循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
1.17
的“秘密”
10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 6
0.8571427
??=
2.推导以下算式
⑴10.19=&；1240.12
9933==&&；123410.123999333==&&；12340.12349999=&&； ⑴121110.12
9090-==&；12312370.123900300-==&；123412311110.123490009000-==&； ⑶ 1234126110.1234
99004950-==&&；123411370.123499901110
-==&& 以0.1234
&&为例，推导1234126110.123499004950
-==&&． 设0.1234
A =&&，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =&&； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34
A =&&， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以123412611
99004950
A -==
． 3.循环小数化分数结论
纯循环小数
混循环小数
分子
循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
分母
n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧
0.9a =； 0.99ab =
； 0.09910990ab =?=； 0.990abc =，……
循环小数的计算
教学目标
知识点拨
例题精讲
模块一、循环小数的认识
【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年
10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】第六届，希望杯，1试 【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、
02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007??
【答案】l.80524102007??
【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因
此一定是0.1998??，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998?
．其后添加
的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998?
?
，而次大数为0.1998??
，于是得到不等式：
0.19980.19980.19980.1998?
?
??
?
?
?
>>>
【答案】0.19980.19980.19980.1998?
?
??
?
?
?
>>>
【例 2】 真分数7
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a
是多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 1=0.1428577&&， 27=0.285714&&，37=0.428571&&，47=0.571428&&，57=0.714285&&， 67
=0.857142&&．因此，真分数7
a
化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又
因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427
a &，即6a =．
【答案】6a =
【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。 ()903912457833421÷+++++=L ，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下
完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为6
7
，所以6a =。
【答案】6a =
【巩固】 真分数7
a
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷=L L ，
因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。
【答案】3a =
【巩固】（2009年学而思杯4年级第6题）67
÷所得的小数，小数点后的第2009位数字是．【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】6
0.857142857142
7
=……6个数一循环，20096336
÷=……3，是7
【答案】7
【例 3】写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【关键词】2003年，第1届小希望杯4年级
【解析】0.6+0.06+0.006+……=0.6&=62
93
==2002÷3003
【答案】3003
【例 4】下面有四个算式：
①0.6+0.....
1330.733;
=
①0.625=5
8
；
①5 14+3
2
=35
142
+
+
=8
16
=1
2
；
①33
7×4
1
5
=142
5
；
其中正确的算式是（）.
（A）①和① (B) ①和① (C) ①和① (D) ①和①【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】选择【关键词】2009年，第十四届，华杯赛，初赛
【解析】对题中的四个算式依次进行检验：
①0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以⑴不正确；
②0.625=5
8
是正确的；
③两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过3
2
﹥
1
2
即可判断出其不正确；
④
3
3
7
×
1
4
5
=
24
7
×
21
5
=
72
5
=
2
14
5
，所以⑴不正确。
那么其中正确的算式是⑴和⑴，正确答案为B。
【答案】B
【例 5】在混合循环小数2.718281&的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【关键词】第一届，华杯赛，初赛
【解析】小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281
&&。
【答案】2.718281
&&
【例 6】将1
2
化成小数等于0.5，是个有限小数；将
1
11
化成小数等于0.090…，简记为0.09&&，是纯循环小
数；将1
6
化成小数等于0.1666……，简记为0.16&，是混循环小数。现在将2004个分数
1
2
，
1
3
，
1 4，…，
1
2005
化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】 凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化
成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.
【答案】801
模块二、循环小数计算
【例 7】 计算：0.30.030.003--=&&&（结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试
【解析】 原式11189
330300300=--=
。 【答案】89
300
【巩固】 计算：0．3+0．3&=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，一试
【解析】 原式=3119
10330+=
【答案】19
30
【巩固】 请将算式0.10.010.001++&&&的结果写成最简分数． 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】第三届，华杯赛，初赛
【解析】 原式11110010111137
990900900900300++=++===
. 【答案】37
300
【例 8】 计算: 2.004 2.008?&&&（结果用最简分数表示） 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2004年，第9届，华杯赛，总决赛，一试
【解析】 原式＝481804200636188249047065606
224
900999900999899100224775224775?=?=== 【答案】5606
4224775
【例 9】 将4255.4250.6350.63999???=? ???
