高二数学推理与证明练习题
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高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是()A.是增函数,则B.因为,则C.为锐角三角形,则D.直线,则【答案】C【解析】根据题意,由于是增函数,则或者f’(x)=0在个别点成立,故错误对于B,因为,则显然不成立,对于D直线,则,可能斜率都不存在,故错误,故选C.【考点】推理与证明点评:主要是考查了合情推理的运用,属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置?()A.正三角形的顶点B.正三角形的中心C.正三角形各边的中点D.无法确定【答案】B【解析】根据题意,由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心,故可知答案为B.【考点】类比推理点评:主要是考查了类比推理的运用,属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式:根据上述分解规律,若的分解中最小的数是73,则的值为 .【答案】9【解析】根据题意,可知,,,,那么可知的分解中最小的数是73,那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的运用,属于基础题。
4.观察式子:1+<,1++<,1+++<,,则可归纳出一般式子为() A.1++++<(n≥2)B.1++++<(n≥2)C.1++++<(n≥2)D.1++++<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意,由于观察式子:1+<,1++<,1+++<,左边是n 个自然数平方的倒数和,右边是项数分之项数的二倍减去1,那么可得到,推广到一般1++++<(n≥2),故选C.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的基本运用,属于基础题。
5.在平面上,若两个正三角形的边长比为,则它们的面积比为,类似地,在空间中若两个正四面体的棱长比为,则它们的体积比为____________。
高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式:sin230°+cos260°+sin 30°·cos 60°=,sin240°+cos270°+sin 40°·cos 70°=,sin215°+cos245°+sin 15°·cos 45°=.…写出反映一般规律的等式,并给予证明.【答案】sin2α+cos2(α+30°)+ sin α·cos(α+30°)=【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一):sin2α+cos2(α+30°)+ sin α·cos(α+30°)=.证明如下:sin2α+cos2(α+30°)+sin α·cos(α+30°)=sin2α+(cos α·cos 30°-sin α·sin 30°)2+sin α·(cos αcos 30°-sin α·sin 30°)=sin2α+2+sin α ·cos α-sin2α=sin2α+cos2α+sin2α-sin α·cos α+sin α·cos α-sin2α=(sin2α+cos2α)=.2.观察下列恒等式:∵∴tanα-=-①∴tan2α-=-②tan4α-=-③由此可知:tan+2tan+4tan-=()A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】D【解析】根据题意,由于观察下列恒等式:∵∴tanα-=-①∴tan2α-=-②tan4α-=-③由此可知:tan+2tan+4tan-=2tan+4tan-= -8tan=-8,故答案为D.【考点】归纳推理点评:主要是考查了归纳推理的运用,属于基础题。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式: 1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15, 13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,13+23+33+43+53=225.可以推测:13+23+33+…+n 3=________(n ∈N *,用含有n 的代数式表示).解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,∵1,3,6,10,15,…第n 项a n ,与第n -1项a n -1(n ≥2)的差为:a n -a n -1=n ,∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n -1=n ,各式相加得,a n =a 1+2+3+…+n ,其中a 1=1,∴a n =1+2+3+…+n ,即a n =n (n +1)2,∴a 2n =14n 2(n +1)2.答案 14n 2(n +1)2【训练1】1.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为_______________________________解析 13+23=32=(1+2)2,13+23+33=62=(1+2+3)2,13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2,则13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=⎣⎡⎦⎤n (n +1)22,故第五个等式即为当n =6时,13+23+33+43+53+63=⎝⎛⎭⎫6×722=212.答案 13+23+33+43+53+63=2122. 观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=________. 解析 法一 由a +b =1,a 2+b 2=3得ab =-1,代入后三个等式中符合,则a 10+b 10=(a 5+b 5)2-2a 5b 5=123.法二 令a n =a n +b n ,则a 1=1,a 2=3,a 3=4,a 4=7,…得a n +2=a n +a n +1,从而a 6=18,a 7=29,a 8=47,a 9=76,a 10=123. 答案 1233. 观察下列不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……照此规律,第五个不等式为________________.解析 先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1+122+132+142+152+162<116. 答案 1+122+132+142+152+162<1164. 观察(x 2)′=2x ,(x 4)′=4x 3,(cos x )′=-sin x ,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),记g (x )为f (x )的导函数,则g (-x )=________.解析 归纳类比,得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数,从而有g (-x )=-g (x ). 答案 -g (x )5. 将正奇数排列如图形式,其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *,j ∈N *),例如a 32=9,若a ij =2 009,则i +j =________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知,2 009是第1 005个奇数,应排在i 行(其中i ∈N *),则1+2+3+…+(i -1)=i (i -1)2<1 005①,且1+2+3+…+i =i (i +1)2>1 005②;验证i =45时,①②式成立,所以i =45;第45行第1个奇数是2×44×452+1=1 981,而1 981+2(j -1)=2 009,∴j =15;所以,2 009在第45行第15个数,则i +j =60; 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 2 13°+cos 2 17°-sin 13°cos 17°;②sin 2 15°+cos 2 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 2 18°+cos 2 12°-sin 18°cos 12°;④sin 2 (-18°)+cos 2 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin 2(-25°)+cos 2 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解 法一(1)选择②式,计算如下:sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+32sin αcos α+14sin 2α-32sin αcos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,内切圆半径为r ,则三角形面积为S△ABC=12(a +b +c )r ”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,则四面体的体积为________”.