高中物理八大解题方法之五：极值法

- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法.一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a 〉0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起）动能损失最大.设第一个物体的质量为1m ,速度为1V .第二个物体的质量为2m ,速度为2V .碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' (2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =（)22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m (3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1)得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4)代入（3）得：- 2 - E k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+］ 二次函数求极值， 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ (5) 时∆E k 有极大值.回到物理问题,将（5)代入(4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明，m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。

处理物理问题的数学方法一、极值法1、 利用二次函数求极值：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a(其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)．2、 利用三角函数求极值：y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋ba 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝ba 2＋b 2则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)3、 利用均值不等式求极值：对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24例题：[2013山东理综 22（15分）]如图所示，一质量m =0.4kg 的小物块，以v 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某的角度的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t =2s 的时间物块由A 点运动到B 点，AB 两点间的距离L ＝10m.已知斜面倾角30=θ，物块与斜面之间的动摩擦因数33=μ，重力加速度g 取10m/s 2. （1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。

（2）拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 答：（1）物块加速度的大小为3m/s 2，到达B 点的速度为8m/s ； （2）拉力F 与斜面的夹角30°时，拉力F 最小，最小值是N 53 13=F min解析：（1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：221at L =①， v=at ②联立解得； a=3m/s 2，v=8m/s （2）对物体受力分析 根据牛顿第二定律，有：水平方向：Fcosα-mgsinα-F f =ma 竖直方向：Fsinα+F N -mgcosα=0 其中：F f =μF N 联立解得：α)+sin(60 3 32ma +μcosα)+mg(sin α= sin cos ma +μcosα)+mg(sin α=F ︒+αμα故当α=30°时，拉力F 有最小值，为N 53 13=F min ； 二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上常见的几何关系：1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图1所示．图1由勾股定理得：R 2＝(R －CE )2＋EB 2解得：R ＝EB 22CE ＋CE2．例题：[2014山东理综 24（20分）]如图-2甲所示，间距为、垂直于纸面的两平行板间存在匀强磁场。

高中物理解题常用思维方法高中物理解题常用思维方法一、逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法，对于某些问题，运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出，而采用逆向思维，即把运动过程的“末态”当成“初态”，反向研究问题，可使物理情景更简单，物理公式也得以简化，从而使问题易于解决，能收到事半功倍的效果。

高中物理解题常用思维方法二、对称法对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。

自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象。

利用对称性解题时有时可能一眼就看出答案，大大简化解题步骤。

从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力。

用对称法解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径。

高中物理解题常用思维方法三、图象法图象能直观地描述物理过程，能形象地表达物理规律，能鲜明地表示物理量之间的关系，一直是物理学中常用的工具，图象问题也是每年高考必考的一个知识点。

运用物理图象处理物理问题是识图能力和作图能力的综合体现。

它通常以定性作图为基础(有时也需要定量作出图线)，当某些物理问题分析难度太大时，用图象法处理常有化繁为简、化难为易的功效。

高中物理解题常用思维方法四、假设法假设法是先假定某些条件，再进行推理，若结果与题设现象一致，则假设成立，反之，则假设不成立。

求解物理试题常用的假设有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径。

在分析弹力或摩擦力的有无及方向时，常利用该法。

高中物理解题常用思维方法五、整体、隔离法物理习题中，所涉及的往往不只是一个单独的物体、一个孤立的过程或一个单一的题给条件。

这时，可以把所涉及到的多个物体、多个过程、多个未知量作为一个整体来考虑，这种以整体为研究对象的解题方法称为整体法;而把整体的某一部分(如其中的一个物体或者是一个过程)单独从整体中抽取出来进行分析研究的方法，则称为隔离法。

