第二章多面体与旋转体 锥体的体积

9.4.6多面体与旋转体的体积(二)一、教学内容：多面体与旋转体的体积二、教学目的要求：（1）知识要求：理解并掌握锥体的体积公式，掌握球的体积公式．（2）能力目标：会用体积公式解决相关问题，培养学生应用公式运算的能力．（3）情感目标：通过教学，培养学生的数学应用意识．三、教学重点、难点：教学重点是掌握锥体的体积公式．教学难点是运用锥体和球体的体积公式解决实际问题．四、教学方法：讲练结合法．五、教学过程：复习引入:在仓库一角有一堆谷，呈14圆锥形（如下图），量得底面弧长为2 m ，圆锥的高为1 m ，这堆谷重约多少公斤（假设每立方米谷重720公斤，结果取整数部分）？教师呈现问题情境．学生结合实际生活经验讨论问题．新授课:1．锥体的体积定理 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是V 锥体＝13Sh ．例1 一块正方形薄铁板的边长为22 cm ，以它的一个顶点为圆心边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积．（保留两位有效数字）解：扇形弧长是π2×22=11π．设所做圆锥筒的底面半径为r ，则2πr =11π，得r =5.5．因为圆锥筒底的母线长是22 cm ，所以圆锥的高是h =222－5.52≈21.3 (cm)，所以V 圆锥=13π⨯5.52⨯21.3≈6.7⨯102（cm 3）．即圆锥的容积约为6.7⨯102 cm 3．2．球的体积定理 如果球的半径是R ，那么它的体积是V 球＝43πR 3． 例2 有一种空心钢球，质量为142 g ，测得外径等于5.0 cm ，求它的内径(钢的密度为7.9 g/cm 3，保留两位有效数字)．解 设空心钢球的内径为2x cm ，则钢球壳的体积是V =43π×(52)3－43πx 3 =43π (1258－x 3)．由7.9×43π(1258－x 3)=142得x 3=1258－142⨯37.9⨯4π≈11.335， x ≈2.25，2x ≈4.5．即钢球的内径约为4.5 cm ．课堂练习：1.解决导入时提出的问题．解：因为底面弧长为2 m ，所以14×2πr =2， 求得r =4πm ． 因此，谷堆的体积为V =14×13π×(4π)2×1=43×1πm 3. 谷子的重量为720×43×1π≈306（公斤）． 即这堆谷子重约306公斤．2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，它的各个顶点都在球O 的球面上，问球O 的体积．课堂小结:棱锥，圆锥，球的体积公式．布置作业:教材P 156练习A 组第2题，练习 B 组第3题．教材P 156练习B 组第2题（选做）．教学后记：。

几何中的多面体和圆锥体的表面积和体积一、多面体的表面积和体积1.多面体：由四个或四个以上的多边形所围成的立体。

2.多面体的表面积：多面体所有面的面积之和。

3.多面体的体积：多面体所占空间的大小。

4.常见多面体：立方体、长方体、棱柱、棱锥等。

5.多面体表面积和体积的计算公式：–立方体：表面积 = 6a²，体积 = a³–长方体：表面积 = 2(ab + ac + bc)，体积 = abc–棱柱：表面积 = 2(ah + bh)，体积 =底面积×高–棱锥：表面积 = (底边长×周长)/2，体积 = (底边长×高)/3二、圆锥体的表面积和体积1.圆锥体：由一个圆面和一个顶点不在同一平面的直线（母线）所围成的立体。

2.圆锥体的表面积：圆锥侧面积加上底面积。

3.圆锥体的体积：圆锥所占空间的大小。

4.常见圆锥体：圆锥、圆台等。

5.圆锥体表面积和体积的计算公式：–圆锥：表面积= πrl + πr²，体积= πr²h/3–圆台：表面积= π(r+R)l + πr² + πR²，体积= (1/3)πh(r² + R² + rR)其中，a、b、c分别为长方体的三条棱长；h为棱柱的高；R为圆锥的底面半径；r为圆锥的母线长；l为圆锥的斜高。

三、多面体和圆锥体的性质1.多面体的性质：各面为平面，相邻面相交于直线，多面体的顶点数、边数和面数之间存在一定的关系。

2.圆锥体的性质：底面为圆，侧面为曲面，从顶点到底面圆心的线段称为高，圆锥的母线、斜高、高之间存在一定的关系。

四、多面体和圆锥体的应用1.在生活中，多面体和圆锥体广泛应用于建筑、家具、模具等领域。

2.在科学实验中，多面体和圆锥体可用于测量物体的体积和表面积，从而求得物体的密度、质量等参数。

3.在数学教育中，多面体和圆锥体的表面积和体积的计算有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一 多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.题型一 空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二 空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三 与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析 本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析 利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ， 则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析 设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析 设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析 由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析 由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。

应试技巧班 第一讲考纲要求：直棱柱，正棱锥，球的概念，会计算它们的体积考点内容：1.棱柱和棱锥的体积V sh =.棱柱s表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高。

13V sh =.棱锥s表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高。

2.设r 、R 、d 分别表示球的截面半径、球的半径和截面与球心的距离，则222r dR +=.球的表面积和体积 ：24S R π=.球 343V R π=.球考题类型：选择题，填空题 考题类型举例：例题1 长方体的全面积为11，12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线的长为A.23B.14C.5D.6分析：由于长方体的一条对角线的长的平方等于它长宽高的平方和，故只需求出它长宽高的平方和即可解：设长方体的长宽高分别为x,y,z由已知，得，2（xy+xz+yz）=114（x+y+z）=24即x+y+z=6将x+y+z=6两边平方得：x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=36将2（xy+xz+yz）=11代入上式，得x2+y2+z2=252225++=x y z故选C说明：在棱柱中，不在同一个平面上的两个顶点的连线叫住棱柱的对角线例题2 长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是4，8，18，则此长方体的体积A.12B.24C.36D.48设:长方体的长宽高分别为a,b,c,则有ab=4,bc=8,ac=18,将这三哥式子左边乘左边，右边乘右边，得(abc)2=4×8×18=4×4×2×2×3×3=(4×2×3)2abc=4×2×3=24因此长方体的体积为24选B例题3长方体有一个公共顶点的三条棱的比为2：3：5，全面积是1550，则此长方体的体积为设:长方体的长宽高分别为2x,3x,5x,于是有2（2x.3x+2x.5x+3x.5x）=155062x2=1550X2=25X=5或x=-5（舍去）长方体的长宽高分别为10.15.25因此，长方体的体积为3750例题4已知一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则该球的表面积为解：记r为几面圆的半径，R为球的半径。

柱体、椎体、台体的表面积与体积
•侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的
展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
•多面体的侧面积与体积：
直棱柱的侧面展开图是矩形
棱
柱
棱锥正棱柱的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，
棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，
•旋转体的侧面积和体积：
圆
柱
圆柱的侧面展开图的矩形：
圆
锥
圆锥的侧面展开图是扇形：
圆台的侧面展开图是扇环：圆
台
球
•。