解析 三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13,得V 四面体ABCD =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r .答案 V 四面体ABCD =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,________,________,T 16T 12成等比数列.1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步:观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点.[规范解答] 第二步:由等差数列“S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12”中的“差”,类比到等比数列中的“商”.故可得T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列.[反思与回顾] 第三步:类比推理是以比较为基础的,它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较,而做出有关另一个特殊属性的结论,是从特殊到特殊的推理,利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明.[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能. 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,利用倒序求和的方法,可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式,即公式S n =n (a 1+a n )2;类似地,记等比数列{b n }的前n 项积为T n ,且b n >0(n ∈N *),试类比等差数列求和的方法,可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式,即公式T n =________. 解析 利用等比数列性质,即若m +n =p +q ,则b m ·b n =b p ·b q , 得T 2n =(b 1b 2…b n )·(b n b n -1…b 2b 1)=(b 1b n )n ,即T n =(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22.在平面上,若两个正方形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4;类似地,在空间内,若两个正方体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得.答案 1∶83.给出下列三个类比结论.①(ab )n =a n b n 与(a +b )n 类比,则有(a +b )n =a n +b n ;②log a (xy )=log a x +log a y 与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;③(a +b )2=a 2+2ab +b 2与(a +b )2类比,则有(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2. 其中结论正确的序号是________. 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中,有等式(a 1+a 3+…+a 2 013)-(a 2+a 4+…+a 2 012)=a 1 007成立;类比上述性质,在共有2 011项的等比数列{b n }中,相应的有等式________成立.解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010=b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010=b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项的和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列,且通项为S nn =a 1+(n-1)·d 2.类似地,若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1,公比为q ,前n 项的积为T n ,则数列{nT n }为等比数列,通项为________.解析 由等差数列与等比数列的运算类比,可得n T n =b 1(q )n -1.答案 n T n =b 1(q )n -16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”,则对于区间D 内任意的x 1,x 2,…,x n ,有f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1+x 2+…+x n n 成立.已知函数y =sin x 在区间[0,π]上是“凸函数”,则在△ABC 中,sin A +sinB +sinC 的最大值是________.解析 由凸函数定义,知sin A +sin B +sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A +B +C 3=323. 答案 32 37.圆x 2+y 2=r 2在点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =r 2,类似地,可以求得椭圆x 28+y 22=1在(2,1)处的切线方程为________.解析 由类比结构可知,相应的切线方程为:x 0x 8+y 0y2=1,代入点坐标,所求切线方程为:x 4+y 2=1. 答案 x 4+y2=17. 命题p :已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一个动点,过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线,垂足为M ,则OM 的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q :已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),F 1,F 2是双曲线的两个焦点,P 为双曲线上的一个动点,过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线,垂足为M ,则OM 的长为定值.解析 对于椭圆,延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知,M 为F 2Q 的中点,且PF 2=PQ ,从而OM ∥F 1Q 且OM =12F 1Q .而F 1Q =F 1P +PQ =F 1P +PF 2=2a ,所以OM =a .对于双曲线,过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线,垂足为M ,类比可得OM =a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律.类比推理,从类比对象划分,主要有等差数列与等比数列的类比,其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应.平面几何与立体几何的类比,其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等,与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应.椭圆与双曲线的类比,其中椭圆与双曲线中有“互余”关系. 