高考物理解题方法指导之极值问题综述求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节．互动探究例1、如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．例1例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度．例3、已知直角三角形底边长恒为b，当斜边与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜边由静止从顶端滑到底端所用时间最短例4、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度v0=10m/沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离最大？这个距离是多少？（g取10m/2）例4例5、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？-1-Er例6、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R>R1+r），当滑动变阻器连入电路的电阻R某多大时，在变阻器上消耗的功率最大？R1R例6例7、如图所示，均匀导线制成金属圆环，垂直磁场方向放在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环总电阻为R．另有一直导线OP长为L，其电阻为QROP，一端处于圆环圆心，一端与圆环相连接，金属转柄OQ的电阻为ROQ，它以nB的转速沿圆环匀速转动，问OP中电流强度的最小值是多少？PO例7例8、如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场B两极间的电势差为U，匀强磁场区域的宽度为L，要使电子束从磁场飞出时，在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不120°超过60°），求磁感应强度B的变化范围（设磁场方向垂直于纸面向里时，磁感应强度为正值）？UL例8例9、如图所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强P磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r，不计其他电阻和一切摩擦，求开关K闭合后，金属棒PQ速度多大时，安培力的功率最大？Er最大值是多少？vKQB例9例10、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部．求电子必须具有的最小初动能是多少？课堂反馈反馈1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．汽车从路口开动后，在追上自行R1车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？aPR3R2b反馈2、如图所示的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5Ω，外阻R1=2Ω，VR2=3Ω，滑动变阻器R3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少Er反馈2达标测试1、某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L，若运动中加速度大小只能是a或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？-2-22、某中学举办了一次别开生面的―物理体育比赛‖，比赛中有个项目：运动员从如图所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点．比赛时，谁用的时间最少谁胜．试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？达标23、一条宽为L的河流通，水流速度为u，船在静水划行速度为v，若vO4、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少达标45、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01Kg的子弹，以v0=400m/的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？ROmv0M达标56、一架升飞机，从地面上匀加速垂直飞行到高度H的天空，如果加速度a和每秒消耗的油量y之间的关系是y=ka+n（k>0，n>0），应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度H时耗油量最低．7、如图所示，已知电流表内阻忽略不计，电源电动势E＝10V，内阻r＝1Ω，ErRo＝R＝4Ω，其中R为滑动变阻器的最大值．当滑动片P从最左端滑到最右端R0的过程中，电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化PAaRb8、如图所示，AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导达标7轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有RCA垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B．在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，ba从静止开始沿导轨下滑．已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计，求ab棒的最大速度．θBD达标8θθ9、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径．-3-B达标910、如图所示，一束宽为d的平行光，由红、蓝两种色光组成，入射到一块上、下表面平行的玻璃砖，其入射角为i，玻璃对红、蓝光的折射率分别为n1和n2，则要想从下底面得到两束单色光，玻璃砖的厚度L至少为多大？达标1011、如图所示，水平传送带水平段长l=6m，两皮带轮直径D均为0.2m，距地面高H=5m，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0=5m/的初速度滑上传送带，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2．求：（1）若传送带静止，物块滑到右端后做平抛运动的水平距离0等于多少（2）当皮带轮匀速转动，且角速度为ω时，物体做平抛运动的水平位移为，以不同角速度ω做上述实验，得到一组对应的ω和值．设皮带轮顺时针转动时ω>0，逆时针转动时ω<0，试画出平抛距离随ω变化的曲线．专题十一，课时2解析例1解析：物体的受力图如图．建立坐标系，有：Fcoθ-μN=0①Finθ+N-G=0②得F=μG／(coθ+μinθ)2令tanφ=μ，则coθ+μinθ=1co(θ-φ)∴F=当θ=φ时，co(θ-φ)取极大值1，F有最小值．Fmin==G/2，tanφ=μ=1/3，φ=30o，∴θ=30o解法二、将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解．将N与f合成为一全反力R．tanΦ=f/N=μ．可见，N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的．物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三力构成一封闭三角形．由图可知，当F垂直于R时，F最小．-4-此时，θ=Φ=arctan(1/√3)=30o，Fmin=GinΦ=G/2例2解析：设最大速度为vm，即加速阶段的末速度为vm，画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移．即：v/m·-1vm11tvm，5020vm，vm=5m/．22O20t/例3解析：设斜面倾角为θ时，斜面长为，物体受力如图所示，由图知b……①co12at……②2N由匀变速运动规律得：由牛顿第二定律得：mginθ=ma……③联立①②③式解得：tmg4bgin22Sa2bgincoθb可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°，θ=45°时，in2θ有最大值，t有最小值．例4解析：设小物块从曲面顶部的高台飞出的瞬间的速度为v，由机械能守恒定律，1212mv0mvmgh⑴2212hgt小物块做平抛运动，⑵2vt22v0v02h2将⑴⑵联立，hv02gh2h，g4g4g22v0v0当h2.5m时，最大飞行距离：ma某5m．4g2g22例5解析：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgvcoα=mgvinθ…………①小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLco12mv……………②2OθLA2解①②可得：Pmg2gLcoin2令y=coθinθC21ycoin(2co2in4)21(2co2in2in2)2αθBvmg又2co2in2in22(in2co2)2根据基本不等式abc3abc，定和求积知：22当且仅当2coin，y有最大值由2co21co2得：co33-5-。

