数学实验讲义4

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第二章 平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学目标：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学过程一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义2．向量的数量积的几何意义3．两个向量的数量积的性质4． 平面向量数量积的运算律二、讲解新课：1、平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅设i 是x 轴上的单位向量，j是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即b a ⋅2121y y x x +=2、向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔02121=+y y x x 3. 向量的长度、距离和夹角公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或||a =长度公式)（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (距离公式)（3） co s θ =||||b a b a ⋅⋅ 222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式) 4、例子例1 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b例2 已知a (1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形例3 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例5 在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 小结：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 课堂练习：第122页练习A 、B课后作业：第123页A 4、5、6。

2024《实验数学》说课稿范文教材《实验数学》是2024年的教材，该教材是为高中学生设计的教材，主要涵盖了实验数学领域的知识。

具体到本节课《比例尺》是该教材的一部分，是在学生已经具备了比和比例的基础上进行教学的，是高中数学领域中的重要内容。

教学目标本节课的教学目标主要从以下三方面考虑：1. 认知目标：理解比例尺的意义，掌握数值比例尺和线段比例尺的应用。

2. 能力目标：培养学生归纳、概括的能力，在比例尺的相互转换中进行思考和解决问题。

3. 情感目标：让学生体会数学知识在生活中的应用，增强他们对数学的兴趣和喜爱。

教学重难点在深入研究教材的基础上，确定了本节课的重点是：理解比例尺的意义，能够根据比例尺求图上距离或实际距离。

难点是：会求一幅图的比例尺，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。

教法学法为了使学生更好地理解和应用比例尺的概念，本节课采用了以下教法和学法：1. 教法：引导探究法，通过引发学生的好奇心和探索欲望，帮助他们主动地发现、理解和应用比例尺。

2. 学法：自主学习法，让学生在指导下自主探索比例尺的相关知识，并通过合作交流法来促进彼此之间的学习和理解。

教学准备为了更好地展示教学内容，本节课采用多媒体辅助教学，使用图片和图表等资源来直观呈现教学素材。

这样可以激发学生的学习兴趣，提高教学效率。

教学过程本节课的教学过程主要包括以下几个环节：1. 引入新知：通过一个有趣的问题引发学生思考，让他们意识到比例尺在现实生活中的应用。

2. 检验课前自学成果：让学生以小组合作的形式讨论课前预习的内容，并对课堂问题进行讨论和解答。

3. 探究新知，突破难点：通过展示和讨论不同类型的比例尺，让学生理解比例尺的意义和应用方法。

4. 实际运用：以例题为基础，让学生尝试将线段比例尺转化为数值比例尺，并通过巩固练习来提高应用能力。

5. 总结归纳：学生通过讨论和总结，对学习到的知识点进行整理和梳理。

板书设计为了增强教学的直观性和吸引学生的注意力，板书设计应简洁明了。

[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y','x(0)=0,y(0)=1')
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二，微分方程的解法之数值方法
• 对于大量的微分方程，只能得到其数值解， 一般而言，得到的解是方程的一个特解的 近似。求微分方程数值解的方法很多，比 如：欧拉法，龙格—库塔法等。其基本思 想就是通过已知点得到函数值，并用该函 数值代替一个小区间上函数的导数，得到 在该区间上的一条直线，并用该直线作为 方程特解的近似。有兴趣的同学可以参考 微分方程数值解方面的著作。
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y(0) 1, y' (0) 0
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二，微分方程的解法之解析方法 解析解
dsolve('eqn1','eqn2', …, ' c1 ',…, ' var1 ',…)
微分方程组
初值条件
Dy，y ' ' D2y
变量组
注意：① y '
‘t’。
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② 自变量名可以省略，默认变量名
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注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x 均为n维向量，m-函数文件中的待解方程组 应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微 分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.
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注意1
dx(t ) f1 (t , x (t ), y (t )) dt dy(t ) f 2 (t , x (t ), y (t )) dt