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2n S n(n ∈N +),证明:(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列; (2)S n +1=4a n .证明 (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=n +2n S n,∴(n +2)S n =n (S n +1-S n ),即nS n +1=2(n +1)S n . ∴S n +1n +1=2·S nn ,(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n +1n +1=4·S n -1n -1(n ≥2),∴S n +1=4(n +1)·S n -1n -1=4·n -1+2n -1·S n -1=4a n (n ≥2)(小前提)又a 2=3S 1=3,S 2=a 1+a 2=1+3=4=4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n +1=4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.考向四 数学归纳法的原理1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n -3)条时,第一步检验第一个值n 0 等于________.解析 边数最少的凸n 边形是三角形. 答案 32.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n -1<f (n )(n ≥2,n ∈N *)的过程,由n =k 到n =k +1时,左边增加了________项.解析 1+12+13+…+12k +1-1-1+12+13+…+12k -1=12k +12k +1+…+12k +1-1,共增加了2k 项.答案2k3.用数学归纳法证明:“1+a +a 2+…+a n +1=1-a n +21-a(a ≠1)”在验证n =1时,左端计算所得的项为________. 答案 1+a +a 24.某个命题与自然数n 有关,若n =k (k ∈N *)时命题成立,那么可推得当n =k +1时该命题也成立,现已知n =5时,该命题不成立,那么可以推得下列成立的说法是________.①n =6时该命题不成立;②n =6时该命题成立;③n =4时该命题不成立;④n =4时该命题成立. 解析 法一 由n =k (k ∈N *)成立,可推得当n =k +1时该命题也成立.因而若n =4成立,必有n =5成立.现知n =5不成立,所以n =4一定不成立.法二 其逆否命题“若当n =k +1时该命题不成立,则当n =k 时也不成立”为真,故“n =5时不成立”⇒“n =4时不成立”.答案 ③ 5.用数学归纳法证明不等式1n +1+1n +2+…+1n +n >1324的过程中,由n =k 推导n =k +1时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 不等式的左边增加的式子是12k +1+12k +2-1k +1=1(2k +1)(2k +2),故填1(2k +1)(2k +2). 答案 1(2k +1)(2k +2)【例1】用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n ×(n +1)×(n +2)=n (n +1)(n +2)(n +3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n =1时,左边=1×2×3=6,右边=1×2×3×44=6=左边,所以等式成立.(2)设当n =k (k ∈N *)时,等式成立,即1×2×3+2×3×4+…+k ×(k +1)×(k +2)=k (k +1)(k +2)(k +3)4.则当n =k +1时,左边=1×2×3+2×3×4+…+k ×(k +1)×(k +2)+(k +1)(k +2)(k +3) =k (k +1)(k +2)(k +3)4+(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)(k +2)(k +3)⎝⎛⎭⎫k 4+1=(k +1)(k +2)(k +3)(k +4)4 =(k +1)(k +1+1)(k +1+2)(k +1+3)4所以n =k +1时,等式成立.由(1)(2)可知,原等式对于任意的n ∈N *成立.【训练】 1已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2n =a 2n -1+1a n -1(n ≥2),a n ≥12n 13.求证:1a 1+1a 2+…+1a n ≤4(n +1)23-1.证明 由题得a 2n +1=a 2n +1a n ,即a 2n +1-a 2n =1a n ,于是有1a 1+1a 2+…+1a n =a 2n +1-a 21=a 2n +1-1. 要证明1a 1+1a 2+…+1a n ≤4(n +1)23-1,只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明.①当n =1时,a 1=1,12<a 1<2,则当n =1时,不等式成立.②假设当n =k 时,12k 13≤a k ≤2k 13成立,则当n =k +1时,a 2k +1=a 2k +1a k ≤4k 23+112k 13=4k 23+2k 13,只要证明4k 23+2k 13≤4(k +1)23,只需2k +1≤2k 13(k +1)23,只需(2k +1)3≤8k (k +1)2,化简后恒成立,于是a k +1≤2(k +1)13,所以1a 1+1a 2+…+1a n ≤4(n +1)23-1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1,n =1,2,3,…. (1)求a 1,a 2;(2)猜想数列{S n }的通项公式,并给出严格的证明.解 (1)当n =1时,x 2-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,于是(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得a 1=12.当n =2时,x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1=a 2-12,于是⎝⎛⎭⎫a 2-122-a 2⎝⎛⎭⎫a 2-12-a 2=0,解得a 2=16. (2)由题设(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0,即S 2n -2S n +1-a n S n =0. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1,代入上式得S n -1S n -2S n +1=0.① 由(1)得S 1=a 1=12,S 2=a 1+a 2=12+16=23.由①可得S 3=34.由此猜想S n =nn +1,n =1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n =1时已知结论成立.(ⅱ)假设n =k (k ∈N *)时结论成立,即S k =kk +1,当n =k +1时,由①得S k +1=12-S k ,即S k +1=k +1k +2,故n =k +1时结论也成立. 综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n =nn +1对所有正整数n 都成立. [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观察、归纳,然后猜想出结论,再利用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”,因此要务必保持猜想的正确性,同时要注意数学归纳法步骤的书写.3. 在数列{a n }、{b n }中,a 1=2,b 1=4,且a n ,b n ,a n +1成等差数列,b n ,a n +1,b n +1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,由此猜测{a n },{b n }的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:1a 1+b 1+1a 2+b 2+…+1a n +b n <512.(1)解 由条件得2b n =a n +a n +1,a 2n +1=b n b n +1.由此可得a 2=6,b 2=9,a 3=12,b 3=16,a 4=20,b 4=25. 猜测a n =n (n +1),b n =(n +1)2. 用数学归纳法证明:①当n =1时,由上可得结论成立.②假设当n =k (k ≥1且k ∈N *)时,结论成立,即a k =k (k +1),b k =(k +1)2,那么当n =k +1时,a k +1=2b k -a k =2(k +1)2-k (k +1)=(k +1)(k +2),b k +1=a 2k +1b k=(k +2)2,所以当n =k +1时,结论也成立.由①②,可知a n =n (n +1),b n =(n +1)2对一切正整数都成立.(2)证明1a1+b1=16<512. n≥2时,由(1)知a n+b n=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.故1a1+b1+1a2+b2+…+1a n+b n<16+12⎣⎡⎦⎤12×3+13×4+…+1n(n+1)=16+12⎝⎛⎭⎫12-13+13-14+…+1n-1n+1=16+12⎝⎛⎭⎫12-1n+1<16+14=512.综上,原不等式成立.。