高三物理复习中的极值求解高三物理复习中经常遇到极值问题，多数极值问题是在某一过程中或某一状态的物理量在其变化中，由于受到物理规律和条件的限制，其取值往往只能在一定范围内才能符合物理问题的实际，而在这一范围内，该物理量可能有最大值、最小值或确定的边界值等一些特殊的值。

极值问题可分为简单的极值问题与条件极值问题，区分的依据是根据是否受附加条件的限制。

在中学物理中，条件极值更为普遍，是教学之重点，物理极值问题涉及到力学、热学、电磁学及光学、原子物理各个部分内容，是中学物理常用的解题方法之一。

极值求解物理问题，既要明确其物理意思，又要借助于数学规律求解，既能培养学生理解、推理、分析、综合能力，又能培养学生应用数学知识处理物理问题的能力，是高层次能力的培养。

解决物理极值问题的主要方法有两类：一类是物理分析方法。

这种方法就是通过物理过程的分析抓住极值的条件进行求解。

另一类就是数学方法。

这种方法是指：通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系式，或画出函数图像，用数学方法求出物理习题的极值。

下面就上述两种主要方法列举几例：一、应用数学方法求解物理习题的极值问题(1) 二次函数法利用y=ax 2+bx+c 的图像的顶点坐标)44,2(2a b ac y a b x -=-=求极值1、 二次函数法求解关于恒定电流习题的极值问题例：如图（1）所示的电路中，已知Ω=Ω=Ω=Ω==5,3,2,5.0,3.6321R R R r V ε（为滑动变阻器的最大阻值），闭合电键S ，调节滑动变阻器的触点P ，求通过电源的电流范围。

解：假设ap 段电阻为x ，则pb 段电阻为R 3-x ，102141112312++-=-+++=∴x x x R R x R R 外 可得通过的电流I 为：264632643.61022++-=++-⨯==x x x x rR I ＋外ε令y=-x 2+4x+26=-(x-2)2+30,则有：（1） 当Ω=2x 时，y 有极大值y max =30,也即此时外电路电阻最大，Ω=++-5.2102142x x R ＝外时，此时电流有最小值，最小电流I 1＝2.1A 。

2019年高三复习冲刺物理方法汇总专题08 极值法极值法是中学物理教学中重要的解题方法，在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。

在应用极值法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系，再利用数学方法求其极值。

极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法等。

1.二次函数极值法函数2y ax bx c =++，依a 的正负，可有极大值、极小值。

①若求y 极植可用配方法224()24b ac b y a x a a -=++, 当2bx a =-，244ac b y a -=。

（综合图像解）②亦可用判别式法：2y ax bx c =++整理为关于x 的一元二次方程：20ax bx c y ++-=，若x 有实解，则24()0b a c y ∆=--≥，244ac b y a -≥。

例1.如图1所示，ABC 为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，AB 段与BC 段平滑连接。

质量为1m 的小球从高位h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC 段上质量为2m 的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。

