高中物理：极值法知识点

高中物理-动力学中的临界和极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点．2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态．3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点．4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度． 一、接触与分离的临界条件物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化．质量为m 、半径为R 的小球用长度也为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( )A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3gB ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为33gC ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mgD ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ，小球与车顶接触的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离开车厢顶部，D 项错误．[答案] C二、绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0.如图所示，小车内固定一个倾角为θ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则：(1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？(2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？[解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力，则得到F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0a 0＝g tan θ＝403m/s 2.(1)a 1＝5 m/s 2<a 0，这时小球没有脱离斜面，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得 F cos θ－F N sin θ＝ma 1 F sin θ＋F N cos θ－mg ＝0 解得F ＝20 N ，F N ＝10 N.(2)a2＝20 m/s2>a0，这时小球脱离斜面，设此时细线与水平方向之间的夹角为α，对小球受力分析如图丙所示，由牛顿第二定律得F cos α＝ma2F sin α＝mg两式平方后相加得F2＝(ma2)2＋(mg)2解得F＝(ma2)2＋(mg)2＝20 5 N.[答案](1)20 N(2)20 5 N三、相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值，并且还要考虑摩擦力方向的多样性．(多选)如图所示，小车内有一质量为m的物块，一轻质弹簧两端与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，形变量为x，物块和小车之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动过程中，物块和小车始终保持相对静止，则下列说法正确的是()A．若μmg小于kx，则小车的加速度方向一定向左B．若μmg小于kx，则小车的加速度最小值为a＝kx－μmgm，且小车只能向左加速运动C．若μmg大于kx，则小车的加速度方向可以向左也可以向右D．若μmg大于kx，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为kx－μmgm[解析]若μmg小于kx，而弹簧又处于压缩状态，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力水平向左，即小车的加速度一定向左，A对；由牛顿第二定律得kx－F f＝ma，当F f＝μmg时，加速度方向向左且最小值为a min＝kx－μmgm，随着加速度的增加，F f减小到零后又反向增大，当再次出现F f＝μmg时，加速度方向向左达最大值a max ＝kx＋μmgm，但小车可向左加速，也可向右减速，B错；若μmg大于kx，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力(即加速度)可能水平向左，也可能水平向右，即小车的加速度方向可以向左也可以向右，C对；当物块的合外力水平向右时，加速度的最大值为μmg－kxm，物块的合外力水平向左时，加速度的最大值为μmg＋kxm，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为0，D错．[答案]AC四、加速度或速度最大的临界条件当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．(多选)(2016·潍坊模拟)如图所示，一个质量为m 的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个水平向右的恒力F ，使圆环由静止开始运动，同时对环施加一个竖直向上、大小随速度变化的作用力F 1＝kv ，其中k 为常数，则圆环运动过程中( )A ．最大加速度为FmB ．最大加速度为F ＋μmgmC ．最大速度为F ＋μmgμkD ．最大速度为mgk[解析] 当F 1<mg 时，由牛顿第二定律得F －μ(mg －kv )＝ma ，当v ＝mg k 时，圆环的加速度最大，即a max ＝Fm ，选项A 正确，B 错误；圆环速度逐渐增大，F 1＝kv >mg ，由牛顿第二定律得F －μ(kv －mg )＝ma ，当a ＝0时，圆环的速度最大，即v max ＝F ＋μmgμk，选项C 正确，D 错误． [答案] AC五、数学推导中的极值问题将物理过程通过数学公式表达出来，根据数学表达式解出临界条件，通常用到三角函数关系．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2. (1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得： L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为： F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N 六、滑块一滑板模型中的临界问题在滑块—滑板模型中，若两者一起运动时优先考虑“被动”的“弱势”物体，该物体通常具有最大加速度，该加速度也为系统一起运动的最大加速度，否则两者将发生相对运动．(2016·湖北荆州模拟)物体A 的质量m 1＝1 kg ，静止在光滑水平面上的木板B 的质量为m 2＝0.5 kg 、长l ＝1 m ，某时刻A 以v 0＝4 m/s 的初速度滑上木板B 的上表面，为使A不至于从B 上滑落，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力F ，若A 与B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，试求拉力F 应满足的条件．(忽略物体A 的大小)[解析] 物体A 滑上木板B 以后，做匀减速运动， 加速度a A ＝μg ①木板B 做加速运动，有F ＋μm 1g ＝m 2a B ②物体A 不滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度v t ，则v 20－v 2t 2a A ＝v 2t2a B＋l ③ 且v 0－v t a A ＝v ta B④ 由③④式，可得a B ＝v 202l－a A ＝6 m/s 2，代入②式得F ＝m 2a B －μm 1g ＝0.5×6 N －0.2×1×10 N ＝1 N ，若F ＜1 N ，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从B 上滑落，所以F 必须大于等于1 N. 当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才能不会从B的左端滑落．即有：F ＝(m 1＋m 2)a ， μm 1g ＝m 1a ，所以F ＝3 N ，若F 大于3 N ，A 就会相对B 向左端滑下． 综上，力F 应满足的条件是1 N ≤F ≤3 N. [答案] 1 N ≤F ≤3 N1．(2016·西安质检)如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验．若砝码和纸板的质量分别为2m和m，各接触面间的动摩擦因数均为μ.重力加速度为g.要使纸板相对砝码运动，所需拉力的大小至少应大于()A．3μmg B．4μmg C．5μmg D．6μmg解析：选D.纸板相对砝码恰好运动时，对纸板和砝码构成的系统，由牛顿第二定律可得：F－μ(2m＋m)g＝(2m ＋m)a，对砝码，由牛顿第二定律可得：2μmg＝2ma，联立可得：F＝6μmg，选项D正确．2．(多选)(2016·湖北黄冈模拟)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(g＝10 m/s2)，下列结论正确的是()A．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态B．弹簧的劲度系数为750 N/mC．物体的质量为2 kgD．物体的加速度大小为5 m/s2解析：选ACD.物体与弹簧分离时，弹簧的弹力为零，轻弹簧无形变，所以选项A正确；从题图乙中可知ma ＝10 N，ma＝30 N－mg，解得物体的质量为m＝2 kg，物体的加速度大小为a＝5 m/s2，所以选项C、D正确；弹簧的劲度系数k＝mgx0＝200.04N/m＝500 N/m，所以选项B错误．3．(多选)如图所示，质量均为m的A、B两物块置于光滑水平地面上，A、B接触面光滑，倾角为θ，现分别以水平恒力F作用于A物块上，保持A、B相对静止共同运动，则下列说法中正确的是()A．采用甲方式比采用乙方式的最大加速度大B．两种情况下获取的最大加速度相同C．两种情况下所加的最大推力相同D．采用乙方式可用的最大推力大于甲方式的最大推力解析：选BC.甲方式中，F最大时，A刚要离开地面，A受力如图丙所示，则F N1cos θ＝mg①对B：F′N1sin θ＝ma1②由牛顿第三定律可知F′N1＝F N1③乙方式中，F 最大时，B 刚要离开地面，B 受力如图丁所示，则F N2cos θ＝mg ④ F N2sin θ＝ma 2⑤由①③④可知F N2＝F N1＝F N1′⑥由②⑤⑥式可得a 2＝a 1，对整体易知F 2＝F 1， 故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．4.如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，B 、C 间绳子所能达到的最大拉力是( )A.12μmg B ．μmg C ．2μmg D ．3μmg 解析：选B.因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC ＝m C a 才能最大．这时，A 、B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2μmg ，对B 、C 整体来讲：F AB ＝2μmg ＝(m B ＋m C )a ＝2ma ，a ＝μg ，所以F BC ＝m C a ＝μmg ，选项B 正确．5.如图所示，用细线将质量为m 的氢气球拴在车厢地板上的A 点，此时细线与水平方向成θ＝37°角，气球与固定在水平车顶上的压力传感器接触，小车静止时，细线恰好伸直但无弹力，压力传感器的示数为气球重力的12.重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8.现要保持细线方向不变而传感器示数为零，下列方法中可行的是( )A ．小车向右加速运动，加速度大小为12gB ．小车向左加速运动，加速度大小为12gC ．小车向右减速运动，加速度大小为23gD ．小车向左减速运动，加速度大小为23g解析：选C.小车静止时细线无弹力，气球受到重力mg 、空气浮力f 和车顶压力F N ，由平衡条件得f ＝mg ＋F N ＝32mg ，即浮力与重力的合力为12mg ，方向向上．要使传感器示数为零，则细线有拉力F T ，气球受力如图甲所示，由图乙可得12mg ma ＝tan 37°，小车加速度大小为a ＝23g ，方向向左．故小车可以向左做加速运动，也可以向右做减速运动，C 选项正确．6.如图所示，质量为m ＝1 kg 的物体，放在倾角θ＝37°的斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝9.8 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.要使物体与斜面相对静止且一起沿水平方向向左做加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑动时，受力分析如图甲所示 F N1sin 37°－F f1cos 37°＝ma 1F f1sin 37°＋F N1cos 37°＝mg F f1＝μF N1解得a 1＝3.6 m/s 2当物体恰不向上滑动时，受力分析如图乙所示F N2sin 37°＋F f2cos 37°＝ma2F N2cos 37°＝mg＋F f2sin 37°F f2＝μF N2解得a2＝13.3 m/s2因此加速度的取值范围为3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2.答案：3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2。

