2018年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1第3讲函数的奇偶性与周期性学案!

- 1 - 第3讲 函数的奇偶性与周期性

最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

知 识 梳 理

1.函数的奇偶性

奇偶性 定义 图象特点

偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.( )

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.

(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是( )

A.y＝x B.y＝ex

C.y＝cos x

D.y＝ex－e－x

解析 A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.

D中函数定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数.

答案 D

3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )

A.－13 B.13 C.12 D.－12 - 2 - 解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝13，则a＋b＝13.

答案 B

4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x<0，x，0≤x<1，则f32＝________.

解析 ∵f(x)的周期为2，∴f32＝f－12，

又∵当－1≤x<0时，f(x)＝－4x2＋2，

∴f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.

答案 1

5.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).

又f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.

答案 3

6.(2017·湖州调研)设a>0且a≠1，函数f(x)＝ax＋1－2，x≤0，g（x），x>0为奇函数，则a＝________，g(f(2))＝________.

解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(2－x＋1－2)＝2－2－x＋1，即g(x)＝2－2－x＋1，∴f(x)＝2x＋1－2，x≤0，2－2－x＋1，x>0，f(2)＝2－2－2＋1＝2－12＝32>0，

∴g(f(2))＝g32＝2－2－32＋1＝2－2－12＝2－22.

答案 2 2－22

考点一 函数奇偶性的判断

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝3－x2＋x2－3； - 3 - (2)f(x)＝lg（1－x2）|x－2|－2；

(3)f(x)＝x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.

解 (1)由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，

即函数f(x)的定义域为{－3，3}，

从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)由1－x2>0，|x－2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg（1－x2）－x.

又∵f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）x＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.

【训练1】 (1)(2017·杭州质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x

C.y＝2x＋12x D.y＝x2＋sin x

(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 - 4 - C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

解析 (1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.

(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；

|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.

答案 (1)D (2)C

考点二 函数奇偶性的应用

【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )

A.－3 B.－1 C.1 D.3

(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.

解析 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.

(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，

所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，

则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.

答案 (1)C (2)1

规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.

(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.

【训练2】 (1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )

A.(－∞，－1) B.(－1，0)

C.(0，1) D.(1，＋∞)

(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________. - 5 - 解析 (1)易知f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a2x，

由f(－x)＝－f(x)，得2x＋11－a2x＝－2x＋12x－a，

即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，

f(x)＝2x＋12x－1，由f(x)>3，得0

(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

则f(x)＝－x2－4x(x<0)，

∴f(x)＝x2－4x，x>0，0，x＝0，－x2－4x，x<0.

答案 (1)C (2)x2－4x，x>0，0，x＝0，－x2－4x，x<0

考点三 函数的周期性及其应用

【例3】 (2016·四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，

又f(x)在R上的周期为2，

∴f(2)＝f(0)＝0.

又f－52＝f－12＝－f12＝－412＝－2，

∴f－52＋f(2)＝－2.

答案 －2

规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.

【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－1f（x），当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.