习题 4
以下如果没有指明变量 t 的取值范围，一般视为 t R ，平稳过程指宽平稳过程。
1. 设 X (t ) sin Ut ，这里 U 为 (0,2 ) 上的均匀分布 . （a ） 若 t 1,2,
，证明 { X (t ), t 1,2, } 是宽平稳但不是严平稳，
（b ）
设 t
[ 0, ) ，证明 { X (t), t 0} 既不是严平稳也不是宽平稳过程 .
证明：（ a ）验证宽平稳的性质
2
EX (t) E sin(Ut )
sin(Ut ) ? 1 dU 1 ( cosUt ) 02 0, t 1,2,
2 2 t
COV ( X (t ), X (s)) E(sinUt ?sin Us) 1
E(cos(t s)U cos(t s)U ) 1 { 1 [cos(t
1 [cos(t
2 1 s)U ]02 s)U ]02 } ?
2 t s
t s
2 t
0, t s
COV ( X (t ), X (t )) Esin 2 Ut 1
1
2 (b) EX (t) (1 cos(2 t)), 与t 有
关 ,
2 t
DX(t)
1 1 sin(
2 t )，与 t 有关，不平稳 .
2 8 t
2. 设 { X n ,n
1,2, } 是 平 稳 序 列 ， 定 义 { X n (i ) , n
1,2, }, i 1,2,为
X n (1)
X n X n 1, X n (2 )
X n (1) X n (1)1 ,
，证明：这些序列仍是平稳的 .
证明：已知， EX
n
m DX
n
2
,COV (X n t , X t )
t )
,
(
(1)
EX n EX n 1
(1)
D ( X n
X n 1 )
2
2 (1)
2
EX n 0, DX n
1
COV ( X n (1)t , X n (1) ) COV ( X n t X n t 1 , X n X n 1 ) COV ( X n t , X n ) COV ( X n t 1 , X n )
COV ( X n t , X n 1 )
COV ( X n t 1 , X n 1 ) 2 (t )
(t 1)
(t
1)
显然， X n (1) 为平稳过程 .
同理可证， X n ( 2) , X n ( 3) ,
亦为平稳过程 .
n
3.Z n k2( a k n u k )里k和 a k正常数，k=1， ....n;u1, ...u n是（0,2）
k1
上独立均匀分布随机量。明{ x n , n0,1,2,...} 是平程。
n
明： E X n =k2E cos(a k n u k ) ，
k1
2
u k )du k= 1/ 2sin( a k n u k ) |02
E cos(a k n u k ) =1/ 2 cos(a k n=0
D[cos( a k n u k ) ]=1/2- E cos(2a k n2u k )1/ 2
cov (cos(a k n u k ),cos( a k (n t)u k ) )= E cos(a k n u k ) E cos(a k (n1) u k)=1/2cos
a k t
cov(cos( a k n u k ),cos( a l n u l ))0,( k l )
n n
E X n =0,D(X n)=k2 .2D (cos(a k n u k ) )k2.常数
k1k 1
n n
cov( x n t , x n )k . l .2.cov[cos( a k (n t ) u k ),cov( a l n u l )]
K 1 l1
n
=k2 .2.1/ 2.cos( a k t)
k 1
只与 t 有关，与 n 无关。
从而知道 { X n .n=0,1,2 ⋯.}平的。
4. A k k1,2...n是 n个实随机变量；W k，k=1,2⋯n 是 n 个数。A k与 W k之
n jwt
是一个复的平稳过程。（2足的条件才能使： Z (t )A k e ）
j=1 k1
n
Ez k EA k e jw k t常数
,要求EA
k0
Solution:k 1
n n
Ez t z t E A k A l e j k t j l t常数
E A k A l 0, k l
k 1 l 1要求
.
5.设
x n , n 1,2,... 是 一 列 独 立 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ，
P x n
1
p ，
P x n
1 1 p,n 1,2,...
s 0
0, s n
n
x n
, n 1,2,...
s n , n 1,2,...
令
k
1
n
求
的协方差
函数和自相关函数，
p 取何值时，此序列为平稳序列？
Solution :
Ex n
p 1,Dx n
Ex n
Ex n
2 p 1
2 2 1
2 p
2
2
12 1 p
2 p 1
14 p 1 p
2
1 n
E x n x m
Ex k
p 1 n
p 1 , n m, Es n
n
k 1
协方差函数
R s
n
m, n
cov s n m , s n
1
1
n m n
1 1
R s n
cov x k , x l
D x 1
... D x n
m, n
n m
n
n m
n
k 1 l 1
n 4 p 1
p
m
n
自相关函数：
r s n
m,n
R s n m, n
Es n m Es n
n
p
4 p 1
n n m
1
2
n m
2 p
1
Ex 0, D x n
1
, Es 0, D s
1
当 p=
n
2 n
n
2
时，
R s n m,n
n
但协方差函数
n
m
始终与
n,n+m 有关，还是不平稳！
6.设 X t
是一个平稳过程，对每一个 t R ， X / t 存在，证明对每个给定的 t ，
X t 与 X / t 不相关，其中 X /
t
dX t .
dt
Proof.
EX t
m ， D X t 2
. E X t
t m .
X / t
lim X tt
X t ， EX / t 0 .
t 0
t