高中物理中求极值问题的数学技巧作者：陈宇鹏来源：《山东青年》2017年第07期摘要：在高中物理知识学习过程中，我们要注重物理学科与数学学科之间的关联性，将数学学科知识在物理学科中应用，可以对一些问题进行有效的求解，帮助我们对物理问题进行更加深入的分析。

文章从高中物理极值问题求解入手，将数学技巧进行利用，实现对问题的有效解析。

关键词：高中物理；极值；数学技巧高中物理知识具有一定的整体性和复杂性特征，在学习过程中，我们需要勤学苦练，多动脑、多动手，才能够学好物理。

我在做物理极值题的时候，注重对数学技巧进行把握，将数学中的二次函数法、均值不等式法、三角函数法、配方法等数学技巧进行利用，很好地解决了物理极值求解问题。

高中物理极值知识的解决，需要我们发散思路，能够从多个角度去分析，寻找最有效、最快捷的方法，这样一来，可以更好地提升我们的物理成绩。

1 二次函数法求高中物理极值高中物理中求极值问题时，二次函数法可以很好地对问题进行解析。

在对二次函数法应用时，要对二次函数法的基本原理弄清，把握二次函数的基本关系式。

二次函数的基本关系式为：y=ax＼+2+bx+c（a≠0）结合二次函数式的原理，当a>0的时候，x=＼S]b[]2a＼s，这个时候，y可获得最小值；当a>0时，x=-＼S]b[]2a＼s，y可获得最大值。

结合二次函数法，将其在物理题中应用，我们可以从下面的例题解析中看出：例1：假设一辆送货车在等候绿灯，当绿灯亮的时候，这两货车行进的加速度为3m/s2，而正在这个时候，一辆电动车以6m/s的速度驶来，试问货车与电动车的距离，并对距离求解。

从例1来看，在对货车和电动车之间的距离求解过程中，要考虑到两车的出发情况，这一过程中，要注重对s的最大值进行求解。

S=s2-s1。

假设在t时间后，电动车的匀速位移s1=vt，货车的加速位移为s2=1/2at2，货车与自行车的距离s=vt-1/2at2=6t-3/2t2，结合货车与自行车的距离来看，实际上是对Δs这个二次函数的最大值进行求解，则Δs=＼S]4ac-b2[]4a＼s=6m。