2.1.1 合情推理课时跟踪检测一、选择题1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A .归纳推理是一种由一般到一般的推理过程 B .归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C .归纳推理得出的结论不一定正确 D .归纳推理具有由具体到抽象的认知功能解析:归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程,故A 不对. 答案:A2.观察图形:☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆…,则第30个图形比第27个图形中的“☆”多( )A .59颗B .60颗C .87颗D.89颗解析:观察图形知第n 个图形中“☆”的个数为1+2+3+…+n =n (n +1)2,∴第30个图形比第27个图形中的“☆”多30×312-27×282=87(颗),故选C.答案:C3.下面使用的类比推理中恰当的是( )A .“若m ·2=n ·2,则m =n ”类比得出“若m ·0=n ·0,则m =n ”B .“(a +b )c =ac +bc ”类比得出“(a ·b )c =ac ·bc ”C .“(a +b )c =ac +bc ”类比得出“a +bc =a c +bc(c ≠0)” D .“(pq )n=p n·q n”类比得出“(p +q )n=p n+q n” 解析:由数的运算律及运算性质可判断只有C 正确. 答案:C4.(2019·蚌埠第二中学高二月考)观察(x 2)′=2x ,(x 4)′=4x 3,(cos x )′=-sin x ,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),记g (x )为f (x )的导函数,则g (-x )等于( )A .f (x )B .-f (x )C .g (x ) D.-g (x )解析:由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当f (x )是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g (-x )=-g (x ).答案:D5.设f (n )=1+12+13+…+1n (n >2,n ∈N ),经计算可得f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72.观察上述结果,可得出的一般结论是( )A .f (2n )>2n +12(n ≥2,n ∈N )B .f (n 2)>n +22(n ≥2,n ∈N )C .f (2n)>2n +12(n ≥2,n ∈N )D .f (2n)>n +22(n ≥2,n ∈N )解析:由f (4)>2,得f (22)>2+22; 由f (8)>52,得f (23)>3+22;由f (16)>3,得f (24)>4+22;由f (32)>72,得f (25)>5+22;…以此类推,f (2n)>n +22(n ≥2,n ∈N ),故选D.答案:D6.(2019·正定一中高二月考)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结论:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行:②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③垂直于同一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其中正确的结论是( )A .①②B .②③C .③④D.①④解析:根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知,②③是正确的结论. 答案:B 二、填空题7.已知{a n }为等差数列,a 6=3,则a 1+a 2+a 3+…+a 11=11×3,若{b n }为等比数列,且b 6=3,则在{b n }中类似的结论是________.答案:b 1b 2b 3…b 11=3118.(2019·阜阳一中高二月考)解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F +V -E =2.答案:F +V -E =29.先阅读下面的文字:“求1+1+1+…的值时,采用了如下的方式:令1+1+1+…=x ,则有x =1+x ,两边平方,得1+x =x 2,解得x =1+52(负值已舍去)”.可用类比的方法,求2+12+12+…的值为________.解析:按照类比的方法,则2+1x=x (x >0),即x 2-2x -1=0,解得x =1+2或x =1-2(舍).答案:1+ 2 三、解答题 10.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+…+10=49 照此规律,请写出第n 个等式.解:观察等式第一个左边是1,右边是12,第二个等式,左边第一个数是2,连续3个数的和,右边是32,第三个等式第一个数是3,连续5个数的和,右边的值为52,第4个等式,第一个数为4,连续7个数的和,右边是72,第n 个数为n +(n +1)+(n +2)+…+[n +(2n -2)]=n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2.11.我们已经学过了等比数列,请你类比“等比数列”,给出“等积数列”的定义.若{a n }为等积数列,且a 1=2,公积为6,试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.解:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,其中这个常数叫做公积.由于{a n }为等积数列,且a 1=2,公积为6,∴a 2=3,a 3=2,a 4=3,…,即{a n }中的所有奇数项为2,所有的偶数项为3,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n 为奇数,3,n 为偶数.∴其前n 项和S n=⎩⎪⎨⎪⎧52n ,n 为偶数,5(n -1)2+2,n 为奇数.12.(2019·大庆实验高二月考)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.(1)求出f (5);(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n +1)与f (n )的关系式,并根据你得到的关系式求f (n )的表达式.解:(1)∵f (1)=1,f (2)=5,f (3)=13,f (4)=25, ∴f (5)=25+4×4=41. (2)∵f (2)-f (1)=4=4×1,f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4,由上式规律得出f (n +1)-f (n )=4n . ∴f (2)-f (1)=4×1,f (3)-f (2)=4×2, f (4)-f (3)=4×3,…f (n -1)-f (n -2)=4·(n -2), f (n )-f (n -1)=4·(n -1).∴f (n )-f (1)=4[1+2+…+(n -2)+(n -1)] =2(n -1)·n , ∴f (n )=2n 2-2n +1.13.平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a,类比上述命题的计算方法,可以求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B.63aC.54a D.64a解析:正四面体的底面面积为12×32a2=34a2,高为63a,设正四面体内任一点到四个面的距离为h1,h2,h3,h4,∴13S(h1+h2+h3+h4)=13S·63a,∴h1+h2+h3+h4=63a,故选B.答案:B。