&&的积写成小数形式是____. 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，初赛
【解析】 ()59994250.63425341465.4250.6350.63 3.41809999999990?+????=?=== ?
??
&&&& 【答案】3.4180&&
【例 10】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&&
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89
+++++&&&&&& 1121232343787898
909090909090-----=+++++
11121317181909090909090=+++++= 216
2.490=
方法二：0.010.120.230.340.780.89
+++++&&&&&& =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.01
0.020.030.040.080.09+++++&&&&&&
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)?& 1
2.12790
=+? 2.10.3 2.4=+=
【答案】2.4
【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++&&&&&&&& （2）0.3300.186
?&&&& 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=+++291375521191999990+-=+666330
1999990=+=
（2）原式3301861999990-=?330185999990?=?5
81
=
【答案】（1）1 （2）5
81
【例 11】 ① 0.540.36+=&&& ⑵191.21.2427
????+=
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 ⑴ 法一：原式54536494899
90999011990
-=+=+=
． 法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是··
0.908，化为分数即是9089899
990990
-=
． ⑴ 原式22419111231920
1199927999279
=?+=?+=
【答案】⑴899990 ⑴20
9
【巩固】 ⑴计算：0.160.1428570.1250.1+++&&&& ⑵191.2 1.2427
?+=&&&________． 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，香港圣公会，2006年，第四届，希望杯，六年级，1试
【解析】 ⑴ 原式161142857111001099999989-=+++-1111275
6789504=+++=
； ⑴ 原式22419111231920
1199927999279=?+=?+=
． 【答案】⑴
275504 ⑴20
9
0.5444440.3636360.908080+L L
L
【巩固】 ⑴ ·
··
·
110.150.2180.3111??+?? ???
； ⑵ ()
2.2340.9811-÷&&&& (结果表示成循环小数) 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 ⑴原式1512182311909909111--??=+??
???
371111123456790.01234567999311181999999999=??===&& ⑴23422322.23422990990-==&&，980.9899=&&，所以23298242222.2340.982119909999090-=-==&&&&，
()
22122.2340.98111110.090.02
0.113901190
-÷=÷=+=+=&&&&&&&&& 【答案】⑴0.012345679&& ⑴0.113
&&
【例 12】 0.30.030.0032009+++=÷L L （ ）
。 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，中环杯，五年级，决赛
【解析】 .1
0.30.030.0030.33
+++==L ，所以括号中填200936027?=
【答案】6027
【例 13】 计算2009
20091199900999909901
??-?
??? (结果表示为循环小数) 【考点】循环小数计算 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 由于10.0000199900=&&，10.0000199990=&&， 所以110.000010.000010.000000009009919990099990
-=-=&&&&&&， 而9009917139901919901=??=?，
所以，2009200911110.00000000900991200999900999909901
9901??-?=?? ?
??&& 0.000000000000911120090.0000000000100120090.00000002011009=??=?=&&&&&& 【答案】0.00000002011009&&
【例 14】 某学生将1.23&乘以一个数a 时，把1.23&误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是
多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 由题意得：1.23 1.230.3a a ?-=，即：0.0030.3a ?
=，所以有：33
90010
a =．解得90a =，
所以111
1.23 1.23909011190
a ??=?=?=
【答案】111
【例 15】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16&&&，结果保留三位小数．
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈&&& 方法二：0.1+0.125+0.3+0.16&&&1131598990=+++111188=+530.736172
==&
【答案】0.736
【例 16】 将循环小数0.027&&与0.179672&&相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位
小数是多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 0.027
&&×0.179672&&27179672117967248560.00485699999999937999999999999
=?=?==&& 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样
四舍五入后第100位为9．
【答案】9
【例 17】 有8个数，0.51
&&，23,59,0.51&,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51&，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 2=0.63&,5=0.5
9
&,240.510647≈,13=0.5225 显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6
&&&&&即241352<051<0.51<<<472593
&&&，8个数从小到大排列第4个是0.51&，所以有241352<<<0.51<0.51<<<472593
&&&口口．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51&&．
【答案】0.51&&
【例 18】 20022009和1
287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 如果将20022009和1
287
转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我
们发现20021
12009287
+=，而10.9?
