华师大版七年级下册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
从实际问题到方程（提高）知识讲解
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及代数式的区别与联系；
2. 理解并掌握等式的两个基本性质；
3. 掌握方程的变形规则并能解简单的方程.
【要点梳理】
【从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】
要点一、等式
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边都加（或减去）同一个数（或整式），所得的等式仍然成立．即：如果，那么 (c表示任意数或整式) .
等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得的等式仍然成立.即：
如果，那么；如果，c≠0，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式
不一定成立；如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立；
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【从算式到方程一、方程的有关概念】
要点二、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
5．方程的变形规则：
方程两边都加（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变．
方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.
6．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
要点诠释：
移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项.
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．（2014秋•越秀区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）
A. x+y=1
B. x2﹣x=1
C.+1=3x
D.+1=3
【答案】C
解：A、是二元一次方程，故本选项错误；
B、是二元二次方程，故本选项错误；
C、符合一元一次方程的定义，故本选项正确；
D、是分式方程，故本选项错误．
【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数．
2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．
A．2x-1＝3 (2，-1) B．51
1
8
x
x
+
=- (3，-3)
C. (x-1)(x-2)＝0 (1，2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)
【答案】C.
【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．
【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．
举一反三：
【变式】（2015•大连）方程3x+2（1﹣x）=4的解是（）
A．x=B．x=C．x=2 D．x=1
【答案】C．
类型二、等式的性质
3．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．
(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．
(2)若
1
6
3
x
-=，则x＝________．
(3)1
313
2
x y y
-=-，则
1
1
2
x+＝________．
(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．
【思路点拨】根据等式的基本性质观察式子进行判断．【答案与解析】
解：(1) 5 ；根据等式性质1，等式两边同时加上5．
(2)
1
18
-；根据等式性质2，等式两边同时除以-6．
(3) 2 ；根据等式性质1，等式两边都加上(1+3y) ．
(4) –by；根据等式性质1，等式两边都加上-by．
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里？
（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.
（2）由9x=-4, 得
9
4
x=-.
（3）由5=x-3, 得x=-3-5.
（4）由3241
1
55
x x
-+
=-，得3x-2=5-4x+1.
(5)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
(6)由3721
2
23
x x
x
-+
=+，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.
【答案】（1）不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.
（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.
（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.
（4）不正确，没有注意到分数41
5
x+
中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边
的各项都乘以5时，+1没有变号.
（5）不正确，错在第二步，方程两边都除以x-y，由等式性质2要除以不为零的数. （6）不正确，错在2x没乘以公分母6.
类型三、等式或方程的应用
4．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．
……
(2)通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．
【思路点拨】通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n 个图形每条线上应该是n 个点；再观察对应的等式即可求解． 【答案与解析】
解：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n 个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1；等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n 个图形看作n 个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．
(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n-1)+1＝4n-3 【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系． 举一反三：
【变式】小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km ？设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）
A.10515601260x x +=-
B. 10515601260x x -=+
C. 10515601260x x -=-
D. 1051512
x x +=-
【答案】A
类型四、利用方程的变形规则解方程
5．解方程：1
2
(31)37
x
x --+（12）= 【答案与解析】
解：方程两边都乘以21，得7(12)32(31)x x --=⨯+ 乘法分配律乘开，得 714186x x -+=+ 移项，得 413x -=
方程两边都除以-4，得 134
x =-
【总结升华】此题主要考查了利用方程的变形规则解一元一次方程，关键是注意此变形规则的依据是等式的基本性质．【巩固练习】 一、选择题
1．下列各式是方程的是( ). A ．
533x y + B ．2m-3＞1 C ．25+7＝18+14 D ．7
3852
t t -=+ 2．（2015•秦淮区一模）如果用“a=b ”表示一个等式，c 表示一个整式，d 表示一个数，那么
等式的第一条性质就可以表示为“a ±c=b ±c ”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（ ）
A. a •c=b •d ，a ÷c=b ÷d
B. a •d=b ÷d ，a ÷d=b •d
C. a •d=b •d ，a ÷d=b ÷d
D. a •d=b •d ，a ÷d=b ÷d （d ≠0）
3．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x ，则列出的方程应是( )． A ．2x+(70-x)＝196 B ．2x+4(70-x)＝196 C ．4x+2(70-x)＝196
D ．2x+4(70-x)＝
196
2
4.已知关于y 的方程324y m +=与41y +=的解相同，则m 的值是（ ）. A ．9 B ．-9 C ．7 D ．-8
5. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的
10
8
）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）.