当加 速 度 ａＯ ， 度 达 到最 大． ＝时 速
￣ ｐ（ ｑ ｍ ） Ｅ ． ： Ｉ， ｖ－ ｇ ＝ ｑ得 ｖ＝ Ｂ
极值等． 例 １空 间 存 在 充 分 大 的 正 交 的 水 平 匀 强 电 场 （ 强 为Ｅ） ． 场 和 匀 强 磁 场 （ 度 为Ｂ）足 够 长 的绝 缘 直 杆 水 平 放 置 ， 电 场 强 ， 与 平行 ， 图 ｌ 示 ， 带 正 电 的 圆环 （ 量 为Ｉ， 如 所 一 质 ｎ 电量 为 ｑ 套 在 杆 ）
一
ｍｇ 一￣（ Ｅ ｑ Ｂ） ｑ ＋ｖ
当ｖ ０ ， ★ — ｇ — Ｅ＝ ＝ 时 ＝ｍ － ｑ ｇ ￣
一
；
图１
图２
图３
分析 与 解 ： 环 由 静 止运 动后 ， 变加 速 运 动 ． 力 如 图２ 小 做 受 所示 ， 理 关 系 可表 示 为 ： 物
当ａ ０ ， ： 堕 ：时 ｖ —
场 ， 感 应 强 度 为 Ｂ， 导 轨 的Ａ 端 连 接 一 磁 在 ｃ 个 阻值 为Ｒ的 电阻 ， 根 质 量 为 ｍ、 直 于 导 一 垂 轨 放 置 的金 属棒 ａ ， 静 止 开始 沿导 轨 下 滑 ， 此 过程 中ａ 棒 ｂ从 求 ｂ 的最大速度． 已知 ａ 与 导 轨 间 的 动 摩 擦 因 数 为 ， 轨 和 金 属 ｂ 导 棒 的 电阻 不 计 ．
知识包括 ： ①定积求和 、 定和求积 ； 一元 二次方程 ； ② ③三角 函
数， 等． 等 例 ３如 图所 示 ， 在 很 长 的 绝 缘 直 棒 上 的 小 球 ， 质 量 ． 套 其 为 Ｉ， 电 量 为 ＋ 小 球 可 在 棒 上 滑 动 ， 此 棒 竖 直 放 在 互 Ｔ带 Ｉ ｑ， 将 相 垂 直 ， 沿 水 平 方 向 的 匀 强 电 场 和 匀 强 磁 场 中 ， 场 强 且 电 度 为 Ｅ， 感 应 强 度 为 Ｂ 小 球 与 棒 的 动 摩 擦 因 数 为 ， 小 磁 ， 求 球 由静 止 沿 棒 下 落 的 最 大 加 速 度 和 最 大 速 度 ？ （ 小 球 电 设

2024年高中物理：利用矢量作图法解力学中的极值问题下面用矢量作图法来求解物理量的极值问题。

一、判断绳上拉力的极值例1. 三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图1，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐渐增大C端所挂物体的质量，则最先断的细绳是（）A. 必定是OAB. 必定是OBC. 必定是OCD. 可能是OB，也可能是OC图1解析：对O点进行受力分析，O点受到三根绳的拉力分别是，如图1-1所示，由于O点静止，则三力矢量和为零，即其中任意二力的合力与第三个力等值反向。

作出力合成矢量图，由直角三角形的边角关系可知，绳OA上实际拉力最大，故当C端所挂物体的质量逐渐增大过程中，三段绳上拉力虽然都增大，但绳OA上实际拉力最先达最大承受力，必定先断，其他两根绳实际拉力均未达最大承受力则不断，所以答案A正确。

图1-1点评：通过力的矢量图中边长的长短即可判断出三根绳上实际拉力的大小关系，在都增大的过程中，最长边表示的拉力先达极值。

二、求解最大重量例2. 用细绳AO、BO悬挂重物，BO水平，AO与竖直线成45°，如图2所示。

AO、BO所能承受的最大拉力均为10N，OC 能承受足够大的拉力，为使细线不被拉断，则所挂重物的最大重量是多少？图2解析：O点受三根细线的拉力分别为，作出矢量合成图如图2-1，由于O点静止，与的合力R必与等值反向，即，由直角三角形边长关系可知，故应选满足AO细绳上实际拉力取最大值，即，而OB细线上实际拉力则小于10N，此时所挂重物的重量达最大，则最大重量为所求。

图2-1点评：由力矢量图可知，二根细线拉力不能同时达最大，只能满足较大的拉力达极值，而另一根细线拉力则小于极值，再来求解最大重量。

三、求解最小外力例3. 如图3，在水平面上放有质量为m，与地面动摩擦因数为的物体，现用力F拉物体使其沿地面匀速前进，求F的最小值及方向。

图3解析：物体m受重力mg，地面支持力、动摩擦力及拉力F （方向未知）。

答案：BC
拓展2 平衡状态下的临界与极值问题 【归纳】 1．平衡中的极值问题 (1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及 力的最大值和最小值的问题． (2)分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学 知识求极值或者根据物体临界条件求极值． ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形 或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．
答案：D
例 3 [2023·陕西安康高一上期末](多选)光滑半圆弧形轻杆固定在地 面上，轻绳一端跨过定滑轮，另一端连接一穿在轻杆上的小球，拉动 轻绳，使小球从A点缓慢运动到B点的过程中，下列说法正确的是 ()
A．轻杆对小球的支持力变小 B．轻杆对小球的支持力不变 C．轻绳对小球的拉力变小 D．轻绳对小球的拉力先变小再变大
例 2 如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，在斜面上 有一光滑且不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使挡板与 斜面的夹角β缓慢增大，在此过程中，斜面对球的支持力FN1和挡板对 球的压力FN2的变化情况为( )
A．FN1、FN2都是先减小后增大 B．FN1一直减小，FN2先增大后减小 C．FN1先减小后增大，FN2一直减小 D．FN1一直减小，FN2先减小后增大
3．分析动态平衡问题的方法
方法
步骤
解析法
(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法
(1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化； (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法
(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间 几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式； (2)确定未知量大小的变化情况