求碰撞后小球2m 的速度大小2v ；碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。

为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。

如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为1231n m m m m -、、……、n m ……的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能1k E ，从而引起各球的依次碰撞。

定义其中第n 个球经过依次碰撞后获得的动能k E 与1k E 之比为第1个球对第n 个球的动能传递系数1n ka) 求1n kb) 若10004,,k m m m m m ==为确定的已知量。

求2m 为何值时，1n k 值最大 【解析】（1）设碰撞前1m 的速度为10v ，根据机械能守恒定律 2101121v m gh m =① 设碰撞后1m 与2m 的速度分别为1v 和2v ，根据动量守恒定律 2211101v m v m v m +=② 碰撞过程机械能守恒2222112101212121v m v m v m +=③ ①②③解得211222m m gh m v +=（2）a.由④式，考虑到2101121v m E k = 222221v m E k = 得()12212124k k E m m m m E +=根据动能传递系数的定义，对于1、2两球()2212112124m m m m E E k k k +==同理对于2、3两球碰撞后，动能传递系数13k 应为()()23232221212312131344m m m m m m m m E E E E E E k k k k k k k +∙+=∙==④ 依次类推()()()21232221221232221114n n nn n n m m m m m m m m m m m k +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=---⑤b.将014m m =，03m m =代入④()()2202022013464⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m m m m m k为使13k 最大，通过配方，只需使()()02202202029214mm m m m m m m m +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++最大 当2022m m m =，即022m m =时，13k 最大。

高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值方法和常用结论是常见的问题类型，通过总结这些方法和结论，有助于高中物理学习者更好地理解和应用。

一、求极值方法：1.极值定理：对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，必然存在至少一个极大值和极小值，即f(x)在[a,b]上必然取得极值。

2.导数法则：利用导数的相关概念和性质，可以简化极值的求解过程。

(1)极值的必要条件：函数f(x)在x=c处取得极值，必然满足f'(c)=0。

(2)极值的充分条件：若函数f'(x)在x=c的邻域内存在符号变化，且在c处f''(c)存在，则f(x)在x=c处取得极值。

3.端点法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，当x=a或x=b时，可以直接求解f(a)和f(b)，作为极值的候选值。

4.区间内部法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，通过求解f'(x)=0，得到f(x)的驻点。

然后比较驻点和两个端点的函数值，选取最大和最小值作为极值。

5.辅助线法：即画出函数的图像，观察图像的整体形状，然后根据函数的性质和题目要求，确定极值所在的位置。

二、常用结论：1.函数的单调性：函数在给定的定义域内是递增的还是递减的。

(1)若f'(x)>0，则f(x)在区间上递增。

(2)若f'(x)<0，则f(x)在区间上递减。

2.极值判定：通过一、二阶导数的符号来判断函数的极值。

(1)若f''(x)>0，则f(x)在x处取得极小值。

(2)若f''(x)<0，则f(x)在x处取得极大值。

3.凹凸性：函数图像在其中一区间上是凹向上还是凹向下。

(1)若f''(x)>0，则f(x)在区间上是凹向上的。

(2)若f''(x)<0，则f(x)在区间上是凹向下的。

4.零点定理：对于一个连续函数f(x)，若f(a)和f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少存在一个实根。