A ．x ·40%×108=240
B ．x （1+40%）×108=240
C ．240×40%×108=x
D ．x ·40%=240×10
8
6. 将
103
.001.05.02.0=+-x
x 的分母化为整数，得( )． A ．
1301.05.02=+-x
x
B ．1003
505=+-x x C ．100301.05.020=+-x
x
D ．13505=+-x x 二、填空题 7．（2014•嘉峪关校级期末）在 ①2+1=3，②4+x=1，③y 2﹣2y=3x ，④x 2﹣2x+1中，方程有 （填序号）
8．已知x=3是方程2
2(1)6x m x +-=的解，则=m ________.
9. 如果关于x 的方程（a 2-1）x=a+1无解，那么实数a= .
10.将方程
6
3
242-=
+x x 的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x －3)，这种变形的根据是_____ _．
11.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是x ，求原数，则可列方程为__________________. 12. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为________． 三、解答题
13.（2014秋•忠县校级月考）下列方程的变形是否正确？为什么？ （1）由3+x=5，得x=5+3． （2）由7x=﹣4，得x=．
（3）由
，得y=2．
（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3． 14．阅读理解：
若p 、q 、m 为整数，且三次方程x 3+px 2+qx+m=0有整数解c ，则将c 代入方程得：c 3+pc 2+qc+m=0，移项得：m=﹣c 3﹣pc 2﹣qc ，即有：m=c×（﹣c 2﹣pc ﹣q ），由于﹣c 2﹣pc ﹣q 与c 及m 都是整数，所以c 是m 的因数．上述过程说明：整数系数方程x 3+px 2+qx+m=0的整数解只可能是m 的因数．例如：方程x 3+4x 2+3x ﹣2=0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x 3+4x 2+3x ﹣2=0进行验证得：x=﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解． 解决问题：
（1）根据上面的学习，请你确定方程x 3+x 2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？
（2）方程x 3﹣2x 2﹣4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．
15.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？ 16.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：
(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式． 【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】D.
【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程．A 、B 不是等式；C 中没有未知数． 2.【答案】D . 3.【答案】B.
【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数＝196． 4.【答案】A.
【解析】由41y +=得3y =-，将其代入324y m +=可得：9m =．
5.【答案】B.
【解析】标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；实际售价＝标价×打折率． 6.【答案】D.
【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质．
二、填空题
7. 【答案】②、③
【解析】∵①不含未知数，①不是方程；∵②、③含有未知数的等式，②、③
是方程；④不是等式，④不是方程.
8.【答案】-3
【解析】将x ＝3代入原方程得183(1)6m +-=，所以3m =-．
9. 【答案】-1
【解析】∵方程（a 2-1）x=a+1无解，∴a 2-1=0，且a+1≠0，解得：a=1． 10.【答案】12， 等式的性质2 11.【答案】x x +=++40098)410(3
【解析】 原数应表示为：104x +，再根据题意即可得出答案． 12.【答案】 (n+2)2-n 2＝4(n+1)
【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数．即：32-12＝4×2，42-22＝4×3，52-32＝4×4，62-42＝4×5，…．设n(n ≥1)表示自然数，把第一个等式中的l 换成n ，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)2-n 2＝4(n+1)，就是第n 个等式．
三、解答题 13.【解析】 解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确， ∵方程左边减3，方程的右边加3， ∴变形不正确； （2）由7x=﹣4，得x=，变形不正确， ∵左边除以7，右边乘，
∴变形不正确；
（3）由
，得y=2，变形不正确，
∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确；
（4）由3=x ﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确， ∵左边加x 减3，右边减x 减3， ∴变形不正确．
14.【解析】（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7
的因数只有：1，﹣1，7，﹣7这四个数．
（2）该方程有整数解．方程的整数解只可能是3的因数，即1，﹣1，3，﹣3，将它们分别代入方程x 3﹣2x 2﹣4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解．
15.【解析】∵ 0.45×10+0.80×(20-10)＝12.5，12.5＜14，
∴ 老李家六月份用水超过了20吨．
设老李家六月份用水x 吨，根据题意得 0.45×10+0.80×(20-10)+1.5(x-20)＝14．
16.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n 个等式，首起数字是n ，第2个数的分子是
n ，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份． 如图所示：
555566⨯=-． (2)11
n n
n n n n ⨯=-
++
解一元一次方程（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 了解一元一次方程及其相关概念，熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依
据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 会求解含字母系数的一元一次方程及含绝对值的一元一次方程. 【要点梳理】
要点一、一元一次方程的有关概念
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1．④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a ≠0，a,b 是常数) . （3）一元一次方程的最简形式是： ax ＝b （其中a ≠0，a,b 是常数）.