丰县民族中学高二文科数学选修1-2《推理与证明测试题》班级 XX 学号 得分一、填空题:1、数列⋅⋅⋅,10,6,3,1的一个通项公式是n a =.2、已知13a =,133n n n a a a +=+,试通过计算2a ,3a ,4a ,5a 的值,推测出n a =___________. 3、有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然是错误的,是因为错误 4、已知+∈R a ,不等式21≥+x x ,342≥+x x ,,⋅⋅⋅可推广为1+≥+n x a x n ,则a 的值为. 5、观察下列式子:212311+=,313422+=,414533+=,515644+=,,归纳得出一般规律为.6、 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或是丙获奖。
”乙说:“甲、丙都未获奖。
”丙说:“我获奖了。
”丁说:“是乙获奖了。
”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖歌手是.7、观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有个小正方形.8、如果a a +b b >a b +b a ,则a 、b 应满足的条件是________.9、若10,10<<<<b a ,且b a ≠,则在22,2,b a ab b a ++ab 2,中最大的是________.10、 观察以下不等式222222131,221151,233111712344+<++<+++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式2221111()23f n n +++<,则不等式右端()f n 的表达式应为_________…(5)(4)(3)(2)(1)11、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:经观察可以发现:图(2)比图(1)多出2个“树枝”;图(3)比图(2)多出5个“树枝”;图(4)比图(3)多出10个“树枝”;照此规律,图(7)比图(6)多出_______个“树枝”.1用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:13、按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为.若000(,)P x y在椭圆22221x ya b+=外,则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2,则直线P1P2(称为切点弦P1P2)的方程是00221x x y ya b+=.那么对于双曲线则有如下命题:若000(,)P x y在双曲线22221x ya b-=(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.14、下列是关于复数的类比推理:①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;②由实数绝对值的性质22||x x=类比得到复数z的性质22||z z=;③已知,a b∈R,若0a b->,则a b>类比得已知12,z z∈C,若12z z->,则12z z>;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确..的是二、解答题:15.用三段论证明函数xxxf2)(2+-=在(]1,∞-上是增函数.…①②③16.已知:23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.17.已知c b a ,,均为实数,且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ,求证:c b a ,,中至少有一个大于0.18.已知,a b c >> 求证:114.a b b c a c+≥---19.设c b a ,,为任意三角形三边长c b a I ++=,ac bc ab s ++=.试证:s I 42<.20.通过计算可得下列等式:1121222+⨯=-1222322+⨯=-1323422+⨯=-┅┅12)1(22+⨯=-+n n n将以上各式分别相加得:n n n +++++⨯=-+)321(21)1(22 . 即:2)1(321+=++++n n n 类比上述求法:请你求出2222321n ++++ 的值.。
数学·选修1-2(人教A版)章末检测(测试时间:120分钟评价分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤答案:D2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角解析:至多有一个的否定是至少存在两个,所以选C.答案:C3.有一段演绎推理是这样的:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数.”这段推理的结论显然是错误的,是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案:C4.我们把平面几何里相似的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就称它们是相似体.给出下面的几何体中:①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.则一定是相似体的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:根据相似体的定义,只有①③是相似体,选C.答案:C5.下面几种推理是合情推理的是()①由正三角形的性质,推测正四面体的性质;②由平行四边形、梯形内角和是360°,归纳出所有四边形的内角和都是360°;③某次考试金卫同学成绩是90分,由此推出全班同学成绩都是90分;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)180°.A.①②B.①③C.①②④D.②④答案:C6.证明命题:“f (x )=e x+1e x 在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f (x )=e x+1e x ,所以f ′(x )=e x -1e x .因为x >0,所以e x>1,0<1e x <1.所以e x -1e x >0,即f ′(x )>0.所以f (x )在(0,+∞)上是增函数.使用的证明方法是( )A .综合法B .分析法C .反证法D .以上都不是答案:A7.在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是() A .锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定解析:用正弦定理将正弦关系转化为边的关系.由正弦定理知asin A =bsin B =csin C =2R ,∴sin A =a2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R .∵sin 2A +sin 2B <sin 2C ,∴a 24R 2+b 24R 2<c 24R 2,∴a 2+b 2<c 2,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab<0. ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.答案:C8.已知数列{a n }满足:a 4n -3=1,a 4n -1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009和a 2 014分别等于( )A .1,1B .1,0C .0,0D .0,1解析:本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意,得a 2 009=a 4×503-3=1,a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252-1=0.所以应选B.答案:B9.