微专题4平衡中的临界极值问题1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．1．如图所示，两质量均为M＝10kg的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量m＝1kg，现用一竖直向上的力F拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是()A．力F的大小为80NB．力F的大小为90NC．轻绳对甲物体的拉力大小为60ND．轻绳对甲物体的拉力大小为80N答案B解析对甲、乙两物体分别受力分析，由平衡可知μ(Mg－F T sin53°)＝F T cos53°，解得绳子的拉力F T＝50N，则对滑轮受力分析可知F＝2F T sin53°＋mg＝90N，故选B.2．如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的．往两人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是()A．甲中绳子先断B．甲、乙中绳子同时断C．乙中绳子先断D．不确定答案C解析人的重力和两根绳子拉力的合力等值反向，合力一定，两分力夹角越大，分力越大，所以夹角越大，绳子拉力越大．则乙中绳子容易断，A 、B 、D 错误，C 正确．3．(多选)如图所示，一个重为5N 的大砝码用细线悬挂在O 点，在力F 作用下处于静止状态，现不断调整力F 的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是()A ．调整力F 的方向的过程中，力F 最小值为2.5NB ．力F 在竖直方向时，力F 最小C ．力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小D ．当力F 处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F 大小相等答案ACD 解析对砝码受力分析如图所示根据平行四边形定则，可知当F 的方向与另一侧细线垂直时，力F 最小，最小值为F min ＝G sin 30°＝2.5N ，故A 正确，B 错误；当力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力F T ＝0最小，故C 正确；当力F 处于水平方向时，力F 与细线拉力F T 的合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg tan 30°＝33mg .当力F 处于斜向右上与水平方向夹角为60°时，此时F 、细线拉力F T 与竖直方向的夹角相等，则两力大小相等，合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg 2cos 30°＝33mg ，故D 正确．4.如图所示，足够长的光滑平板AP 与BP 用铰链连接，平板AP 与水平面成53°角并固定不动，平板BP 可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m 的均匀圆柱体O 放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g .在使BP 板由水平位置逆时针缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是()A ．平板BP 受到的最小压力为0.8mgB．平板BP受到的最小压力为0C．平板AP受到的最小压力为0.6mgD．平板AP受到的最大压力为1.25mg答案A解析圆柱体受重力，平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F，如图：圆柱体一直处于平衡状态，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1与F2的合力F与重力等值、反向、共线；从图中可以看出，BP板由水平位置逆时针缓慢转动过程中，F1越来越大，F2先减小后增大；由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值F2min＝45mg，根据牛顿第三定律，平板BP受到的最小压力为45mg，故A正确，B错误；当平板BP沿水平方向时，平板AP对圆柱体的弹力F1＝0，即平板AP受到的最小压力为0，故C错误．由图可知，当BP转到竖直方向时，AP对圆柱体的弹力F1最大F1max＝mgcos53°＝53mg，根据牛顿第三定律知，平板AP受到的最大压力为53mg，故D错误．5．(2022·湖南长郡中学高三月考)固定斜面上的物体A用跨过滑轮的细线与小砂桶相连，连接A的细线与斜面平行，不计细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A在斜面上保持静止，砂桶中砂的质量有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为m1和m2(m2＞0)，重力加速度为g，由此可求出()A．物体A的质量B．斜面的倾角C．物体A与斜面间的动摩擦因数D．物体A与斜面间的最大静摩擦力答案D解析设物体A的质量为M，砂桶的质量为m0，物体与斜面间的最大静摩擦力为F fm，斜面倾角为θ，由平衡条件可得物体A将要上滑时，有m0g＋m1g＝Mg sinθ＋F fm.物体A将要下滑时，有m 0g ＋m 2g ＝Mg sin θ－F fm ，可得F fm ＝m 1g －m 2g 2，即能求解物体A 与斜面间的最大静摩擦力，不能求出其他的物理量，则A 、B 、C 错误，D 正确．6．三角形具有稳定性，生活中随处可见利用三角形支架固定的物体．浴室里洗手盆下的支架、空调外挂机的支架、手机支架等如图甲所示．现有一个悬挂物体的支架，如图乙所示，倾斜支撑杆a 端用铰链固定在墙上，且Oa 杆不可伸长，拉杆bO 左端可上下移动和旋转并且可伸缩以便调节拉杆的长度，轻绳一端固定在O 点，另一端悬挂重物．已知初始时bO 杆水平，aO 杆与竖直方向成60°角，悬挂物质量为m ，重力加速度为g .(1)初始状态下，aO 、bO 杆的作用力大小分别为多少？(2)保持O 点不动，调节拉杆的长度同时左端向上移动到某点c 后固定，可使拉杆上的作用力最小，此时cO 与竖直墙面的夹角为多少？此时aO 、cO 的作用力大小分别为多少？答案(1)2mg 3mg (2)30°12mg 32mg 解析(1)对O 点受力分析如图a 所示，可得F a cos 60°＝mg ，F a sin 60°＝F b ，联立可得F a ＝2mg ，F b ＝3mg(2)重力大小方向不变，aO 方向不变，分析可知，当cO 与aO 垂直时，cO 上的拉力最小，如图b 所示，由几何关系可得此时cO 与竖直墙面的夹角为30°，受力分析如图所示，可得可得F a ′＝12mg ，F c ＝32mg .7．筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一．筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”．如图所示，用筷子夹质量为m 的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .为使小球静止，求每根筷子对小球的压力F N 的取值范围．答案mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ)解析筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示．有2F N sin θ＋2F f cos θ＝mg ，F f ＝μF N ，联立解得F N ＝mg 2(sin θ＋μcos θ)，筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示．有2F N ′sin θ＝mg ＋2F f ′cos θ，F f ′＝μF N ′，联立解得F N ′＝mg 2(sin θ－μcos θ)，综上可得，筷子对小球的压力的取值范围为mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ).8.如图，倾角为α＝37°的粗糙斜劈固定在水平面上，质量为5kg 的物体a 放在斜面上且与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.一根平行于斜面的不可伸长的轻质细线一端固定在物体a 上，另一端绕过两个光滑小滑轮固定在c 处，滑轮2下吊有一物体b 且β＝74°，物体a 受到斜劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：保证系统静止时，b 的质量范围．答案1.6kg ≤m b ≤8kg 解析a 刚要下滑时b 的质量最小，a 受到沿斜面向上的静摩擦力作用，m a g sin α＝μm a g cos α＋F T.研究b的受力情况2F T cos β2＝m b1g，联立解得m b1＝1.6kg，a刚好上滑时，a受到沿斜面向下的静摩擦力作用，m a g sinα＋μm a g cosα＝F T′，研究b的受力情况2F T′cos β2＝m b2g，联立解得m b2＝8kg.综上可知，保证系统静止时，b的质量范围为1.6kg≤m b≤8kg.。

v12－v02 0－v12 由 ＋ ＝4.45 m 2a1 2a2 解得 v1＝4 m/s，即要把米袋送到 D 点，传送带 CD 部分的速度 vCD≥v1＝4 m/s 米袋恰能运到 D 点所用时间最长为： v1－v0 0－v1 tmax＝ ＋ ＝2.1 s a1 a2 若 CD 部分传送带的速度较大，使米袋沿 CD 上滑时所受摩擦力一 直沿皮带向上，则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为 a2 1 由 sCD＝v0tmin＋ a2tmin 2，得 tmin＝1.16 s 2 所以，米袋从 C 端到 D 端所用的时间 t 的范围为 1.16 s≤t≤2.1 s.
当传送带的速度大于 10 m/s 后， 旅行包加速直至与传送带有 共同速度后再抛出， 旅行包加速到 B 点恰好与传送带有共同 速度的临界速度为 v′，由 v′2－v2＝2 μgL 得 v′＝14 m/s. 当传送带的速度大于 14 m/s 后， 旅行包到达 B 点也没有加速 到传送带的速度，包的速度总等于 14 m/s，平抛的水平距离 2h x＝v′· t＝14× g ＝4.2 米．见图
(3)设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动， 在图 6 中画出 旅行包落地点距 B 端的水平距离 x 随皮带轮的速度 v 变化的 图象．
图5
解析
图6
(1)v＝ v02－2aL＝ v02－2μgL＝2 m/s.包的落地点距 2×0.45 2h B 端的水平距离为 x＝vt＝v m＝0.6 m. g ＝2× 10
图 3
环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不 ( )
解析
为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行 v2 受力分析，临界条件下是小球只受重力，由 mg＝m r 知小球 在最高点时的速度至少为 v＝ gr 从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得 1 1 2 2 mv ＝ mv ＋2mgr 2 1 2 小球在最低点时 v1＝ 5gr 所以小球在最低点时的瞬时速度至少为 v1min＝ 5gr， 正确． C 如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对 A 的弹力最多为 FN′＝5mg，A 对小球的竖直向下的弹力最多 为 FN＝FN′＝5mg， 对小球在最高点进行受力分析可知 FN＋ v′2 mg＝m r

