北师大数学分析法课件

练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1

1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.

CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.

−
������������
<
(������-������)2 8������
成立.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思由于题目中条件比较简单,结论比较复杂,用综合法比较困难, 可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 已知 a,b,c 是不全相等的正数,
=
4.
所以
������-������ ������-������
+
������������--������������≥4,即
1 ������-������
+
1 ������-������
≥
4 ������-������
,
当且仅当b-c=a-b,
即2b=a+c时,等号成立.故选C.
答案:C
题型一
题型二
求证:lg
������+������ 2
+
lg
������+������ 2
+
lg
������+������ 2
>
lg
������
+
lg
������
+
lg
������.
证明:要证
lg
������+������ 2
+
lg
������+������ 2
+
lg
������+������ 2
>
lg
a+lg

证明
思维升华
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论 成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键. (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出 某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结 论，从而使原命题得证.
跟踪训练 已知非零向量 a，b，且 a⊥b，求证：|a|a|＋ ＋|bb||≤ 2. 证明 由 a⊥b 得，a·b＝0，要证|a|a|＋ ＋|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，
123456
解析 答案
题组三 易错自纠
4.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是
A.ac2<bc2 11
C.a<b
√ B.a2>ab>b2
ba D.a>b
解析 a2－ab＝a(a－b)，
∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，
∴a2>ab.
①
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，
解析 P2＝2a＋13＋2 a2＋13a＋42，
(a≥0)，则P，Q的大小
Q2＝2a＋13＋2 a2＋13a＋40，
∴P2>Q2，又∵P>0，Q>0，∴P>Q.
123456
解析 答案
3.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差 中项，则 ax＋cy 等于
A.1
√B.2
C.4 D.6
解析 答案
3.(2018·武汉月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证： a＋b b＋c c＋a
lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 >lg a＋lg b＋lg c.

2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边 AB的中点，并且PA＝PB＝PC. 求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC. 又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB， 且△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC. ∴∠POC＝90°. 即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方 法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解
题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际 证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用 综合法有条理地表述解题过程．
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理 及运算法则，通过 演绎 推理，一步一步地接近要证明 的 结论 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法用以下的框图表示：
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成
立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未
知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键
AC cos B 1．在△ABC 中，AB＝ ，证明 B＝C. cos C
sin B cos B 证明： 在△ABC 中， 由正弦定理及已知得 ＝ . sin C cos C 于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0， 因为－π<B－C<π，从而 B－C＝0，所以 B＝C.

探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练
1
已知
a,b,c
都是正数,求证:21������
+
1 2������
+
1 2������
≥
1 ������+������
+
1 ������+������
+
������+1 ������.
证明:因为√������������ ≤ ������+2������,所以√1������������ ≥ ������+2������.
“×”.
(1)综合法是由因导果的顺推证法. ( √ ) (2)分析法是执果索因的逆推证法. ( √ ) (3) 分析法的推理过程要比综合法优越. ( × ) (4)所有证明的题目均可使用分析法证明. ( × )
(5)欲证√2 − √3 < √6 − √7成立,只需证(√2 − √3)2<(√6 − √7)2 成立即可. ( × )
探究三
规范解答
(2)∵由(1)知A=60°,且A+B+C=180°, ∴B+C=120°. 又 sin B+sin C=√3, ∴sin B+sin (120°-B)=√3,
即 sin B+(sin 120°cos B-cos 120°sin B)=√3.
∴32sin B+√23cos B=√3,即 sin (B+30°)=1. ∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°,即B=60°. ∴A=B=C=60°.因此△ABC为等边三角形.

菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
2．过程与方法 结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析 综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中， 能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言 之有理、论证有据的习惯； (2)通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过 程中的思维方式．
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
【提示】
条件：x＋y＝1；结论：2x＋2y≥2 2.
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●教学建议 在以前的学习中，学生已积累了较多的综合法、分析 法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的，不系统 的．由此，借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳总结 两种方法的特点，促使他们形成对两种方法的较完整认 识．所以本节课宜采取自主探究与师生交流相结合的教学 模式，充分暴露学生思维，总结共性，形成规律．
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证 法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + 1 < b c+c a+a b = + 2 2 2 a
1 1 + . b c 1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + >2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个 交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 n-1 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 2k f(k+1)=f(k)+__________个区域.

11
故s<2a成立.
小结：
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方 法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最 后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由 果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法，应用十分广泛。
5
例2、求证： 8 7 5 10
证明：要证明 8 7 5 10 只需证明 ( 8 7 )2 ( 5 10)2
即 8 7 2 56 5 10 2 50
只需证明 56 50 即 56>50，这显然成立。
这样就证明了 8 7 5 10
证上式成立。这样就证明了命题的结论。
4
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为 止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
例3、求证：函数 f (x) 2x2 12x 16 在区间
（3，+∞）上是增加的。
6
证明：要证明函数 f (x) 2x2 12x 16
在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明对于任意 x1，x2 ∈（3，+∞），且 x1 > x2 时，有 f (x1) f (x2 ) 0 ，
2
综合法：
复习
①利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，
②经过一系列的推理、论证，
③最后推导出所要证明的结论成立的证明方法