2012年3月数 学 实 验Mathematics Experiment 实验一 一元函数及其图形本实验的目的是通过图形来认识函数，并运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性，建立数形结合的思想.Mathematica 作图主要命令如下：1.画散点图的命令为ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]或者 ListPlot[{y1,y2,…yn},选项] 命令ListPlot 的选项主要有两个:(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来; (2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小. 2.画区间[b a ,]上函数)(x f y =的图形的命令为Plot[f,{x,a,b}]3.画参数方程],[,)(,)(b a t t g y t f x ∈==所表示曲线的图形的命令为ParametricPlot[{f ,g},{t,a,b}]4. 隐函数作图命令ImplicitPlot这里同样要先打开作图软件包, 输入<<Graphics\ImplicitPlot.m命令为ImplicitPlot[隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项]1.1 函数及其图形实验1 给定函数24325555)(xx x x x x f +++++=(1) 画出)(x f 在区间[-4,4]上的图形； （2）画出区间[-4,4]上)(x f 与)(sin x xf 的图形.解：(1) 输入f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2);g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]输出(2) 输入g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]输出实验2 观察函数xy 1sin =的图形.解： 输入Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}];输出从图中可以看到函数xy sin=在0=x 附近来回振荡.请解释其原因.实验3 （参数方程的图形）绘出以下参数方程的图形.⎪⎩⎪⎨⎧==tt y tt x 33sin 2)(cos 2)( 解：输入x[t_]=2Cos[t]^3 ；y[t_]=2Sin[t]^3；ParametricPlot[{x1[t],y1[t]},{t,0,2Pi}]输出实验4 画出分段函数⎪⎩⎪⎨=≠=0,00,sin )(2x x xx x f 的图形. 解： 输入f[x]:=x^2Sin[1/x]/;x ≠0; f[x]:=0 /; x=0;Plot[f[x],{x,-0.8,0.8},PlotRange →{-0.08,0.08}]输出实验5 分别画出坐标为)10,...,2,1(,)4,(,3222=+i i i i i i 、）（的散点图，并画出折线图. 解：输入t1=Table[i^2,{i,10}];g1=ListPlot[t1,PlotStyle →PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t1,PlotJoined →True]; Show[g1,g2]t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];g1=ListPlot[t2,PlotStyle →PointSize[0.02]];g2=ListPlot[t2,5PlotJoined →True]; Show[g1,g2]输出1.2 函数性质的研究给定二维曲线图形，如何判断一个图形是某一个函数的图形已在高等数学中介绍.若其是某一个函数的图形（一个x ,对应图形上的一点），我们如何从图形观察函数的单调性、奇偶性、周期性等？实验6 研究函数)3(log 3)(35x e x x f x -++=在区间[-2,2]上的图形特性.解： 输入Plot[x^5+3E^x+Log[3,3-x],{x,-2,2}]输出实验7 判断函数x x x f ππ2cos 2sin )(+=是否为周期函数？ 解： 输入Plot[Sin[2Pi x]+Cos[2Pi x],{x,-4,4}]输出实验8 判断函数133)(23+++==x x x x f y 的反函数的存在性.若存在，求反函数的表达式，并画出其图形. 解：输入Solve[y==x^3+3x^2+3x+1,x] 得反函数为31x y +-=再输入Plot[-1+x^(1/3),{x,-3,3}]; 输出实验9 制作函数cx sin 的图形动画，观察参数C 对函数图形的影响.解：输入Manipulate[Plot[Sin[cx],{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1,1}],{c,1,4,1/3}] 输出 ……1.3 关于函数图形的进一步研究利用Mathematica ，我们可以画出一些难以想象的图形. 实验10 画出以下参数方程的图形（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=tt t y t t t x sin 7)511sin(5)(cos 7)511cos(5)( (2)⎩⎨⎧==tt t y t t t x 3cos sin )(5cos cos )((3)⎨⎧-+=-+=tt t t y t t t t x sin )4cos 2sin 1()(cos )4cos 2sin 1()(解：分别输入（1）ParametricPlot[{5 Cos[-11/5 t]+7 Cos[t],5 Sin[-11/5 t]+7 Sin[t]},{t,0,10 Pi},AspectRatio→Automatic] （2）ParametricPlot[{Cos[5t]Cos[t],Sin[t]Cos[3t]},{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic] （3）ParametricPlot[(1+Sin[t]-2Cos[4t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic,Axes→None]输出，得实训：1. 