若S n =sin π7+sin 2π7+…+sin n π7(n ∈N *),则在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( )A .16个B .72个C .86个D .100个分析:本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律,从题目出发可以看出每隔13或14项的和为0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题的能力.解析:依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项.答案:C10.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15,如下图所示,一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n 个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上数的和为N,右上图的幻方记为N3=15,那么N12的值为()A.869 B.870 C.871 D.875答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)11.用火柴棒摆“金鱼”,如下图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.答案:6n+212.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“_________________________________________________________ _______________”这个类比命题的真假性是___________________________________________________________ _____________.答案:如果两个二面角的两个半平面分别垂直,那么这两个二面角相等或互补假命题13.(2013·广州一模)已知经过同一点的n(n∈N*,n≥3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这n个平面将空间分成f(n)个部分,则f(3)=________,f(n)=________.答案:8n2-n+214.下列为一组等式:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,…=(2n-1)(an2+bn+c),老师回答正确,则某学生据此猜测S2n-1a+b+c=________.答案:1三、解答题(本大题共6小题,共80分, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)若a ,b ,c ∈R +,且a +b +c =1,试用分析法或综合法证明:⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8.证明:证法一:(综合法)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1 =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b +c a -1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b +c b -1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b +c c -1 =b +c a ·a +c b ·a +b c=(b +c )(c +a )(a +b )abc≥2bc ·2ac ·2ab abc=8(当且仅当a =b =c 时取等号),所以不等式成立.证法二:(分析法)要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8成立, 只需证1-a a ·1-b b ·1-c c ≥8成立.因为a +b +c =1,所以只需证(a +b +c )-a a ·(a +b +c )-b b ·(a +b +c )-c c≥8成立, 即b +c a ·a +c b ·a +b c ≥8.只需证b +c a ·a +c b ·a +b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8成立. 而2bc a ·2ac b ·2ab c =8显然成立,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8成立.16.(12分)请你把命题“若a 1,a 2是正实数,则有22121+2a a a a ≥a 1+a 2”推广到一般情形,并证明你的结论.解析:推广的命题:若a 1,a 2,…,a n 都是正数,a 21a 2+a 22a 3+…+a 2n -1a n +a 2n a 1≥a 1+a 2+…+a n . 证明:∵a 1,a 2,…,a n 都是正数, ∴a 21a 2+a 2≥2a 1, a 22a 3+a 3≥2a 2,…a 2n -1a n +a n ≥2a n -1,a 2n a 1+a 1≥2a n , 以上各式相加得:a 21a 2+a 22a 3+…+a 2n -1a n+a 2n a 1≥a 1+a 2+…+a n .17.(14分)已知a ,b ,c 是不为1的正数,x ,y ,z ∈R +,且有a x =b y =c z 和1x +1z =2y .求证:a ,b ,c 顺次成等比数列.证明:令a x =b y =c z =k >0,则有:x =log a k ,y =log b k ,z =log c k .因为1x +1z =2y ,所以有1log a k +1log c k =2log b k. 所以lg a lg k +lg c lg k =2lg b lg k,即lg a +lg c =2lg b ,即有b 2=ac ,所以a ,b ,c 顺次成等比数列.18.(14分)如右下图所示,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,若AD=a1,AE=b1,AB=a,AC=b,则S△ADES△ABC=b11aba.试在立体几何中写出类似的四面体性质的猜想,并予以证明.解析:如图所示,在三棱锥S -ABC 中,D ,E ,F 分别是侧棱SA ,SB ,SC 上的点,且SA =a ,SB =b ,SC =c ,SD =a 1,SE =b 1,SF=c 1,则V S -DEF V S -ABC=a 1b 1c 1abc .证明:过点A 作AH ⊥平面SBC 于点H ,过点D 作DH 1⊥平面SBC 于点H 1,则DH 1∥AH ,且S ,H 1,H 三点共线.∵V S -DEF =V D -SEF =13S △SEF ·DH 1=13×12·SE ·SF ·sin ∠ESF ·DH 1=16b 1c 1·DH 1·sin ∠ESF ,V S -ABC =V A -SBC =13S △SBC ·AH =16bc ·AH ·sin ∠BSC ,且sin ∠ESF =sin ∠BSC ,DH 1∥AH ,∴DH 1AH =SD SA =a 1a .∴V S -DEF V S -ABC=a 1b 1c 1abc .19.(14分)已知△ABC 中,角A 、B 、C 成等差数列,求证:1a +b +1b +c =3a +b +c.证明(分析法):要证1a +b +1b +c =3a +b +c, 需证:a +b +c a +b +a +b +c b +c=3, 即证:c (b +c )+a (a +b )=(a +b )(b +c ),即证:c 2+a 2=ac +b 2,因为△ABC 中,角A 、B 、C 成等差数列,所以B =60°,由余弦定理得b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,即b 2=c 2+a 2-ca ,所以c 2+a 2=ac +b 2,因此1a +b +1b +c =3a +b +c.20.(14分)如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点.(1)试用分析法证明 MN //平面 PAD ;(2)试用分析法证明 MN ⊥CD ;(3)若∠PDA =45°,求证 MN ⊥平面 PCD .证明:(1)要证明MN //平面 PAD ,需让 MN 平行于平面 PAD 内某一直线.注意到 M ,N 分别为 AB ,PC 的中点,可取 PD 的中点 E ,连接 AE ,从而只需证 MN //AE 即可.证明如下:取 PD 的中点 E ,连接 AE ,EN ,则 EN 綊12CD 綊12AB 綊AM ,故四边形 AMNE 为平行四边形,∴MN //AE . ∵AE ⊂平面 PAD ,MN ⊄平面 PAD .∴MN //平面 PAD .(2)要证MN⊥CD,可证MN⊥AB,由(1)知需证AE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥AE,即AB⊥MN.∵CD//AB,∴MN⊥CD.(3)由(2)知MN⊥CD,即AE⊥CD,再证AE⊥PD即可.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.又∠PDA=45°,E为PD的中点,∴AE⊥PD,即MN⊥PD.又MN⊥CD,PD∩CD=D,∴MN⊥平面PCD.。