物理习题中极值问题的数学求解方法江西宁都中学卢加英江西省宁都县342800本文结合平常的习题教学，将高中物理习题中的极值问题解法归纳分类，以飨读者。

一、利用一元二次函数知识求极值设有二次函数2224()22b ac b y ax bx c a x a a-=++=++ 若a ＜0则y 有极大值，当2bx a =-时，2max 42ac b y a -=若a ＞0则y 有极小值，当2bx a =-时，2max 42ac b y a-=例1：一辆汽车以10m/s 的速度匀速直线行驶15s 后，一辆摩托车从静止开始，在同一地点出发，以1m/s2的速度作匀加速直线运动追赶汽车，求二车何时相距最远？最远距离多大？解：设摩托车行驶t 秒后二车相距S 米，有10(t+15)－12×1×t2=S 即：S=－12t2+10t +150题中“何时相距最远”实际就是t 为何值时，有最大值Smax 依一元二次函数知识可知：t =2ba-=10(s)时， Smax=200(m)例1也可以借助如下方法进行求解将S=－12t2+10t+150变形为12t2－10t －150＋S=0 要使方程有解，则△=(－10) 2－4×12×(－150＋S)≥0得S≤200m ，即S 最大值Smax=200m 二、利用一元二次方程根的判别式求极值应用该方法，宜选择适当的物理量作自变量，通过物理规律导出一个一元二次方程，利用△=b2－4ac ≥0求解例2：如图一，顶角为2θ的光滑圆锥置于磁感应强度为B ，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m ，带电量为+Q 的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小图3半径。

解：以小球为研究对象，受重力mg ，弹力FN 及洛仑兹力f 的作用，如图2建立坐标系 设：轨道半径R在x 方向：2N f F COS mRνθ-=①在y 方向：0N F Sin mg θ-=②f BQ ν=③整理得：2cot 0m QRB mgR ννθ-+=关于ν的一元二次方程中ν有实数解有△=Q2B2R2－4m2gRCot θ≥0R≥4 m2gRCot θ/ Q2B2即Rmin=4m2gCot θ/ Q2B2三、利用三角函数的有界属性求极值设有三角函数y Sinx =(或cos x )在定义域内一定有－1≤y≤ 1 即ymax=1 ymin=－1例3：某人与一平直公路距离h=50m ，一客车以速度v1=10m/s 沿此公路匀速驶来，当客车与人距离S=200m 时，人开始追赶，求人能追上客车的最小奔跑速度。

当滑动片在变阻器的两个端点时，电路中的电阻最小（相当于两个定值电阻中有一个被导线短路）。

对于CO 和OD 两支路，采取极限的方法进行分析：设O 点移至滑线变阻器的左端点，电路的总电阻R R 总=23，总电流I U R UR ==总32，此电流全部从电流表A 3流过，显然I I 0<，电流表A 3的电流大于I 0，而电流表A 4中流过的电流为URI 20=。

因此，本题正确选项为B 、C 。

例5：如图所示的电路中，闭合开关S ，调节有关电阻使电流计的读数为零，这时：（ ）A 、 若R 1增大，则G 中的电流从a 到b 。

B 、 若R 2增大，则G 中的电流从a 到b 。

C 、 若R 3减小，则G 中的电流从a 到b 。

D 、 若R 4减小，则G 中的电流从a 到b 。

解析：可用极端思维法来解决，既然R 1、R 2增大，就让它们断开，这样就很容易得出选项B 是正确的；既然R 3、R 4减小，就让它们短路，同样也很容易得出选项D 是正确的。

点评：把对问题的分析推向极端情况，常会收到事半功倍的效果。

1．（2002年全国理综卷）在如图所示的电路中，R 1、R 2、R 3和R 4皆为定值电阻，R 5为可变电阻，电源的电动势为E ，内阻为r 。

设电流表A 的读数为I ，电压表V 的读数为U 。

当R 5的滑动触点向图中a 端移动时（ ）A ．I 变大，U 变小B ．I 变大，U 变大C ．I 变小，U 变大D ．I 变小，U 变小【解析】由图易知R 5的滑动触点向a 端移动时R 5有效电阻单调变小，引起电路中各量的变化也是单调的。

设滑动触点到达a 点，则R 5被短路，（极值法），并联部分等效于一根导线，则外电阻变小，路端电压U 变小，从而可排除选项B 、C 。

电流表所在支路被短路，则电流表读数减至零也是变小的，所以应选选项D 。

2．（2001年高考全国理综）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d 。

中学物理力学求极值的常用方法一、知识要点1．极值问题：指极小值和极大值。

注：极值不一定是最值。

2．求极值问题的两个途径：物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。

（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。

（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。

二、应试策略1．用二次函数求极值的方法求极值一元二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），当x=-ab2时，y 有极小值y 极=a b ac 442-，用a>0时y 有极小值，a<0时y 有极大值。