=，则第100位上的数字和为9.
【答案】9
【例 19】 将循环小数.
.
0.081与.
.
0.200836相乘，小数点后第2008位是 。 【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
【解析】 ..30.08137=，..2008360.200836999999=，所以乘积为..320083616284
0.01628437999999999999
?==，
200863344÷=L L ，所以第2008位是2。
【答案】2
第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1 .0)1( 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7 .0 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01 .0)4( +++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0 ++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1( ÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03 .0 ÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？
8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将3 2.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.1 3846536.6,3071.3,3351.0,84.0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1( ++++ .0 11021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3( ++++
分数与循环小数_提高 1. 指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？能化为有限小数(提示: 有限看二五)有： 能化为纯循环小数(没有二五)有： 能化为混循环小数(有二五，还有其它)有： 2. 将下面循环小数化成分数。 3. 把 化成循环小数。这个循环小数的第 位上的数字是几？第 位上的数字是几？ 4. 写出一个最大的分数，它的分子是1，并且它所化成的小数是： 1）循环节里只有一位数字的纯循环小数； 2）不循环部分有一位数字，循环节里最少的位数是2的混循环小数。 班级姓名日期 ,,,,,327214250377826117100850 30.=7˙0.=6˙0.=3˙9˙0.7=3 ˙2˙0.0=2˙7˙ 4.17=8˙ 1.3=0˙7˙ 2.2=6 ˙3˙14 520202021
5. 计算下列各题 6. 解答题 1）把化成小数后，小数点后面50位各位上的数字的和是多少？2）在循环小数 中，移动“前”一个循环点，使新的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是多少? 3）假定是自然数，是十进制中的一个数字，若 ，求等于多少？（1）0.25+3˙0.1+5˙3˙0.41+3˙0.8；（2）0.+1˙0˙1 ˙0.+3˙7˙0.+3˙6˙0.；2˙1˙（3）0.+3 ˙；（4）+0.+3˙0.+3˙0.3˙11 1 1.7˙1.3˙0.1×6˙ 1.；1˙6˙（5）0.1+2 ˙0.2+3˙0.3+4˙0.4+5˙0.5+6˙0.6+7˙0.7+8˙0.89˙21 40.1001002 ˙3˙n d =810 n 0.2d ˙5˙n
第8讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： （1）34，138，1325 ； （2）29，311，433； （2）56，522，790； （4）27，313，437 ； 答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) . 0.2 ，0.27,0.12 (3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.108 2．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255. 答案：(1)23100，479100 (2) 325，51200 3．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1?，0.4?；(2)0.01??，0.35??； (3)0.08? ， 0.38?. 答案：(1)19,49 (2)199 ,3599 (3)445，718 4．把下列循环小数转化为分数：0.7?，0.12??，0.123??，0.123?? 答案：79，433，41333，61495 5.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++ （4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。 答案：(1)23 (2)1 (3)213 (4)107300 (5)39110
解析：（1）123620.10.20.399993 ++=++==。 （2）23490.20.30.419999 ++=++==。 （3）3571520.30.50.7199993 ++=++==。 （4）112112312321390.10.120.123990900900110 --++=++==； （5）12123351390.120.239099990110 -+=+==。 6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。 答案：213 解析：把每个数化成分数，分母都是99999，所以计算会很方便． ()0.123450.234510.345120.451230.51234 12345234513451245123512349999999999999999999999999 111111234599999 159 213++++=++++?++++=== 7.计算下列各式，并用小数表示计算结果：（1）1.860.351?； （2）0.380.518÷。 答案：(1) 0.65 (2) 0.75 解析：（1）1953515371339651.860.3510.659999999373999 ????= ?=?==??。 （2）3835183599957933730.380.5180.75909999051892537274-???÷=÷=?=?==????。 8．将算式0.30.60.30.60.30.6+-?+÷的计算结果用循环小数表示是多少 答案： 1.27
识要点 一. 判断分数化成的小数类型； 二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数； 三. 循环小数四则运算； 四. 分数与循环小混合计算； 五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目． 分数化为循环小数： 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求） （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求） （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 循环小数化分数： 1．纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。 2．混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 例题精讲 1. 将下列分数化为小数： 23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100 ． 【分析与解】 20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166 = ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900??+==== ． 2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ． 【分析与解】 123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110 -== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495 == ，136130.01369900220-== ．