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题一、带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。

在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：1．对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。

分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有＝＝2＝t，如图所示。

应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。

【典例】如图所示，半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？【审题指导】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。

【名师点睛】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

2．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。

Ｂ
过对物理过 程的分析 ， 找出问题关键变 化点 （ 即临界点 ）便可确定极 ， 值。 诸如追及 问题 ， 电路的分析变化 ， 电粒子在磁场 中的运动等。 动态 带 例 ５ 如图 ４ 笔直绝缘杆处于垂直 的匀强的磁场 Ｂ和匀 强电场 Ｅ ： ， 中， 有一带 电量 为 ｑ 质量 为 １ 的小球从静止 开始沿 杆下滑 ， 与杆的 ， １ １ 且
科技信息
高校 理科 研 究
谈 离 巾物理 求榴 值昀 思 路 与技 巧
商丘技 师 学院 于雪 芹
［ 摘 要］ 本文从矢量分析 、 三角函数、 物理基本原理等几个方面探讨 了高中物理 中求极值 的几种思路与技 巧。 ［ 关键词 】 物理极值 矢量分析 三 角函数 物理基本原理
高中物理习题 中的求极值问题 ， 是教学中的重点 ， 同时也 是考试 中 的焦点和热点 。它不仅考察学 生对物理知识的理解和掌握’ 也考察学生 对数学知识 的理解应用能力。笔者此前曾探讨 过用代 数方法解决物理 习题中的求极值 问题。在此就利用另外几种 方法解决此类 问题再做一 些探讨。 １ 数形结合求极值 、 对某些有关矢量 的问题 ， 列方程计算固然能够算 出， 算繁杂且 但计 不直观。我们可 以根据题中给定 的条件， 通过简单的计算或作图， 即可求 出极值。不仅简便而且直观易理解 。 例 ｌ 有三个共面 的共 点力， 小分别是 ２ ７ ８ ： 大 Ｎ、Ｎ、Ｎ求 其合力的最 大值 、 最小值 。 解： 三个共点力极值是两个共点力极值的拓展 。 三个力只要能构成 个三角形 （ 即任 意两边之和大于第三边 ， 意两边之差小于第三边 ） 任 即可。只要共面力能构成三角形 ， 其合力最小值一定为 ０ 。
Ｄ
例 ４ 木箱重 Ｇ， ： 与地 面问的动摩擦 因数 为 ， 用斜 向上 的力 Ｆ拉木 箱， 使之沿水平地面匀速前进 ， 如图 ３所示。 问角 ｎ多大时拉力最小？ 这 个最小值是多少？

θ
G
【例题】在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光滑斜面，质量为m的小球被平行
于斜面的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。当小车分别以a1=g和a2=2g 的加速度水平
a
向右运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？
FT
解：小球即将脱离斜面支持力FN =0
对小球进行受力分析，得合力：
必须大于或等于1 N．
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后A必须相对于B
静止，才不会从B的左端滑落．对A、B整体和A分别应用牛顿第二定律
得F＝(m＋M)a，μMg＝Ma 解得F＝3 N．
若F大于3 N，A就会相对于B向左滑下
综合得出力F应满足的条件是1 N≤F≤3 N．
【例题】如图甲所示，物体P置于光滑的水平面上，用轻细线跨过质量不计的光滑
沿y轴方向
FNcosθ + FTsinθ=mg
将 a=g 代入
得
FT=－0.2mg
FN=1.4mg
FT的负号表示绳已松弛，故FT=0
a
y
FN
FT
x
θ
G
【拓展】上述问题中，若小车向左加速运动 ，试求加速度a=g时的绳中张力。
解：绳子即将变柔软时拉力FT =0
a
对小球进行受力分析，得合力：
FN
F=mgtanθ =ma
M
fm
则两者保持相对静止的最大加速度为
am=fm/M= µmg/M=3m/s2
再取整体为研究对象受力如图
得：Fm=(M+m) am=30N
m
而 F=25N <Fm
M
Fm
木块与小车保持相对静止一起加速