一、选择题1.类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ,2l ,3l 是三条互不重合的直线,则下列在平面中关于1l ,2l ,3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是( )①若13//l l ,23//l l ,则12l l //;②若13l l ⊥,23l l ⊥,则12l l //;③若1l 与2l 相交,则3l 必与其中一条相交;④若12l l //,则3l 与1l ,2l 相交所成的同位角相等 A .①④B .②③C .①③D .②④2.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣,”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在“…”.即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程x =确定出来2x =,类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅( )A .122 B.12- C1 D.13.将正奇数数列1,3,5,7,9,⋅⋅⋅依次按两项、三项分组,得到分组序列如下:(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),⋅⋅⋅,称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,依次类推,则原数列中的2021位于分组序列中( ) A .第404组B .第405组C .第808组D .第809组4.曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取,他们分别被哪个学校录取,同学们做了如下的猜想 甲同学猜:曾玉被武汉大学录取,李梦被复旦大学录取 同学乙猜:刘云被清华大学录取,张熙被北京大学录取 同学丙猜:曾玉被复旦大学录取,李梦被清华大学录取 同学丁猜:刘云被清华大学录取,张熙被武汉大学录取结果,恰好有三位同学的猜想各对了一半,还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是( ) A .北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B .武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C .清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D .武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5.下面几种推理中是演绎推理的为( )A .由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电B .猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯,,,的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C .半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=D .由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6.下面几种推理中是演绎推理的为( )A .高二年级有12个班,1班51人,2班53人,3班52人,由此推测各班都超过50人B .猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C .半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π= D .由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7.在数学兴趣课堂上,老师出了一道数学思考题,某小组的三人先独立思考完成,然后一起讨论.甲说:“我做错了!”乙对甲说:“你做对了!”丙说:“我也做错了!”老师看了他们三人的答案后说:“你们三人中有且只有一人做对了,有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是( ) A .乙做对了B .甲说对了C .乙说对了D .甲做对了8.在某次诗词大会决赛前,甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军,,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:A 猜测冠军是乙或丁;B 猜测冠军一定不是丙和丁;C 猜测冠军是甲或乙。
高二数学推理与证明试题答案及解析1.若,那么必有()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为=0,所以选A。
【考点】本题主要考查不等式性质、不等式的证明方法。
点评:利用差比法,即综合法。
也看取两组数据代入检验。
2.若下列方程:,,,至少有一个方程有实根,试求实数的取值范围.【答案】当或时,三个方程至少有一个方程有实根.【解析】解:设三个方程均无实根,则有解得即.所以当或时,三个方程至少有一个方程有实根.【考点】本题主要考查一元二次方程根的判别式、不等式组的解法、综合法的定义和方法。
点评:当论题从正面不容易或不能得到解决时,往往考虑问题的方面,此即所谓“正难则反”.3.已知成等差数列,成等比数列,则的取值范围是.【答案】【解析】由等差数列的性质得,由等比数列的性质得,所以==,当时,,当,,所以0,故的取值范围是。
【考点】本题主要考查等差、等比数列的性质,均值定理的应用,综合法的定义及方法。
点评:综合性较强,在理解掌握综合法的基础上,运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答。
4.用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()A.将结论与条件同时否定,推出矛盾B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出结论只与原题条件矛盾,才是反证支的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件【答案】B【解析】由反证法定义知,用反证法证明一个命题时,应是“肯定条件,否定结论,推出矛盾”,选B。
【考点】本题主要考查反证法的定义点评:反证法在数学中经常运用,当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓“正难则反”.5.已知,,,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为①②③三式加后再除2,得=④④减①得c2=,④-②得a2=,④-③得b2=,所以c=-,a=b=时ab+bc+ca最小=,故选B.【考点】本题主要考查综合法的定义及方法。
点评:关键是让三式相加得到一个等式,再分别减去这三个式子,得到a,b,c的值。
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78;④若a 、b ∈R ,则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是( )。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选(B ) 例2 函数y =f (x )在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y =f (x )在(0,2)上是增函数, ∴ 0<x+2<2即-2<x <0∴函数y=f(x+2) 在(-2,0)上是增函数, 又∵函数y=f(x+2)是偶函数,∴函数y=f(x+2) 在(0,2)上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ,b ,c 是全不相等的正实数,求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ,b ,c 全不相等∴ a b 与b a ,a c 与c a ,b c 与c b 全不相等。