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。
2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)
第二章循环小数与分数 知识要点 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 (1)1 2 ＝0.5， 3 25 (＝ 2 3 5 )＝0.12， 17 40 (＝ 3 17 25 ? )＝0.425； (2)1 3 ＝0.3， 5 7 ＝0.714285， 13 33 ＝0.39； (3)5 6 (＝ 5 23 ? )＝0.83， 67 175 (＝ 2 67 57 ? )＝0.38285714，101 360 (＝ 3 101 259 ?? )＝0.2805。 结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有 限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。如17 40 ，因为40＝23×5，含 有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。 (2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 (3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的 个数相同。如 67 175 ，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有 两位。 于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论： 1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； 2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； 3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 典例巧解 例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 5 324 21 31 250 23 78 100 117 3 850 点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.19968 1 （3） =??54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==??
例3 计算：0.?1? 1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式999199819971996199519941993199219911++++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可 能大，将原数改写成： 182818181.72187182.2=? ? 11828128128.72182718.2=? ? 2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ?128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ? 950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244
纯循环小数化分数，分母由“9”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，分子是一个循环节的数字组成的数。如：0.5454.....=54/99=6/11。混循环小数化分数，分母由“9”和“0”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，第一个循环节前面有几个数字，分母就有几个“0”，分子是第一个循环节和他前面的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数。如0.2666.....=（26-2）/90=4/15。 具体有3种方法。1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/1653。方程法。易记易用。例：纯循环小数0.1515……设x=0.1515……，则100x=15.1515……两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.混循环小数0.31515……设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。 浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，这在中学将会得到详尽的解释；而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循环的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:
第四讲 循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 (1) 425.0)5 217(401712.0)53(2535.02132=?==；； (2)?=3.03 1，??=514287.075，??=93.03313， (3)?=?38.0)325(65，??=?48571238.0)75267(17567，?=??5280.0)952101(3601013 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同，如40 17因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同如 175 67，因为175=53×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例题精讲 【例1】判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 325，214，25031，7823，117100，850 3 解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 325能化成五位有限小数；25031能化成三位有限小数；214、117100能化成纯循环小数；78 23能化成纯混环小数，且不循环部分有一位；8503能化成纯混环小数，且不循环部分有二位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 知识点拨