要点二、解一元一次方程的一般步骤
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点三、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，然后再分类讨论：
(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a
=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知下列方程：①2
10x +=；②x ＝0；③
13x x +=；④x+y ＝0；⑤623
x
x =-；⑥0.2x ＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中一元一次方程的个数是( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】B
【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；⑦经化简后为-2＝-2，故它也不是一元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．
【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②经过整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）． 举一反三：
【变式】（2014秋•莒县期末）已知x=5是方程ax ﹣8=20+a 的解，则a= ． 【答案】7
把x=5代入方程ax ﹣8=20+a 得：5a ﹣8=20+a ， 解得：a=7． 故答案为：7．
类型二、去括号解一元一次方程
2. 解方程：112
[(1)](1)223
x x x --=- 【答案与解析】
解法1：先去小括号得：11122
[]22233x x x -
+=-
再去中括号得：11122
24433x x x -+=-
移项，合并得：511
1212x -=-
系数化为1，得：11
5
x =
解法2：两边均乘以2，去中括号得：14
(1)(1)23x x x --=-
去小括号，并移项合并得：511
66
x -=-，
解得：11
5
x =
解法3：原方程可化为：112
[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-
去中括号，得1112
(1)(1)(1)2243
x x x -+--=-
移项、合并，得
51
(1)
122
x
--=-
解得
11
5 x=
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
3．解方程：1111
11110 2222
x
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫
----=
⎨⎬
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
⎩⎭
．
【答案与解析】
解法1：(层层去括号)
去小括号1111
1110 2242
x
⎧⎫
⎡⎤
----=
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭
，
去中括号1111
110 2842
x
⎧⎫
----=
⎨⎬
⎩⎭
，
去大括号
1111
10 16842
x----=，
移项、合并同类项，得
115
168
x=，系数化为1，得x＝30．
解法2：(层层去分母)
移项，得1111
1111 2222
x
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫
---=
⎨⎬
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
⎩⎭
，
两边都乘2，得111
1112 222
x
⎡⎤
⎛⎫
---=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，
移项，得111
113 222
x
⎡⎤
⎛⎫
--=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，
两边都乘2，得11
116 22
x
⎛⎫
--= ⎪
⎝⎭
移项，得11
17 22
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，
两边都乘2，得1
114 2
x-=，
移项，得1
15 2
x=，
系数化为1，得x＝30．
【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．类型三、解含分母的一元一次方程
4．(2015.三台县期末)解方程：
121
3 0.20.5
x x
+-
+=
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】
解：将分母化为整数得：10102010
3 25
x x
+-
+=
去分母，得：50x+50+40x-20=30
移项，合并得：x=0．
【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，移项合并，把系数化为1，求出解.
