圆周角 ppt课件

2.一条弧所对的圆周角等于这条弧所 对的圆心角的一半．
3 同弧或等弧所对的圆周角相等 直径（或半圆）所对的圆周角是直 角， 90°的圆周角所对的弦是直 径．
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14
布置作业
P89. 5 6
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15
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D A
O·
B E
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等
C1
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 A
直径．
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C2
C3
·O图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
6
• 分别测量圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
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7
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
2
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9
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝

例题解析
思考
直径所对的圆周角是多少度？９０°的圆周角所对的弦是直径吗？
C1
A
O
B
C2
C3
知识点3 圆周角定理的性质
直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径.
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
性质
随堂练习
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的性质
圆周角定理
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
（3）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（2）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
证明：如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点 D．∵PD过圆心O，
A
B
O
P
D
第三种情况请同学们自行证明
A
B
O
P
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB＝４６°，∴∠AOB=１８０°－２∠OAB＝１８０°－２×４６°＝８８°．∴∠ACB=½∠AOB＝４４°．
第 二十八章 圆
28.2.探究并掌握圆周角定理及其性质.3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及性质.
运用圆周角定理及性质解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.

【点拨】∵∠COD＝90°－β，∴∠OBD＝90°2－β. 又∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD＝90°2－β. ∵∠DOA＋∠ODB＝∠AED， ∴β＋90°2－β＝α，即 2α－β＝90°.
10 已知⊙O中，A、B两点为圆上的点，∠AOB＝80°，则弦 AB所对圆周角为_4_0_或__1_4_0_度.
∵弦 BC 垂直平分半径 OA，
∴OD＝12OA＝12OB，∠BOA＝12∠BOC， ∴∠OBD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠BEC＝60°，∠BAC＝120°， ∴弦 BC 所对的圆周角等于 60°或 120°.
13 如图，点A、B、C、D在⊙O上，点E在对角线AC上， EC＝BC＝DC. (1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数．
夯实基础逐点练
【点拨】苹果的质量等于砝码的质量加游码在标尺上所 对的刻度值，即m苹果＝100 g＋50 g＋5 g＋1.4 g＝156.4 g。 注意，游码在标尺上所对的刻度值为1.4 g而不是1.2 g。 【答案】156.4
整合方法提升练
【点拨】根据天平的调节和使用方法可知，指针右偏， 应向左端移动平衡螺母。 【答案】左
14 【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一 点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC， 交⊙O于点F.求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； 证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B， ∵ DF ∥ BC ， ∴ ∠ ADF ＝ ∠ B ， ∵ ∠ BAC ＝ ∠ CFD ， ∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形．
︵ 4 【中考·吉林】如图，在⊙O 中，AB所对的圆周角∠ACB
︵ ＝50°，若 P 为AB上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度

4．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度 数的___一__半___．
5．(2020·淮安)如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是( C ) A．54° B．27° C．36° D．108°
6. (2020·烟台)量角器测角度时摆放的位置如图所示，
课堂导练
9．(2019·泸州)为安全用电，家庭电路中的空气开关应装 在________线上；空气开关“跳闸”后，受它控制的电 路处于________(填“短路”“断路”或“通路”)状态；试电 笔________(填“能”或“不能”)区分零线与地线。
课堂导练
6．(2019·贵阳)我国的家庭电路有两根进户线，都是从 低压输电线上引下来的。其中一根叫零线，一根叫 ___火__线___，两根进户线之间有___2_2_0___V的电压。
(1) 判断△ABC 的形状：__等__边__三__角__形____.
【思路点拨】由圆周角定理的推论判断△ABC 的形状。
(2) 试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明 你的结论．
【思路点拨】在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD，通过判断 △PAD 的形状得出 PA，PB，PC 之间的数量关系。
C．3α－β＝90°
D．2α－β＝90°
【点拨】∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°. ∴∠DBC＝90°－∠BEO＝90°－∠AED＝90°－α. ∴∠COD＝2∠DBC＝180°－2α. ∵∠AOD＋∠COD＝90°， ∴β＋180°－2α＝90°. ∴2α－β＝90°.
【答案】D
10．圆周角定理的推论：__同___弧___或__等__弧____所对的圆周角相 等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相__等___．

A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
.
15
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
• 回顾：圆周角定理及推论？
• 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（
）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
.
23
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形.
求证：∠BAE＝∠CAD
A
B
E
.
O DC
21
归纳：
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．相 等的圆周角所对的弧相等
推论
1、半圆（或直径）所对的圆周角是
C2
直角。
C1
90°的圆周角所对的弦是直径。
C3
2、圆内接四边形的对角互补。 A
·O
B
.