动力学中的临界极值问题动力学中极值问题的临界条件和处理方法1．“四种”典型临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0.(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．2．“四种”典型数学方法 (1)三角函数法； (2)根据临界条件列不等式法；(3)利用二次函数的判别式法；(4)极限法． 【练习】1．如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg 的恒力F 向上拉B ，运动距离h 时，B 与A 分离．下列说法正确的是( )A ．B 和A 刚分离时，弹簧长度等于原长 B ．B 和A 刚分离时，它们的加速度为gC ．弹簧的劲度系数等于mg hD ．在B 与A 分离之前，它们做匀加速直线运动2． (多选)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( )A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B ．当F ＝52μmg 时，A的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3．如图所示，物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知m A ＝6 kg ，m B ＝2 kg.A 、B 间动摩擦因数μ＝0.2.A 物体上系一细线，细线能承受的最大拉力是20 N ，水平向右拉细线，下述中正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．当拉力0＜F ＜12 N 时，A 静止不动B ．当拉力F ＞12 N 时，A 相对B 滑动C ．当拉力F ＝16 N 时，B 受到A 的摩擦力等于4 ND ．在细线可以承受的范围内，无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 4．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小． (2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？“传送带模型”问题分析传送带问题的三步走1．初始时刻，根据v物、v带的关系，确定物体的受力情况，进而确定物体的运动情况．2．根据临界条件v物＝v带确定临界状态的情况，判断之后的运动形式．3．运用相应规律，进行相关计算．【练习】5．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝4 m，以v0＝4 m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转，今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A端，由于煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕．已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取重力加速度大小g＝10 m/s2，则煤块从A运动到B的过程中()A．煤块到A运动到B的时间是2.25 s B．煤块从A运动到B的时间是1.5 sC．划痕长度是0.5 m D．划痕长度是2 m6．如图所示为粮袋的传送装置，已知A、B两端间的距离为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A端将粮袋放到运行中的传送带上．设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小为g.关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是()A.粮袋到达B端的速度与v比较，可能大，可能小或也可能相等B.粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcos θ)，若L足够大，则以后将以速度v做匀速运动C.若μ≥tan θ，则粮袋从A端到B端一定是一直做加速运动D.不论μ大小如何，粮袋从Α到Β端一直做匀加速运动，且加速度a≥g sinθ7．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝3.5 m，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，物体滑上传送带A端的瞬时速度v A＝4 m/s，到达B端的瞬时速度设为v B.下列说法中正确的是()A．若传送带不动，v B＝3 m/sB．若传送带逆时针匀速转动，v B一定等于3 m/sC．若传送带顺时针匀速转动，v B一定等于3 m/sD．若传送带顺时针匀速转动，有可能等于3 m/s8．如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s，动摩擦因数μ＝0.5，在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m＝0.5 kg的物体．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.g＝10 m/s2.求：(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．9．如图所示，为传送带传输装置示意图的一部分，传送带与水平地面的倾角θ＝37°，A、B两端相距L＝5.0 m，质量为M＝10 kg的物体以v0＝6.0 m/s的速度沿AB方向从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数处处相同，均为0.5.传送带顺时针运转的速度v＝4.0 m/s，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)物体从A点到达B点所需的时间；(2)若传送带顺时针运转的速度可以调节，物体从A点到达B点的最短时间是多少？。

教
＿－ ＿
堂 遮 ｉ ｊ ＝
求 解 这类 极 值 问 题 ，关 键 要 细
致 地 分 析 物理 过 程 ，理顺 物 理 量 的 关 系 ，找 出 变化 点 和转 折点 ，寻 找 到 极 值 的条 件 ． 这 就 要 求 教 师 平 时 要 引 导 学 生养 成 重 视 分 析物 理 过 程 求 解 习 题 的 习惯 ，这 也是 学 好 物 理
续 增 大 ，致 使 小 环 下 侧 与杆 之 间
出现 挤 压 力 Ｎ，如 图 ３ ． 于是 摩 擦 力
ｆＹ ． 产生，杆的加速度 口 减小 ， ｆ
勘ｑ ｆ Ｎ Ｔ ｔ 昔ｏ ，当 口 减
小 到 零 时 ，环 有 最 大 速 度 一．
的 面 积 ， 即 △ ＿ ： ｝ × ５ × １ ｏ ｍ ＝ ２ ５ ｍ
同
中
夹 角为 ３ ７ 。 ． 若 Ｅ ＝ Ｉ Ｏ Ｎ ／ Ｃ，Ｂ＝ ０ ． ５ Ｔ ， 小环从 静止启动 ． 求： （ １ ） 当小 环
文
／
加 速 度 最 大 时 ， 环 的 速 度 和 加 速 的根 本 方 法 之一 ． 物 理极值问题的求解与分析 度； （ ２ ）当小 环 的 速 度最 大 时 ，
解： （ １ ）在 平 行 于 杆 的方 向 上 有 ：ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ ３ ７ 。 一Ｅ ｑ ｃ ｏ ｓ ３ ７ 。 ＝ ｍ ‰ 解 得 ：口 ＝ ２ ． ８ ｍ ／ ｓ
１ ． 分 析 物 理 过 程 ， 寻 求 极 值 条 件 求 解 例 如 ：如 图 １所 示 ，质 量 为
／
一
高 中物 理 知 识 点 多 、解 题 方 法
多 样． 有 一 类是 极值 问 题 的求 解 ，
这 类 问题 是 高 中物 理 教 学 中经 常 遇

高中物理中的临界与极值问题宝鸡文理学院附中何治博渐变化，一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐一种状态发生质的数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随端点值）时，会使得某着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称为极值问题。

物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反调函数的边界值。

之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单，并非泾渭分明。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊年高考试高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”⋯⋯等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发常见的“临界术掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述题的物理情景，周密讨论状态的语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假，最后再根设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符征，找到正据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特部确的解题方向。

考点一 考点二 限时训练
考点一 考点二 限时训练
6.(解析法)一个质量为 1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小
的拉力拉它，使其做匀速运动，已知这个最小拉力为 6 N，g 取 10 m/s2，
滑动摩擦力等于最大静摩擦力。则物体与地面间的动摩擦因数 μ 及最小拉
力与水平方向的夹角 θ 的正切值 tan θ 分别为( B )
A.μ＝34，tan θ＝0
B.μ＝34，tan θ＝34
C.μ＝34，tan θ＝43
D.μ＝35，tan θ＝35
考点一 考点二 限时训练
B 物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水 平方向的夹角 θ 不同，物体与水平地面间的弹力不同，
考点一 考点二 限时训练
BD 选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F缓慢拉动 N 的 过 程 中 ， 水 平 拉 力 F 逐 渐 增 大 ， 细 绳 的 拉 力 FT 逐 渐 增 大 ， 选 项 A 错 误，B正确；对M受力分析，如图乙所示，受重力GM、支持力FN、绳的拉 力FT以及斜面对它的摩擦力Ff。若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向 上，则FT＋Ff＝GMsin θ，FT逐渐增大，Ff逐渐减小，当Ff减小到零后，再 反向增大。若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向下，此时，FT＝GMsin θ ＋Ff，当FT逐渐增大时，Ff逐渐增大，C错误，D正确。
考点一 考点二 限时训练
C 选结点为研究对象，设刚开始时左侧绳与竖直方向的夹角为 α，则 甲手中细绳即水平绳拉力 F＝mgtan α，左侧绳拉力 FT＝cmosgα，物体缓慢向 右移动的过程中 α 减小，可见甲手中细绳即水平绳拉力 F 减小，左侧绳拉 力 FT 减小，左侧绳拉力与右侧绳拉力即乙手中细绳的拉力大小相等，所以 乙手中细绳的拉力减小，选项 AB 错误；对乙受力分析，设右侧绳与竖直 方向的夹角为 β，在竖直方向有 FN＋FTcos β＝m 乙 g，绳拉力 FT 减小，β 不 变，则乙受到的支持力变大，根据牛顿第三定律可知乙对地面的压力不断 增大，选项 C 正确；对乙受力分析，在水平方向有 Ff＝FTsin β，绳拉力 FT 减小，β 不变，则乙受到地面的摩擦力减小，选项 D 错误。故选 C。