举一反三：
【变式】解方程0.40.90.30.2
1
0.50.3
y y
++
-=．
【答案】
解：原方程可化为4932
1 53
y y
++
-=．
去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得 12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得 2y＝3．
系数化为1，得
3
2
y=．
类型四、解含绝对值的方程
5．解方程：|x-1|+|x-3|=3
【思路点拨】分别讨论①x＜1，②1＜x＜3，③x＞3，根据x的范围去掉绝对值符号，解方程即可．
【答案与解析】
解：当x＜1时，原方程就可化简为：1-x+3-x=3，解得：x=0.5；
第二种：当1＜x＜3时，原方程就可化简为：x-1-x+3=3，不成立；
第三种：当x＞3时，原方程就可化简为：x-1+x-3=3，解得：x=3.5；
故x的解为0.5或3.5．
【总结升华】解含绝对值的方程的关键，就是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，把它化为为一般的方程，从而解决问题，注意讨论x的取值．
举一反三：
【变式】关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，求a的值．
【答案】
解：①若|x-2|-1=a，
当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；
当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；
②若|x-2|-1=-a，
当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；
当x ＜2时，2-x-1=-a ，解得：x=a+1，a ＜1； 又∵方程有三个整数解，
∴可得：a=﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a ≥0． 即a 只能取1．
类型五、解含字母系数的方程
6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】
解：原方程可化为：()1m n x -=
当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1
x m n
=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．
【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．
【一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】 举一反三：
【变式】若关于x 的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k 的值. 【答案】
解：∵原方程有解，∴ 40k -≠ 原方程的解为：6
4
x k =
-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10
答：自然数k 的值为：5，6，7，10.
【巩固练习】
一、选择题
1．若方程（m 2-1）x 2-mx -x+2=0是关于x 的一元一次方程，则代数式|m-1|的值为（ ）.
A ．0
B ．2
C ．0或2
D ．-2 2．（2015秋•榆阳区校级期末）关于x 的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（ ）
A.-2
B.
43 C.2 D. 4
3
- 3．下列说法正确的是 ( ).
A ．由7x ＝4x -3移项得7x -4x ＝-3
B ．由
213
132
x x --=+去分母得2(2x -1)＝1+3(x -3) C ．由2(2x -1)-3(x -3)＝1去括号得4x -2-3x -9＝4
D ．由2(x -1)＝x+7移项合并同类项得x ＝5 4．将方程
211
123
x x ---=去分母得到方程6x -3-2x -2＝6，其错误的原因是( ).
A ．分母的最小公倍数找错
B ．去分母时，漏乘了分母为1的项
C ．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误
D ．去分母时，分子未乘相应的数
5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：
11222y y -
=+■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是53
y =，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6. “△”表示一种运算符号，其意义是2a b a b ∆=-，若(13)2x ∆∆=，则x 等于（ ）. A ．1 B ．
12 C ．3
2
D ．2 7.关于x 的方程(38)70m n x ++=无解，则mn 是（ ）. A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 二、填空题
8. 当x= _____ 时，x －
31x
+的值等于2. 9．已知关于x 的方程的3322
x a x -=+解是4，则2
()2a a --=________．
10．若关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a 的值是 ．
11．（2014秋•高新区校级期末）如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x ﹣2的值是 ．
12．a 、b 、c 、d 为有理数，现规定一种新的运算：a b
ad bc c d =-，那么当2418
15
x =-时，则x ＝______．
13. 设a ，b 是方程||2x -1|-x|=2的两个不相等的根，则22
a b a b
++的值为 .
三、解答题
14．解下列方程: （1） 521042
345102
y y y --+-
=-+
． （2） 111233234324
x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．
（3）
0.150.1330200.30.1
10.07300.2
x x x +++-=+.
15. 解关于x 的方程：
（1）48x b ax +=-；（2）(1)(1)(2)m x m m -=--； （3）(1)(2)1m m x m --=-.
16. （2015•裕华区模拟）定义一种新运算“⊕”：a ⊕b=a ﹣2b ，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．
（1）求（﹣3）⊕2的值；
（2）若（x ﹣3）⊕（x+1）=1，求x 的值．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A
【解析】由已知方程，得（m 2-1）x 2-（m+1）x+2=0．∵方程（m 2-1）x 2-mx -x+2=0是关于x 的一元一次方程，∴m 2-1=0，且-m -1≠0，解得，m=1，则|m -1|=0．故选A ． 2.【答案】C ．
【解析】解第一个方程得：x=﹣，
解第二个方程得：x=
∴
=﹣
解得：k=2.