把正切函数xtan和反正切函数xarctan的图形及其水平渐近线2/,2/ππ=-=yy和直线xy=用不同的线型画在同一个坐标系内.2.观察函数的叠加, 输入以下命令:a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]a2=Plot[2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}]a3=Plot[x+2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]Show[a1,a2,a3]3.首先回忆一下xsin的性质，研究一个函数xxf sin)(乘以后图形的变化趋势.具体研究步骤如下：(1)在区间[0 ,15]上作出函数x x y x y x y sin ,,321=-==的图形. (2)在区间[0 ,15]上作出函数x x y x y x y sin ln ,ln ,ln 321=-==的图形. (3)任取一个函数)(x f 和一个区间，作出函数)(sin )(21x f y x f y ==和的图形. (4)试给出函数)(sin )(21x f y x f y ==和的图形之间的关系.实验二 极限本实验的目的是通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法.1. Mathematic 求极限的命令如下:Limit[f[x],x->a]Limit[f[x],x->a,Direction->-1]; Limit[f[x],x->a,Direction->+1]; Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1]; Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1].2.1 数列的极限实验1 观察数列｝｛n n 的前100项变化趋势.解：输入t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]];ListPlot[t,PlotStyle →PointSize[0.01]]实验2 利用动画观察当21na n n =∞→时数列的变化趋势.解：输入Clear[tt];tt={1,1/2^2,1/3^2};Animate[tt=Append[tt,N[1/i^2]];ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}] 从输出的图中可以看出所画出的点逐渐接近于x 轴.实验3 研究极限.1512lim 33++∞→nn n解：输入Print[n, " ", Ai, " ",0.4-Ai];For[i=1, i<=15, i++,Aii=N[(2 i^3+1)/(5 i^3+1),10]; Bii=0.4-Aii; Print[i, " ", Aii, " ", Bii]] 输出 nAi0.4-Ai1 0.5–0.1 2 0.414634 –0.0146341 3 0.404412 –0.00441176 4 0.401869 –0.00186916 5 0.400958 –0.000958466 6 0.400555 –0.000555042 7 0.40035–0.00034965 8 0.400234 –0.000234283 9 0.400165 –0.000164564 10 0.40012 –0.000119976 11 0.40009–0.0000901442 12 0.400069 –0.0000694364 13 0.400055 –0.000054615 14 0.400044 –0.0000437286 150.40n0036–0.0000355534观察所得列表可以发现上述极限等于4 实验4 设数列}{n n y x ｝与｛由下式确定：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=====++2,...2,1,2,11111nn n n n n y x y n y x x y x 观察}{n n y x ｝与｛的极限是否存在 解：输入Clear[f, g]; f[x_, y_] := Sqrt[x*y]; g[x_,y_] := (x + y)/2; xn = 1; yn = 2; For[n=2, n<= 100, n++,xN= xn; yN = yn; xn = N[f[xN, yN]]; yn = N[g[xN, yN]];]; Print["x100= ", xn, " y100=", yn]输出x100= 1.45679 y100= 1.456792.2 函数的极限实验5 在区间]4,4[-上作出函数xx x x x f --=339)(的图形, 并研究)(lim x f x ∞→和)(lim 1x f x →解： 输入Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x); Plot[f[x],{x,-4,4}]则输出)(x f 的图形.从图可猜测)(lim ,9)(lim 1x f x f x x →→=不存在.实验6 观察函数x xx f sin 1)(2=当∞→x 时的变化趋势.