例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车旁边匀建驶过(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V 0t ，2121at s = 得2236t t s -=∆ (1)当s s a b t 2362==-=时，△S 极=ma b ac 6460442322=⨯--=-或m t t s 62362=-=∆ (2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t’=4s 。

v t =at’=12m/s答案：(1)2S ，6m ；(2)12m/s 。

---可以利用配方法求解点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。

2．利用一元二次方程根的判别式求极值将二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2－4aC≥0，x 有实数解，若y≥A ，则y min ＝A ；若y≤A ，则y max ＝A 。

Δ≤0，方程无实数解。

例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。

高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。

一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。

解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

极值法——处理物理问题的基本思维方法作者：潘淑贤熊志权来源：《广东教育·高中》2009年第11期物理极值问题指的是某一物理现象发展、变化的趋势.极值求解问题方法有两种,一种是偏重于通过分析物理现象发生的过程,从物理概念和规律中寻找结果的“物理方法”,一种是侧重通过函数分析和数学归纳的“数学方法”. 一般而言,用物理方法求极值能体现物理过程,但物理方法对物理规律和概念理解要求较高,而用数学方法求极值思路严谨,对数学处理物理问题能力要求较高.一、取物理量的极值分析物理问题就物理方法而言,一般是以概念、规律为依据,求出所研究问题的一般规律,然后再分析、讨论临界值、特殊值和极限值.在物理定律成立的条件下,我们可以把某个物理量推向无穷大或无限小后,对问题作出分析和判断.在中学物理中,很多题通过正常的方法解比较繁琐甚至无法解出,如取物理量的极值去求解却能迎刃而解,特别在定性分析某些物理量变化时,事半功倍.例1. 竖直放置的一对平行金属板的左极板上用绝缘线悬挂了一个带正电的小球,将平行金属板按图1所示的电路图连接,绝缘线与左极板的夹角为θ.当滑动变阻器R的滑片在a位置时,电流表的读数为I1,夹角为θ1;当滑片在b位置时,电流表的读数为I2,夹角为θ2,则A. θ1B. θ1>θ2,I1>I2C. θ1=θ2,I1=I2D. θ1解析:当滑片滑至R的最左端的极限位置时,两金属板间无电压,根据平行板中E=可知此时两版间电场强度为0,所以小球不受电场力,θ变为0,角度最小.而无论滑片在任何位置,与电流表连接的回路电阻没有改变,所以选D.例2. 假设物体所受空气阻力大小不变,以初速度v1竖直向上抛出,物体经过时间t1达到最高点,再经过时间t2物体最高点落回抛出点时,速度变为v2,则A. v2v1,t2>t1C. v2>v1,t2t1解析:假定空气阻力大小十分接近物体重力,物体到达最高点速度减为零,一旦它开始下落,由于受到的几乎全是平衡力作用,它下落时加速度极小,则下落时间将趋近于无穷大.根据v2=2as可知,上升与下降的位移为一常数,下降的加速度比上升的加速度要小,故下落过程中速度变小,故选D.分析物理过程,找出临界条件,这也是处理较为复杂的物理问题的思维方式.常见的临界条件有:静力学中的临界平衡;机车运动中的临界速度;碰撞中的能量临界、速度临界、位移临界;电磁感应中的动态问题的临界速度或加速度;光学中的临界角;光电效应中的极限频率;带电粒子在磁场中运动的边界条件;电路中电学量的临界转折等.例3. 如图2所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上.现给中间的小球B一个水平初速度v0,方向与绳垂直.小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长.求:运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ.解析:根据对称关系,由动量守恒定律和机械能守恒定律mv02=2×mvA2+mvB2可知,当小球A的动能最大时,小球B的动能必须最小,即速度为零.A的速度大小变化是由于AB间绳子拉力对A做功引起的,当绳子无拉力或者拉力与A球速度垂直时,A球速度达到最大.