由圆周角定理可知： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么 它们所对的弧也一定相等。
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
A B O C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P 在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重 合，则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
2.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?

过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2
∠ABD =
=1 ∠COD, 2
●
O
∴ ∠ABC
1 = 2 ∠AOC.
结论 : 同一条弧所对的圆周角等于它所 对圆心角的一半.
3.当圆心在圆周角外部时
提示:能否转化为1的情况?

A
O
C
●
一. 复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 O
.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的
B
C
一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有 一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都
分别相等。
2、圆周角定义:
圆周角
顶点在圆上，并且两边都与 圆相交的角叫做圆周角。
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
(1)
O
D
C
A
A
B
(2) C
A O
D
O

如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°， 则∠BOD的度数是 5500°° ．
课堂小结
类比
圆心角
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
圆周角定理
一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半
圆周角定理 的推论
同弧或等弧所对的 圆周角相等
画龙点睛
∠（B两OC个=条∠ 件A+必∠须C 同时具备，缺一不可） 问同题弧或如等图弧，所O对B，的O圆C都周是角⊙相O等的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD. 0人2生掌就握像圆圆周周角角与，圆无心论角你的位关置系在哪里，大小都是相等的，世界总是公平的。
同弧圆周 顶∠B点AC在与圆∠上BD，C相并等且吗两？边请都说与明圆理相由交.的角叫做圆周角.
等于圆心 角一半
如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝
60°，则∠A的度数为 3300°° ．
︵︵ 如图，圆的两条弦 AB，CD 相交于点 E，且AD＝CB，
∠A＝40°，则∠CEB 的度数为 8800°° ．
智力 大挑战 智力大挑战，有胆你就来！
第一关
第二关
第三关
第四关
01
解：45°，40°，30°．
02
︵︵ 如图，AB＝BC，∠D＝35°，
则∠E＝ 3355°° ．
Hai
二级 如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，求
∠ACB的度数．
解：∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝50°， ∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝40°．
半
拯救 恐龙大作战 有三只调皮的小恐龙，被魔王抓走了， 现在派出我们最勇敢的勇士去拯救他。

∠MAN＜∠MCN，而 ∠MCN=∠MBN，
所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙， 让乙射门.
例3. 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是 否会遇到暗礁。如图A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A， B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
不彻底变革封建制度。列强的破坏， 顽固派的阻挠。
三、维新变法思想
1、维新思想的产生——早期维新思想 2、维新思想的发展——康梁维新思想 3、维新思想的传播——论战 4、维新思想的实践——戊戌变法
1、早期维新思想（19世纪60年代）
（1）背景：
①外国资本主义侵略的加深（民族危机） ② 西方资本主义思想文化和科学文化的不断 传入（来源） ③民族资本主义和民族资产阶级的产生（经济、 阶级基础）
则∠BAC的度数是____7_5_0____1_5_0__。
C
CB
M
MN
O
A
N
OA
B
已知圆内接△ABC中,AB=AC,圆心O到BC距离为3cm,
圆半径为7cm,则腰长AB=__2__1_4__ ,___2___3_5___。
A
A
O B HC
BH
C
O
例1.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已 知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个 人工湖的直径.
⑴背景：
政治上：民族危机加深，掀起瓜分中国高潮 经济上：民族资本主义经济初步发展 思想上：早期维新思想奠定基础 阶级上：资产阶级的壮大
材料二 魏源：“不善师外夷者，外夷制之； 善师四夷者，能制四夷。”“夷之长技三：一 战舰，二火器，三养兵练兵之法。”

关系？
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
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探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？