解：输入f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];则输出)(x f 在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上,逐次取更大的区间, 可以更有力地说明当时, .0)(→x f实验7 考虑第一个重要极限.sin limxx x →输入解：输入Plot[Sin[x]/x,{x,-Pi,Pi}]输出Limit[Sin[x]/x,x->0]实验8第二个重要极限.11lim xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→解： 输入Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity] 输出为e. 再输入Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}]则输出函数xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限.11lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→ 实训： 1. 设数列.12111333nx n+++= 计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.提示: 输入Clear[f];f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}]; xn=Table[f[n],{n,30}]2. 计算极限⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim )1(0 xx ex 2l i m )2(+∞→3sin tan lim)3(xxx x -→ xx x 0lim )4(+→实验三 函数的连续与间断本实验的目的是进一步理解函数连续的概念，熟悉几种间断点的类型与间断点的图形特征.3.1 一元函数连续的概念实验1 考察函数x x f sin )(=在5=x 处的连续性.解：选取几个}{n x 考察当5→n x 时, n x sin 的变化趋势, 依次取,11ln ,1)1(5,155nn nn n n x n x nx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=+=当∞→n 时, 他们的极限均为5.输入命令g1 = ListPlot[Table[Sin[5 + 1/n], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]];g2 = ListPlot[Table[Sin[5 + (-1)^n/Sqrt[n]], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];g3 = ListPlot[Table[Sin[5*n*Log[(1 + 1/n)]], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]];g = Show[g1, g2, g3];则输出相应的)sin ,(n n x x .3.2 不同类型间断点的图形特征下面将说明各种不同类型间断点的图形特征 实验 2 函数xx x f sin )(=在0=x 点处间断，且间断点为可去间断点，请观察其图形特征. 解： 输入Plot[Sin[x]/x,{x,-0.1,0.1}]输出实验3 （跳跃间断点）考虑符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x 在0=x 点处的间断情况解：输入Plot[Sign[x],{x,-2,2}]输出实验4 （无穷间断点）考察函数211)(xx f -=在1±=x 处的间断情况解：输入Plot[1/(1-x^2),{x,-3,3}] 输出实验5 （振荡间断点）考察函数01sin)(==x xx f 在点处的连续性.解：输入Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]输出实训1.观察函数xex f 1)(-=的图形特征，并指出0=x 处的间断类型.2.观察函数11cos )(-=x x f 的图形特征，并指出1=x 点的间断点类型.3.求下列极限：⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim )1(0 x x e x 2l i m )2(+∞→xx xx x x sin cos sin lim)3(2-→ xx x x c o s 11s i n lim )4(-→⎪⎭⎫⎝⎛实验四 一元函数的微分学本实验目的是帮助学生深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义.掌握用Mathematica 求导数与高阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数. Mathematic 命令如下：1.求导数和求微分的命令D[f,x] D[f,{x,n}] D[f,x,y,z,…] Dt[f,x] Dt[f]2.循环语句DoDo[表达式, {循环变量名, 最小值, 最大值, 增量}]当省略增量时, 默认增量为1. 省略最小值时, 默认最小值为1.例如,输入Do[Print[Sin[n*x]],{n,1,10}]则在屏幕上显示Sin[x],Sin[2x],…,Sin[10x] 等10个函数.4.1导数的概念实验1 用定义法求13)(23++-=x xxx f 的导数.解：输入Clear[f];f[x_]=x^3-3x^2+x+1;zlb=Simplify[(f[x+h]-f[x])/h]执行以后得到函数的增量与自变量的增量的比22x 3x 6)x 1(h 3h 1+-+-++再输入df=Limit[zlb,h->0]Plot[{f[x],df},{x,-1.5,3},PlotStyle->{GrayLeve1[0],Dashing[{0.01}]},PlotRange->{-3,2}]输出实验2 作函数71232)(23+-+=x x x x f 的图形和在1-=x 处的切线. 