因为两球的速度不可能达到相同,所以在AC有碰撞前绳子必有拉力.那么由于绳子拉力不再做功,所以绳子拉力与A球速度u方向必定垂直,如图3所示,这就是一种极限思维方式.沿v0方向动量守恒:mv0=2mvcos(90°-).系统机械能守恒:mv02=2×mv2.A球此时的动能:EKA=mv2 .由此可解得,小球A的最大动能为EKA=mv02,此时两根绳间夹角为θ=90°.二、用数学方法求物理问题极值“应用数学处理物理问题的能力”是高考物理考试大纲中对考生的五种能力要求之一,而大多都体现在函数求极值方面.这要求考生与实际物理过程与数学知识进行灵活的结合,充分发挥数学的作用,用数学语言描述实际现象的过程,对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式,而且在内容上能表述得深刻、精确与简捷.此方法解决极值物理问题的基本思路是根据问题所描述的物理现象,应用有关的物理概念和规律,列出有关物理量之间的函数关系式,转化成单纯的函数求最值的方法,但在求极值过程中要考虑物理条件的约束,如时间、质量和动能等不可能为负值,碰撞过程机械能不增加,同一直线的追赶问题后者速度不能越前者,还有题目本身的几何、时间、空间约束等.通常涉及到的主要数学函数有:基本不等式、二次函数、三角函数、几何关系.采用的方法主要有:凑项构成基本不等式、与圆有关的极值、点到直线的距离最短、二次函数判别式和直接求导数等.1. 利用基本不等式求极值.如果a,b为正数,那么有:a+b≥2,当且仅当a=b时,上式取“=”号.推论:①两个正数的积一定时,两数相等时,其和最小.②两个正数的和一定时,两数相等时,其积最大.例4. 为研究静电除尘,有人设计了一个盒状容器,容器侧面是绝缘的透明有机玻璃,它的上下底面是面积A=0.04m2的金属板,间距L=0.05m,当连接到U=2500V的高压电源正负两极时,能在两金属板间产生一个匀强电场,如图4所示.现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内,每立方米有烟尘颗粒1013个,假设这些颗粒都处于静止状态,每个颗粒带电量为q=+1.0×10-17C,质量为m=2.0×10-15kg,不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力,并忽略烟尘颗粒所受重力.求合上电键后除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功.解析:设烟尘颗粒下落距离为时,空间剩余粒子数为:n′=NV′=NA(L-x).每个粒子的动能为:即W0=△EK即qx=mv2.容器内烟尘颗粒的总动能为EK=mv2 NA(L-x)=x(L-x).当x=L-x, EK有最大值,所以,EKmax=NAqUL.2. 利用二次函数极值性质求极值.(1)对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,(a≠0),则当x=-时,y取极值为ym=;例5. 如图5所示,电流表为理想电表,电源电动势E=6V,内阻r=1Ω ,滑动变阻器的最大阻值R0=11Ω,固定电阻R=3Ω.求变阻器滑动触头P由a端向b端滑动过程中,电流表示数的最小值是多少?解析:设滑动变阻器aP 间的电阻为Rx,代入数据后,aP间的电压为:Uap=I总×=.根据欧姆定律有:I==.根据二次函数求极值关系有:当Rx=6时,分母取最大值,则电流有最小值I=0.25A.3. 利用三角函数的性质求极值.(1) 形如“f(θ)=asinθ+bcosθ”的极值类型,一般先将函数处理为:f(θ)=sin(θ+α)形式,其极值点为:θ0=tan-1().(2)如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的有界性求极值.若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式,可变为y=Asin2α.例6. 水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0≥μA. F先减小后增大B. F一直增大C. F的功率减小D. F的功率不变解析:则由平衡条件得:mg=N+Fsinθ,f=μN=Fcosθ,两式联立解得:F==,在定义范围内,可见F有最小值, F先减小后增大.F的功率P=Fvcosθ==,可见θ在从0逐渐增大到90°的过程中功率P逐渐减小.故选AC.4. 利用矢量三角形求极值.当物体受三力平衡时,三力将构成首尾相连的三角形,利用点到直线的垂直线段最短可求极值.例7. 如图7所示的电灯,用细绳OB将它偏离竖直方向,使电线AO跟天花板成θ角,今保持θ角不变,改变OB的方向,问OB在什么方向上其受力最小?解析:从图中可以看出,将重力mg分解为F1和F2,当OB绳方向改变时与F2平行的那条虚线的位置是不变的,F1的矢量总是在这条线上移动.