分数与小数的互化、混合运算、应用题 【知识点1】 1．把一个分数化成小数的方法：分子除以分母 2．一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数。 口答：判断下列分数能否化成有限小数？ 7 8 4 15 12 25 5 12 17 40 32 5 3 24 3．小数化成分数的方法：小数化分数时，小数位数上有几位数字，分母上就有几个0 4．（1）循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。 口答：判断下列各数是不是循环小数，为什么？ 0.5555，0.123123...， 2.235464309...， 12.121212...， 5.317317...， （2）循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。如：0.1363636...的循环节为“36”，写作0.136&&。 5．一个分数总可以化为有限小数或循环小数；有限小数和循环小数也总可以化为分数。【例题讲解】 例1．把下列最简分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数。 （1） 2 15 （2） 31 4 （3） 5 6 （4） 16 25 （5） 4 27 （6） 17 100 例2．把下列小数分别化成分数： （1）0.9（2）0.25（3）3.32（4）1.125【基础练习】
（1）把下列各数化成小数：38＝ ；625 ＝ 。 （2）把下列各数化成分数：3.56＝ ；0.225＝ 。 （3）比较大小： 53 1.66；237 3.286。 （4）把下列各数化为循环小数：59＝ ；2533 ＝ 。 （5）下列分数中：23、74、88、516、3825 ，真分数有 个。 （6）已知n 是自然数，且分数8n 是假分数，11 n 是真分数，则满足条件的n 的值是 。 （7）38、21142、315、39中，能化为有限小数的是 。 2．小明3分钟打字169个，小红5分钟打字271个，问：小红、小明谁的的打字速度快？ 小拓展：观察下列小数化成分数的结果： 20.2222 (9) =； 370.373737 (99) =； 5030.1503503 (999) =； …… 总结：纯循环小数化分数时，若为无限小数，则小数的循环节有几位数字，化成的分数的分母就有几个9，循环节作为分数的分子。 小练习：把下列循环小数写成分数的形式： 0.6&＝ 2.61&&＝ 【知识点2】 1．分数、小数混合运算顺序： 2．整数中的运算律在分数、小数混合运算中成立。 【例题讲解】
第三讲循环小数化分数 一．纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化作分数呢看下面的例题。 例1．把纯循环小数化成分数： （1）0.6；（2）3.102。 解：（1）0.6×10=……① 0.6=……② 由①–②得到0.6×9=6， 所以0.6=62 = 93 。 （2）3.102先看小数部分0.102，0.102×1000=……①0.102=……②由①–②得到 999×0.102=102， 所以 10234 0.102== 999333 。 10234 3.102=3=3 999333 。 从以上例题中可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的位数与循环节的位数相同，并且各位都是9. 注意能约分的一定要约分。 例如0.216=2168 99937 ， 12341 4.123=4=4 999333 。 二．混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫做混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢看下面的例题。 例2．把混循环小数化为分数： （1）0.215；（2）6.353。 解：（1）0.215×1000=……① 0.215×10=……② 由①–②得 990×0.215=251–2=213， 所以 215221371 0.215= 990990330 - ==。 （2）对于6.353，先看小数部分0.353，0.353×1000=……① 0.353×100=……② 由①–②得0.353×900=353–35， 所以 3533531853 0.353= 900300150 - ==。 所以 53 6.353=6 150 。 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数字是9，末几位数字是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 如①把0.276化成分数。 解： 2762783 0.276= 900300 - =。 ②把7.42化成分数； 解： 4243819 7.42=777 909045 - ==。
第七讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【学大名师】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） 5 40.115? ??= 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） 2 9502716。 ???= 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.199 681
（3） = ? ? 54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==?? 例3 计算：0.?1?1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【学大名师】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式9991 99819971996199519941993199219911+ +++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【学大名师】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大，将原数改写成： Λ182818181.72187182.2=? ? Λ11828128128.72182718.2=? ? Λ2811828182818.72128871.2=? ? 很显然? ? 128871.2是最大的 解：（1）??128871.2 （2）? ?6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444 a =? ?950A .,则a= 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数，将? ?950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18
第二讲 循环小数化分数 学习提示： 在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。 典型题解 一、循环小数化成分数 1．纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化成分数呢？看下面例题。 例1，把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.102 10.610 6.6666 0.6=0.6666 0.69 6 62 0.6=93?=?==解：（）两式相减得所以 23.1020.102 0.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333 102 3.1023999?==?=====解：（）先看小数部分…… ?… 两式相减得所以34 3 333 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 1、 混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。 例2，把混循环小数化分数 10.215 2 6.353（）（） 10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152 215-2213 71 0.215=990990330 ???-==解：（）…… …… 两式相减得