解：输入Clear[f];f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7;plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunction->Identity]; plot2=Plot[f ’[-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3},PlotStyle->GrayLeve1[0.5],DisplayFunction->Identity]; 输出实验3 求函数xy2sin =的导数与bx ax y cos sin =的微分.解：输入D[Sin[2x],x]D t[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants →{a,b}]//Simplify 输出(a Cos[a x] Cos[b x]-b Sin[a x] Sin[b x])实验４ 求由方程0122222=++++-y x y xy x 确定的隐函数的导数.解：输入deq=D[2 x^2-2 x*y[x]+y[x]^2+x+2 y[x]+1 0,x]； Solve[deq1,y'[x]] 输出⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+--->-'])x [y x 1(2]x [y 2x 41]x [y4.2 微分中值定理实验5 对函数),2)(1()(--=x x x x f 观察罗尔定理的几何意义. 解：因为,0)2()1()0(===f f f 由罗尔定理, 存在),1,0(1∈x )2,1(2∈x ,使得.0)()(21='='x f x f (1) 画出)(x f y =与)(x f '的图形, 并求出1x 与.2x输入f[x_]=x*(x-1)*(x-2);g1=Plot[f[x],{x,-1,3},PlotStyle →RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f'[x],{x,-1,3}]; Show[g1,g2]NSolve[f'[x]==0,x] 输出(2) 画出)(x f y =1122.输入t1[x_]=f[0.42265];t2[x_]=f[1.57735]; Plot[{f[x],t1[x],t2[x]},{x,-1,3}]输出实验6 对函数)1ln()(x x f +=在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义.解：(1) 画出)(x f y =及其左、右端点连线的图形;输入Clear[g1,g2]; f[x_]=Log[1+x]; a=0;b=4;g1[x_]:=f[a]+(f[b]-f[a])*(x-a)/(b-a); g2[x_]:=f ' [x]-(f[b]-f[a])/(b-a); Plot[{f[x],g1[x]},{x,a,b}]; (2)画出函数4)0()4()(---'=f f x f y 的曲线图, 并求出ξ使得.4)0()4()(--='f f f ξ输入Plot[g2[x],{x,a,b}]NSolve[f'[x] (f[b]-f[a])/(b-a),x]; (3)画出)(x f y =,它在ξ处的切线及它在左、右端点连线的图形.输入x1=1.4853397382384472; g3[x_]=f[x1]+f ' [x1]*(x-x1); Plot[{f[x],g1[x],g3[x]},{x,a,b}] 输出的图象 4.3 导数的应用实验7已知函数23562332)(x x x x x f -++=,在区间[-3,2]上画出)(x f ,)(,)('''x f x f 的图形，并找出所有的驻点和拐点.解：输入f[x_]=2 x^6+3 x^5+3 x^3-2 x^2;Plot[f[x],{x,-3,2}]; df[x_]=f'[x]; ddf[x_]=f''[x]; Plot[df[x],{x,-2,1}]; Plot[df[x],{x,-0.2,0.5}]; Plot[ddf[x],{x,-2,1}];Plot[{f[x],df[x],ddf[x]},{x,-0.6,0.6},PlotStyle →{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]NSolve[df[x]==0,x]NSolve[ddf[x]==0,x]输出{{x →-1.61612},{x →0.},{x →0.351613}} {{x →-1.23293},{x →0.193431}}实验8 求函数21xx y +=的极值.解： 输入f2[x_]:=x/(1+x^2); Plot[f2[x],{x,-10,10}] Solve[f2' [x]==0,x]输出{{x →-1},{x →1}}实验9 求函数2211xy +=的凹凸区间和拐点.解： 输入f3[x_]:=1/(1+2x^2);Plot[{f3[x],f3'' [x]},{x,-3,3},PlotRange->{-5,2}, PlotStyle->{GrayLeve1[0.01],Dashing[{0.01}]}]gen=Solve[f3'' [x]==0,x]输出｛{x 即得到二阶导数等于0的点是.61±由图知在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-61,和⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,61上二阶导数大于零, 曲线弧向上凹. 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-61,61上二阶导数小于零, 曲线弧向上凸.再输入f3[x]/.gen 输出{3/4,3/4}这说明函数在61-和61的值都是3/4. 因此两个拐点分别是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-43,61和⎪⎪⎭⎫⎝⎛43,61.实训：1.求下列函数的导数: (1) 31+=x ey ; (2))]42ln[tan(π+=x y ;2.