由几何知识可知,由一点到一条直线作的诸线段中以垂线为最短,所以只有当F1垂直于F2时,也就是OB跟OA相垂直时,OB绳受到的拉力最小,且Fmin=m gcosθ.随堂练习1. 如图8所示,在光滑的水平面上,放着两块长度相同,质量分别为M1和M2的木板,在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块,如图所示.开始时,各物均静止.今在两物块上各作用一水平恒力F1、F2,当物块与木板分离时,两木板的速度分别为v1、v2.物块与两木板之间的动摩擦因数相同.下列说法中正确的是A. 若F1=F2,M1>M2,则v1>v2B. 若F1=F2,M1v2C. 若F1>F2,M1=M2,则v1>v2D. 若F1v22. 如图9所示,细绳AO,BO等长,A点固定不动,开始时两绳垂直,在手持B点沿圆弧向C点缓慢运动过程中,绳BO的张力将A. 不断变大B. 不断变小C. 先变小再变大D. 先变大再变小3. 如图10所示,某人站在距平直公路h=50米的B点,一辆汽车以v0=10m/s的速度沿公路由A向C行驶,当人与汽车相距d=200米时,他开始匀速跑动.求:人与汽车相遇所需的最小速度和奔跑方向.4. 如图11所示,R为电阻箱,V为理想电压表.当电阻箱读数为R1=2Ω时,电压表读数为U1=4V;当电阻箱读数为R2=5Ω时,电压表读数为U2=5V.求:当电阻箱R读数为多少时,电源的输出功率最大? 最大值Pm为多少?5. 如图12所示,在方向竖直向下的匀强电场中,电场强度大小为E,一个带负电-q,质量为m 且重力大于其电场力的小球,从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑,若小球能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动,问点A的高度h至少应为多少?参考答案1. BD解析:用极值方法去解.将M1>M2极值化,认为M1非常的大,当物块从左端运动到右端时,木板几乎不动,获得速度很小;将F1>F2极值化,对物块认为a1远大于a2,对物块产生的加速为F1远大于F2,作用时间很短,使木板获得较小速度.2. A解析:利用矢量三角形求极值,当FB与FA垂直时,FB取最小值.3. vm=2.5m/s,与d成90°方向奔跑.解析:设在P点相遇,相遇时间为t,人沿BP运动,速度为v,由正弦定理知:=,sina==.4. Pm=9W.解析:先求出电源电动势和内阻,再利用基本不等式或者二次函数求极值,当R=r=1 Ω时P有最大值.5. h=R.解析:小球恰能通过圆轨道最高点做圆周运动,取临界条件mg-qE=m.责任编校李平安。

【高中物理】高考物理解题方法极值法极值法一、方法简介通常情况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程复杂，很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断.但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论.像这样将问题从一般状态推到特殊状态进行分析处理的解题方法就是极端法.极端法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确.用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采用什么方法处理.具体来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再去分析待分析问题的变化规律.其实质是将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，以实现对问题的快速判断.通常可采用极端值、极端过程、特殊值、函数求极值等方法.二、典例分析1.极端值法对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论.【例1】如图所示，电源内阻不能忽略，R1=10Ω，R2=8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A;当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是A.0.27AB.0.24AC.0.21AD.0.18A【解析】开关S分别扳到位置1和2时，根据闭合电路欧姆定律可得，电源内阻R的数值未知，但其取值范围尽然是，所以，当R=0时，I2=0.25A;当R→∞时，I2→0.2A.故电流表示数的变化范围是0.2A本题的正确选项是BC.2.极端过程法有些问题，对一般的过程分析求解难度很大，甚至中学阶段暂时无法求出，可以把研究过程推向极端情况来加以考察分析，往往能很快得出结论。

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