无限循环小数的分数表示 一、学情分析： 学生已经学过了纯循环小数与混循环小数的概念、小数与分数的互化、分数比较大小、小数与分数的混合运算等知识。这堂课实际上是把之前学过的相关知识进行复习与整合，运用之前所学知识经验生成新知识、形成新思想的过程。 这个课题乍一看似乎有一定的难度，尤其是问题刚一抛出时预计学生会无法动笔。但只要学生掌握了之前分数与小数的相关知识，那么随着教师环环相扣、层层深入的引导，我相信对于绝大多数学生来说掌握这个知识点应该没有任何困难，关键是要使养成自主探究、自我反思的习惯，提高学生的合情推理能力，发展学生的思辨意识。因此教师在整堂课中数学思想的渗透和对于学生正面的、中肯的评价很重要。 二、内容和内容解析： 1.内容： 无限循环小数化分数。 2.内容解析： 在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的学习却有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。故而在教学中我安排了部分时间，采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法 三、目标和目标解析： 1.引导学生通过大胆猜想、合理排除、实践验证、归纳总结的过程探究纯循环小数化分数的方法，解决相应问题。 2.渗透类比、极限思想。
第四讲循环小数与分数 重点： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 1.纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。 2.将混循环小数化成分数。
2.混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。 例6计算下列各式： 二.基本练习： 1.下列各式中哪些不正确？为什么？ 2.划去小数0.27483619后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到 一个循环小数，例如0.274836。请找出这样的小数中最大的与最小的。
3.将下列纯循环小数化成最简分数： 三.拓展与提高： 4.将下列混循环小数化成最简分数： 5.计算下列各式：
分数转化成循环小数的判断方法 分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数的小数部分化成分数的规则 把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数 字组成的数与不循环部分的数字所组成 的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 循环小数化分数例题讲解1 我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢因为所
有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数． 循环小数如何化为分数呢 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环
节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：…… 循环节为3 则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：(1-^(n))/ 当n趋向无穷时（）^（n）=0 因此……==1/3
第6课时 循环小数与分数的互化 知识精要 一、循环小数与分数的互化 1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。 3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。 4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。 5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。 二、分数与小数的大小比较 比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。 精解名题 例题1：将下列分数化成循环小数： 338)1( 12 5)2( 600832)3( 解：（1）42 .0 （2）641.0 （3）3138.2
例题2：将852.0,35.0,5 .0 化成分数。 解：从左到右依次是：333 86,9953, 95 例题3：将926.0,3051.0,27 7.0 化成分数。 解：22 17990765990777227 7.0==-= 4995 7519990150299990115033051.0==-= 9906239906629926.0=-= 巩固练习 1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？ 0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414… 循环小数：0.567567…，2.0123123…，14.141414… 非循环小数： 0.333， 4.18576…，0.2020020002… 2、循环小数4.25656…的循环节是_56___，用简便方法写作65 2.4 保留三个小数写作4.257. 3、分数化为循环小数：=15141 39.1 . 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,12 11 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是619.0 排在末位的是061 9.0 5、循环小数4832 .0 与427.0 在小数点后面第___12___位时，在该位上的数字都是4. 当堂总结 1、 循环小数与分数的互化 2、 分数与小数的互化
循环小数化为分数的方法与运算 江苏省泗阳县李口中学沈正中 大家都知道分数可以化成混循环小数，同样，循环小数也能化成分数。下面就来探讨一下“循环小数化为分数”的方法。 一、探究“纯循环小数化为分数”的方法 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 【探究】：把下面的纯循环小数化分数： 【解】： 故 【结论】：“纯循环小数化为分数”的方法是“用这个纯循环小数的一个循环节表示的数做分子；分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。” 二、探究“混循环小数化分数”的方法 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。比起纯循环小数化成分数的方法，就显得稍微为复杂一点点。 【探究】：把下面的混循环小数化分数。
【解】： 【结论】：“混循环小数化为分数”的方法是：“用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的小数位数相同。” 三、探究“混循环小数化分数”与“纯循环小数化为分数”的关系 【探究】：把下面的混循环小数化分数。 【解】：（箭头说明：循环节有一位写一 个9，不循环部分有一位写一个0。） （箭头说明：循环节有两位
写两个9，不循环部分有一位写一个0。） （箭头说明：循环节有 两位写两个9，不循环部分有两位写两个0。） 混循环小数化分数，比纯循环小数化成分数明显要复杂一点点，但究其算理，仍依据纯小数化成分数的方法。即：先把混循环小数化成纯循环小数的形式，然后再化成分数。上面的三例推导证明如下： 推导结果与例（3）的中间脱式一致。 由此可见，采用先扩大后缩小相同倍数的方法，根据纯循环小数化成分数的方法，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。 四、循环小数的运算 根据上面所述，循环小数的四则运算可转化为分数运算。