∴ 2,2,2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1.如果数列{}n a 是等差数列,则( )。
(A )1845a a a a +<+ (B ) 1845a a a a +=+ (C )1845a a a a +>+ (D )1845a a a a =2.在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3.下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()411≤-a a ;③2≥+abb a ;④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个二、填空题4. 已知 5,2==b a ,向量b a 与的 夹角为0120,则a b a .)2(-=5. 如图,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足n,n证明:如图,连接BD ,∵在△ABC 中,BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7.解:∵f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0,即ab +c =0;由①得 f (1)≥1,由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1,即a +b +c =1,又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ,∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ,只要x ∈[1,m ],就有f (x +t )≤x 取x =1时,有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0],取x =m ,有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时,对任意的x ∈[1,9],恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二:∵f (x -4)=f (2-x ),∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0,即a b +c =0;由①得 f (1)≥1,由②得 f (1)≤1∴f (1)=1,即a +b +c =1,a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时,恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时,恒有解令t = -4得,2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时,任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92.2直接证明2.2.1 综合法一、选择题(1)由等差数列的性质:若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填(B )。
广东省阳山中学选修1-2第二章《推理与证明》
一、选择题
1.观察下列数的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第100项是()
A .10
B .13
C .14
D .100
2.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案,则第五个图案中有白色地面砖()块. A.21B.22C.20D.23
3.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的, 称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是() A.2B.4C.6D.8
4.观察图中的图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()
5.下面使用类比推理正确的是()
A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”
B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“
a b a b
c c c
+=+(c ≠0)” D.“
n n a a b =n (b )”类推出“n n a a b +=+n
(b )” 6.凡自然数都是整数,而4是自然数,所以,4是整数。
以上三段论推理()
A .正确
B .推理形式不正确
C .两个“自然数”概念不一致
D .两个“整数”概念不一致 7.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊆/平面α,直线a ≠
⊂平面α,直线b ∥平面α,则直
线b ∥直线a ”的结论显然是错误的,这是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 8.在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB ,AC 互相垂直,
则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥
A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B
两两相互垂直,则可得”
()
A .A
B 2+A
C 2+A
D 2=BC 2+C D 2+BD 2
B .BCD ADB ACD AB
C S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯2222
C .2
222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++
D .AB 2×AC 2×AD 2=BC 2×C D 2×BD 2
9.设a,b,c 三数成等比数列,而x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项,则=+
y
c
x
a () A.1B.2C.3D.不确定
10.用反证法证明命题“如果220,a b a b >>>那么”时,假设的内容应是()
A .22a b = B.22a b < C.22a b ≤ D.2222a b a b <=,
且 二、填空题:
11.)(131211)(*∈++++=N n n n f 经计算得23)2(=f ,2)4(>f ,2
5)8(=f ,
3)16(>f ,2
3
)32(>
f ,推测,当2≥n 时, 12.数列的前几项为2,5,10,17,26,……,数列的通项公式为。
13.若数列
{}
n a 的通项公式,
)()
1(1
2
*∈+=
N n n a n 记
)1()1)(1()(21n a a a n f ---= ,
试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出)(n f = 14.从22112343=++=2,
,3+4+5+6+7=5中,可得到一般规律为2(1)(2)......(32)(21)n n n n n ++++++-=-(用数学表达式表示)
15.用反证法证明命题“如果b a >,那么33b a >”时,假设的内容应为 . 三、解答题
16.已知下列等式:
4
3
35cos 5sin 35cos 5sin 22=
++ ,4345cos 15sin 45cos 15sin 22=++ ,
4
3
60cos 30sin 60cos 30sin 22=++ ,……,由此归纳出对任意角度θ都
成立的一个等式,并予以证明。
17.若a >0,b >0,求证:()1
14()a b a b
++≥. 18.数列⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧+)1(1n n 的前n 项和记为n S ,
(1)求出1S ,2S ,3S 的值; (2)猜想n S 的表达式,并加以说明。
19.已知A+B=
45π,且A 、B ≠k π+2
π
(k ∈Z),求证:(1+tanA )(1+tanB)=2 20.三棱锥P -ABC 中,PA =PB =CA =CB ,D 是AB 的中点 (1)证明:AB ⊥PC ;(2)证明:平面PDC ⊥平面ABC.
21.已知a ,b ,c 是全不相等的正实数,求证
3>-++-++-+c
c
b a b b
c a a a c b 。
P
A
B
C D。