高中物理思想方法归纳§1比值法高中物理中有很多的物理量用比值法进行定义的;例如：速度、加速度、电阻、电容、电场强度等..这些物理量有一个共同的特点：物理量本身与定义的两物理量无正反比关系..以速度为例;高中物理中定义为：匀速直线运动的物体;所通过的位移与所用时间的比值..这里位移与时间的比值;仅反应速度的大小..速度本身是不变的;与位移大小和时间长短无关..再类如电场强度的定义;电荷在电场中某点受到的电场力F与它的电量q的比值;叫做这一点的电场强度..电场强度同样与电场力和电荷电量q无关..在复习中;将这些物理量找出;并整理;有助于对概念的掌握和理解..§2 构建物理模型法物理学很大程度上;可以说是一门模型课.无论是所研究的实际物体;还是物理过程或是物理情境;大都是理想化模型.如:实体模型有:质点、点电荷、点光源、轻绳轻杆、弹簧振子、……物理过程有：匀速运动、匀变速、简谐运动、共振、弹性碰撞、圆周运动……物理情境有：人船模型、子弹打木块、平抛、临界问题……求解物理问题;很重要的一点就是迅速把所研究的问题归宿到学过的物理模型上来;即所谓的建模..尤其是对新情境问题;这一点就显得更突出..再如;电流的微观解释中;建立的柱体模型;如图柱体的截面积是s;长是l;单位体积中n个电荷;每个电荷电量为q;则根据电流的定义;就可以得到电流I＝nslq/t=nsqv..利用这个模型就很容易处理风力发电问题..§3控制变量法自然界中时刻都在发生着各种现象;而且每种现象都是错综复杂的..决定一个现象的产生和变化的因素太多;为了弄清现象变化的原因和规律;必须设法把其中的一个或几个因素用人为的方法控制起来;使它保持不变;然后再来比较、研究剩下两个变量之间的关系;这种研究问题的方法就是控制变量法..很多物理实验都用到了这种方法;如探究力、加速度和质量三者关系的实验中分别控制力不变;探究加速度与质量的关系和控制质量不变探究加速度与力的关系..再如;玻意耳定律的研究;是控制气体质量和温度不变;研究体积与压强的关系..其他两个气体实验定律也都是用这种控制变量法来研究..这种方法的掌握和理解;便于对其它实验的探究与分析..§4等效替代转换法等效法;就是在保证效果相同的前提下;将一个复杂的物理问题转换成较简单问题的思维方法..其基本特征为等效替代..物理学中等效法的应用较多..合力与分力；合运动与分运动；总电阻与分电阻；交流电的有效值等..除这些等效等效概念之外;还有等效电路、等效电源、等效模型、等效过程等..在物理学中;我们研究一些物理现象的作用效果时;有时为了使问题简化;常用一个物理量来代替其他所有物理量;但不会改变物理效果..这种研究问题的方法给问题的阐释或解答带来极大方便;我们称这种研究问题的方法为等效替代法．如用几个力来代替一个力或用一个力替代几个分力;用总电阻替代串联、并联的部分电阻..有时候为了问题的简化;用几个物理现象代替一个物理现象;而使问题简化..例如：平抛运动的研究就是将一个平抛运动看作一个匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动..对于一些看不见、摸不着的物质或物理问题我们往往要抛开事物本身;通过观察和研究它们在自然界中表现出来的特性、现象或产生的效应等去认识事物;在物理学上称作转换法..它是帮助我们认识抽象物理现象和认识物理规律的一种常用的科学方法．有些物理问题;由于物理过程的复杂的难以直接分析;这时候我们就要转换思维;它是帮助我们认识抽象物理现象的一种常用的科学方法．如：我们在认识和研究“分子在永不停息地做无规则运动”理论时;由于分子是微观的;不能直接用肉眼看到;因此;我们可以通过能直接观察或感觉到的扩散现象去认识和理解它；电流看不见、摸不着;我们可以通过电流的各种效应来判断它在存在；同理;在研究物体是否带电;我们也不能直接看到物体是否带电;但我们可以通过观察验电器上锡箔片的开合来判断物体是否带电；如将看不见、摸不着的温度转换成液柱的升降制成了温度计..§5类比法类比法是指由一类事物所具有的特点;可以推出与其类似事物也具有这种特点的思考和处理问题的方法．认识和研究物理现象、概念和规律时;将它与生活中常见的;熟悉的且有共同特点的现象和规律进行灵活、合理的类比;从而有助于学生的理解..如在认识电场时;电势能与重力势能类比;电势与高度类比;电势与高度差类比;利用对重力势能、高度、高度差的理解;而使学生理解和掌握电势能、电势和电势差的概念..学习磁场时;再把磁场与电场进行类比;便于学生更好的掌握磁场..§6猜想与假设法猜想与假设法;是在研究对象的物理过程不明了或物理状态不清楚的情况下;根据猜想;假设出一种过程或一种状态;再据题设所给条件通过分析计算结果与实际情况比较作出判断的一种方法;或是人为地改变原题所给条件;产生出与原题相悖的结论;从而使原题得以更清晰方便地求解的一种方法..§7 整体法和隔离法整体法是在确定研究对象或研究过程时;把多个物体看作为一个整体或多个过程看作整个过程的方法;隔离法是把单个物体作为研究对象或只研究一个孤立过程的方法.整体法与隔离法;二者认识问题的触角截然不同.整体法;是大的方面或者是从整的方面来认识问题;宏观上来揭示事物的本质和规律.而隔离法则是从小的方面来认识问题;然后再通过各个问题的关系来联系;从而揭示出事物的本质和规律..因而在解题方面;整体法不需事无巨细地去分析研究;显的简捷巧妙;但在初涉者来说在理解上有一定难度；隔离法逐个过程、逐个物体来研究;虽在求解上繁点;但对初涉者来说;在理解上较容易..熟知隔离法者应提升到整体法上..最佳状态是能对二者应用自如..§8临界问题分析法临界问题;是指一种物理过程转变为另一种物理过程;或一种物理状态转变为另一种物理状态时;处于两种过程或两种状态的分界处的问题;叫临界问题..处于临界状的物理量的值叫临界值..物理量处于临界值时：①物理现象的变化面临突变性..②对于连续变化问题;物理量的变化出现拐点;呈现出两性;即能同时反映出两种过程和两种现象的特点..解决临界问题;关键是找出临界条件..一般有两种基本方法：①以定理、定律为依据;首先求出所研究问题的一般规律和一般解;然后分析、讨论其特殊规律和特殊解②直接分析、讨论临界状态和相应的临界值;求解出研究问题的规律和解..§9 对称法物理问题中有一些物理过程或是物理图形是具有对称性的..利用物理问题的这一特点求解;可使问题简单化..要认识到一个物理过程;一旦对称;则相当一部分物理量如时间、速度、位移、加速度等是对称的..如：竖直上抛和自由落体的对称性;简谐振动的对称性等..§10 寻找守恒量法守恒;说穿意思是研究数量时总量不变的一种现象..物理学中的守恒;是指在物理变化过程或物质的转化迁移过程中一些物理量的总量不变的现象或事实..守恒;已是物理学中最基本的规律有动量守恒、能量守恒、电荷守恒、质量守恒;也是一种解决物理问题的基本思想方法..并且应用起来简练、快捷..从运算角度来说;守恒是加减法运算;总和不变..从物理角度来讲;那就与所述量表征的意义有关;重在理解了..理解所述量及所述量守恒事实的内在实质和外在表现..如动量;描述的是物体的运动量;大小为mV;方向为速度的方向..动量守恒;就是物体作用前总的运动量是动的时;且方向是向某一方向的;那作用后;总的运动量还是动的;方向还是向着这一方向..§11 逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法;对于某些问题;运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出;而采用逆向思维;即把运动过程的“末态”当成“初态”;反向研究问题;可使物理情景更简单;物理公式也得以简化;从而使问题易于解决;能收到事半功倍的效果．§12．图形/图象图解法图形/图象图解法就是将物理现象或过程用图形/图象表征出后;再据图形表征的特点或图象斜率、截距、面积所表述的物理意义来求解的方法..尤其是图象法对于一些定性问题的求解独到好处..§13 极限思维方法极限思维方法是将问题推向极端状态的过程中;着眼一些物理量在连续变化过程中的变化趋势及一般规律在极限值下的表现或者说极限值下一般规律的表现;从而对问题进行分析和推理的一种思维办法..§14 平均思想方法物理学中;有些物理量是某个物理量对另一物理量的积累;若某个物理量是变化的;则在求解积累量时;可把变化的这个物理量在整个积累过程看作是恒定的一个值---------平均值;从而通过求积的方法来求积累量..这种方法叫平均思想方法..物理学中典型的平均值有：平均速度、平均加速度、平均功率、平均力、平均电流等..对于线性变化情况;平均值=初值+终值/2..由于平均值只与初值和终值有关;不涉及中间过程;所以在求解问题时有很大的妙用.§15程序法所谓程序法;是按时间的先后顺序对题目给出的物理过程进行分析;正确划分出不同的过程;对每一过程;具体分析出其速度、位移、时间的关系;然后利用各过程的具体特点列方程解题．利用程序法解题;关键是正确选择研究对象和物理过程;还要注意两点：一是注意速度关系;即第1个过程的末速度是第二个过程的初速度；二是位移关系;即各段位移之和等于总位移．§16极值法常见的极值问题有两类：一类是直接指明某物理量有极值而要求其极值；另一类则是通过求出某物理量的极值;进而以此作为依据解出与之相关的问题．物理极值问题的两种典型解法．1解法一是根据问题所给的物理现象涉及的物理概念和规律进行分析;明确题中的物理量是在什么条件下取极值;或在出现极值时有何物理特征;然后根据这些条件或特征去寻找极值;这种方法更为突出了问题的物理本质;这种解法称之为解极值问题的物理方法．2解法二是由物理问题所遵循的物理规律建立方程;然后根据这些方程进行数学推演;在推演中利用数学中已有的有关极值求法的结论而得到所求的极值;这种方法较侧重于数学的推演;这种方法称之为解极值问题的物理—数学方法．此类极值问题可用多种方法求解：①算术—几何平均数法;即a．如果两变数之和为一定值;则当这两个数相等时;它们的乘积取极大值．b．如果两变数的积为一定值;则当这两个数相等时;它们的和取极小值．②利用二次函数判别式求极值一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0a≠0的根的判别式;具有以下性质：Δ＝b2－ 4ac>0——方程有两实数解；Δ＝b2－4ac＝0——方程有一实数解；Δ＝b2－4ac<0——方程无实数解..。

