化 难 为易 ， 达 到 事 半 功 倍 的 效 果 。 并 且 将 数 学 思 想运 用 到物 理 中求 极 值 ， 不 但 有 助 于 学 生 提 高解 题能 力 ， 更 是扩 展 了学 生 的解 题 思维 ， 让 学 生能够 活学 活用 ， 融会 贯通 。 作者 单位 ： 江 苏 省 江 安 高 级 中 学
＝ ＝ ＝ １ ｍ／ ｓ ， 小 船 的速度
列情况 的渡河 时 间： （ １ ）以 最 短 时 间 渡 河 ；
（ ２ ） 以最 小 位 移 渡 河 ； （ ３ ）到 达 正 对 岸 上 游
专题极值法-高中物理八大解题方法含解析

专题极值法-高中物理八大解题方法含解析

高中物理解题方法之极值法高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当ab x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+vm v m v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。