求下列函数的微分: (1)xy cos 12-=; (2) )ln(22a xx y ++=3. 求下列函数的高阶导数: (1) ;,sin )100(yx x y 求= (2) ;,cos )10(2yx x y 求=4.求由下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数: (1) ;lne ex xy =+- (2) .ln arctan22y xxy +=5.作出函数)45(,21)(2≤≤-++=x cx x x f 的图形，c 分别取-1，0，1，2，3等5个值，试比较作出的5个图，并从图上观察极值点、驻点、单调区间和凹凸区间.实验五 一元函数积分学本实验的目的是加深理解定积分的概念，深入理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，初步了解定积分的近似计算方法. Mathematic 命令如下：1.计算不定积分Integrate[f[x],x]2.计算定积分Integrate[f[x],{x,a,b}]3.循环语句ForFor[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象] 例如, 输入t=0;For[j=1,j<=10,j++,t=t+j]; t则输出变量t 的最终值1+2+…+10=55.4.求一般方程的近似根的命令FindRootFindRoot[f[x]= =0,{x,a},选项] FindRoot[f[x]= =0,{x,a,b},选项]FindRoot[{f[x,y]= =0,g[x,y]= =0},{x,a},{y,b}]5.1 定积分的概念实验1 利用定积分计算积分dx x ⎰102解：方法：在区间[0,1]中插入1-n 个分点（我们可以均匀的产生，也可以借助随机数任意产生），在一定意义下取得了任意分点与任意的∑=∆ni ii i x f 1)(ξξ计算,即可求得∑=→∆ni ii x f 1)(limξλ的近似值.提高精度的方法是增加分点.输入f[x_]:=x^2;a=0; b=1;n=202;Array[x,{641}];x[0]=a; For[k=1,k ≤6,k++, x[n]=b ; s=0 ; Do [x[i]=(i+Random[])*(b-a)/n,{i,1,n-1}];For[i=0,i<n,i++,delxi=x[i+1]-x[i];c=x[i]+delxi*Random[]; s=s+f[c]*delxi];Print["n=",n, " s=",s];n=n*2] 输出n= 20 s= 0.333163n= 40 s= 0.335524 n= 80 s= 0.332014 n= 160 s= 0.33367 n= 320 s= 0.333349 n= 640 s= 0.333351 所以我们认为dx x ⎰102=0.333实验2 求.)1(532⎰-dx x x解：输入Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]输出18x3x6x59x 106x 53x181512963-+-+-实验3 求.|2|4⎰-dx x解：输入Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]输出45.2 定积分的应用实验4 （平面曲线所围成图形的面积）设)2cos(4)()(cos )2(2-==--x x g e x f xx 和π.计算区间[0，4]上两曲线所围成的平面图形的面积. 解：输入f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]]; g[x_]=4 Cos[x-2];Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle →{RGBClolr[1,0,0],RGBC olor[0,0,1]}]输出再输入FindRoot[f[x]= =g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]= =g[x],{x,2.93}] 输出{x →1.06258} {x →2.93742} 输入NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06,2.93}] 输出4.17386所以，所得面积为17386.4=s实验5 （旋转体的体积）计算由π===x x x x x f ,0sin )(2和所围成图形分别绕x轴、y 轴旋转所得立体的体积. 解：输入f[x_]=x^2*Sin[x];Plot[f[x],{x,0,Pi},PlotStyle →RGBCol or[1,0,0]]输出绕x 轴：Integrate[Pi*f[x]^2,{x,0,Pi}]1/20 π2 (15-10 π2+2 π4)绕y 轴：Integrate[2 Pi*x*f[x],{x,0,Pi}]2 π2 (-6+π2)实训：1.利用定义计算⎰πsin xdx2.设11218113103)(2345++-+-=x x x x x x f 和3256284)(23+-+-=x x x x g ，计算两曲线所围成平面图形的面积. 3.计算由)3(4cos )3(2)(---=x x e x f 和0,5,1===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转所得立体的体积.参考教材及资料：[1] 韩西安，黄希利.数学实验[M].国防工业出版社，2003.9 [2] 李尚志. 数学实验[M].高等教育出版社，2004.[3] A.D.Andrew G.L.Cain S.Crum T.D.Morley .用Mathematica 做微积分实验[M].清华大学出版社，2003.8[4] （美）D.尤金（DonEugene ）.Mathematica 使用指南[M].科学出版社，2002.11 [5] 曾庆柏.高等数学[M].世界图书出版社,2008.[6] 高等数学实验案例库（网络电子教案）。