F图函数极值在高中物理解题中的应用摘要：在高中物理学习和考试中，经常出现临界极值问题。

快速有效的利用数学方法解决极值问题，显得非常重要。

利用函数求极值，正是解决物理极值问题的常用方法。

本文重点论述一元二次函数、三角函数、导函数在物理问题中的应用。

希望对极值问题的研究、对师生的教与学提供参考。

关键词：临界极值、三角函数、导函数、一元二次函数、数学、物理1. 利用一元二次函数解决极值问题追及相遇是运动学综合问题。

由于追及相遇问题涉及两个或者多个物体，其中有位移关系、时间关系，且常考极值，所以许多学生感到比较复杂和困难。

在解决极值问题时，利用一元二次函数是一种不错的做法。

例1：一辆公共汽车在站牌处出发，以3m/s 2的加速度匀加速直线行驶，恰在这时汽车后方相距20m 的地方一人以6m/s 的速度匀速追赶公共汽车，则人能否追上公共汽车？如果追不上，人与公共汽车之间的最小间距是多少？解析：自行车的位移为：自X =6t,汽车位移为221at X =汽，两者之间的位移差为：20-+=∆自汽X X X 。

带入数据之后，位移差公式可以写成一个一元二次函数的形式。

2065.12+-=∆t t X 。

利用函数判别式ac b 42-=84-205.14-36=⨯⨯，所以0=∆X 无解，不会追上。

根据一元二次函数的知识可知，当时间t=2秒时，有最小值。

最小值为14米。

2. 利用三角函数求极值例2：如图1所示，质量为kg M 5=的木块与水平地面的动摩擦因数4.0=μ，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N 的恒力F ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=为质最大加速度为多少？解析：设当轻绳与水平方向成角θ时，对M 有Ma F Mg F =--)sin (cos θμθ整理得Ma Mg F =-+μθμθ)sin (cos令A =+θμθsin cos ，可知，当A 取最大值时a 最大。