3．【答案】 A ．
【解析】由7x ＝4x -3移项得7x -4x ＝-3；B ．
213
132
x x --=+
去分母得2(2x -1)＝6+3(x -3)；C ．把2(2x -1)-3(x -3)＝1去括号得4x -2-3x+9＝1；D ．2(x -1)＝x+7，2x -2＝
x+7，2x -x ＝7+2，x ＝9 4．【答案】C 【解析】把方程
211
123
x x ---=去分母，得3(2x -1)-2(x -1)＝6，6x -3-2x+2＝6与6x -3-2x -2＝6相比较，很显然是符号上的错误．
5．【答案】B
【解析】设被污染的方程的常数为k ，则方程为11222y y k -
=+，把5
3
y =代入方程得1015326k -=+，移项得5110
623
k -=+-，合并同类项得-k ＝-2，系数化为1得k ＝2，故选B ． 6．【答案】B
【解析】由题意可得：“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：
132131∆=⨯-=-，而(13)(1)212x x x ∆∆=∆-=+=，解得：1
2
x =
7．【答案】B
【解析】原方程可化为：(38)7m n x +=-，将“38m n +”看作整体，只有380m n +=时原方程才无解，由此可得,m n 均为零或一正一负，所以mn 的值应为非正数． 二、填空题 8．【答案】2
1
3=x 9．【答案】24
【解析】把x ＝4代入方程，得
34
4322
a -=+，解得a ＝6，从而(-a )2-2a ＝24． 10．【答案】2或3
【解析】由题意，求出方程的解为：314-=-x ax 2)4(-=-x a ， 4
2
--
=a x ，因为解为正整数，所以214a --=-或，即2a =或3． 11.【答案】-6.
【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，
解得：x=﹣4， ∴x ﹣2=﹣6．
12．【答案】3
【解析】由题意，得2×5-4(1-x )＝18，解得x ＝3． 13．【答案】
41
12
【解析】∵||2x -1|-x|=2，∴|2x -1|-x=2或-2，∴|2x -1|=x+2或|2x -1|=x -2， 当2x -1≥0时，2x -1=x+2，解得x=3；当2x -1＜0时，2x -1=-x -2，解得x=﹣
13
； 或当2x -1≥0时，2x -1=x -2，解得x=-1（舍去）；当2x -1＜0时，2x -1=-x+2，解得x=1（舍
去）；∴a=3，b=-1
3
，∴224112a b a b +=+. 三、解答题
14. 【解析】
解：（1）原方程可化为：2
12
y +-=
解得： 4y =-
（2）原方程可化为： 11233
234322
x x x x ⎡⎤⎛⎫-
---=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 移项，合并得： 123943x x x ⎛⎫
-
-=-- ⎪⎝⎭
解得： 22
9
x =- （3）原方程可化为：
15133231
1732
x x x +++-=+
去分母，化简得： 1513x -= 解得： 13
15
x =- 15. 【解析】
解：(1)原方程可化为：(4)8a x b -=+ 当4a ≠时，方程有唯一解：8
4
b x a +=
-； 当4a =，8b ≠-时，方程无解；
当4a =，8b =-时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解． (2)(1)(1)(2)m x m m -=--
当10m -≠，即1m ≠时，方程有唯一的解：2x m =-；
当10m -=，即1m =时，原方程变为00x ⋅=．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．
(3) (1)(2)1m m x m --=-
当1,2m m ≠≠时，原方程有唯一解：1
2
x m =
-； 当1m =时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解； 当2m =时，原方程无解． 16.【解析】
解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7； （2）已知等式变形得：x ﹣3﹣2（x+1）=1， 去括号得：x ﹣3﹣2x ﹣2=1， 移项合并得：﹣x=6， 解得：x=﹣6．
实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题−−−
→分析
抽象方程−−−→求解检验
解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两
边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的
路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】
解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .
解得：x=10.
答：油箱里原有汽油10公斤.
【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票? 【答案】
解：设这个班有x 名学生，根据题意得： 3x+24＝4x-26 解得：x ＝50.
所以3x+24＝3×50+24＝174（张）.
答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．
类型二、行程问题 1.车过桥问题
2. 某桥长1200m ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s ，而整个火车在桥上的时间是30s ，求火车的长度和速度． 【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义． 【答案与解析】
解：设火车车身长为xm ，根据题意，得：
120012005030
x x
+-=
， 解得：x ＝300， 所以
12001200300
305050
x ++==． 答：火车的长度是300m ，车速是30m/s ．
【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：
(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长． (2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． 举一反三：
【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：
6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭
，。
