分数与循环小数_提高

+ 9 + 99 + 999 ) ⨯ (1- ) ⨯L ⨯ (1- ) ；（4） + + L + + + + L + + L + + ⎪ +⎝ 2 3 ⎝ 99 100 ⎭ 100100 ⎭ ⎝ 3 4 100 ⎭ + + L + ⎪ + + + L + ⎪ + L + + ⎪+ ．⎝ 2 3 ⎝ 19 20 ⎭ 2020 ⎭ ⎝ 3 4 20 ⎭ 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫ 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫第三讲 分数计算综合提高本讲知识点汇总：一、 分数计算技巧1. 凑整2. 分组3. 提取公因数4. 约分（整体约分）二、 分数与循环小数互化1. 分数化循环小数2. 循环小数化分数三、 比较与估算四、 分数裂项五、 分数数列、数表例1． （1） 3 3 3 3 + 1 ；44 4 4（2） 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ L ⨯ 99 ； 2 3 4 100（3） (1- 1221 1 32 992⎛ 1 1 ⎛ 98 98 ⎫ 99 ⎪ ⎪「分析」大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？⎛ 1 1 ⎛18 18 ⎫ 19 练习 1、．例2．（1） 191919++⎪÷；（4）⎛⎪⨯++⎪-+++⎪⨯+⎪．2010201120122013练习2、（1） 202020++20002000⎪÷⨯2020例3．算式1+++++++++结果的小数点后第2013练习3、算式：1+1例4．（1）1++++L+（2）1++++L+⎝98989898098098009800⎭98（2）1665+666⨯1664；1665⨯666+9992011+2012+20132012+2013+20142013+2014+20152014+2015+2016 -+-（3）；1111-+-2010201120122013515973⎫⎛597315⎫⎛51597315⎫⎛5973⎫++⎝153795⎭⎝379551⎭⎝15379551⎭⎝3795⎭「分析」约分和换元法．⎝13131313013013001300⎭201313；（2）1⨯3⨯5+2⨯4⨯6+3⨯6⨯9+4⨯8⨯12．2⨯6⨯10+4⨯8⨯12+6⨯12⨯18+8⨯16⨯24111111111 234567891011位数字是多少，循环节是多少？「分析」题目中有限小数是不影响小数点后2013位的，计算时可以不考虑．11111111++++++++的计算结果，小数点后第23456789102012位是数字多少？11112⨯33⨯44⨯55⨯62012⨯2013；11111⨯33⨯55⨯77⨯913⨯15；（3） - + - + - + - + ；（4） - + - + - ． + + + + L + （2） + + + + L + ．已知 2*3= ，那么：+， a 它， ； ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ；3 5 7 9 11 13 15 17 192 6 12 20 30 42 56 72 904 812 16 20 24 28 32+ -3 15 35 63 99 143 195 255「分析」分数裂项的两种基本方向：“裂和”或“裂差”．1 1 1 1 1练习 4、（1）2 ⨯ 4 4 ⨯ 6 6 ⨯ 8 8 ⨯10 16 ⨯181 5 11 19 209 239+ 2 6 12 20 210 240；例5． 已知“*”表示一种运算符号， 的含义是： * b = 141 1ab (a + 1)(b + A)（1）A 等于多少？（2）计算 (1* 2 ) + (3 * 4 ) + (5 * 6 ) + L + (99 *100 ) ．「分析」这是一道定义新运算的题目，首先要弄清楚题目定义的新运算计算方法，然后按这个方法计算即可．例6． 观察下面的数表：1 1 ；2 1 1 23 2 11 2 34 3 2 11 2 3 45 4 3 2 11 2 3 4 5… … … … … … … …．根据前五行数所表达的规律，1991这个数位于由上而下的第几行；1949在这一行中，它位于由左向右的第几个？「分析」这是一道数表题目，注意每行分数个数的变化，以及分子、分母数值上的变化．1.计算： ++L+⎪+++L+⎪+ ++L+⎪+L+ +⎪+1⎫⎛222⎫⎛333⎫2.算式++++结果的小数点后第666位、2013位数字分别是多少？3.计算：1++L+．4.计算：1++++L+．作业⎛11⎛88⎫9⎝2310⎭⎝3410⎭⎝4510⎭⎝910⎭10．11 3617+18+1111+9101112 111⨯33⨯535⨯3711111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯54⨯5⨯611⨯12⨯135.将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过100行，100列的所有真分数之和是多少？12233445132435461425364715263748LLLLM M M M O解答：（1） 原式 = ⎪ ⨯ = 3 ⨯ ⨯ = 3 ； (1664 + 1)⨯ 666 + 999 1664 ⨯ 666 + 1665 = 1 ；3 + ⎪ - 3 + ⎪ + 3 + ⎪ - 3 + ⎪ 2010 ⎭ ⎝ 2011 ⎭ ⎝ 2012 ⎭ ⎝ 2013 ⎭ （ 3 ） 原式= ⎝ = 2010 2011 2012 2013 =6 ；； Y = +， Y ⨯ X + ⎪ - Y + ⎪ ⨯ X = (Y - X )⨯= 1 ．+ + = 0.142857& + 0.111111&+ 0.090909& = 0.344877& ，所以第 2013 位数字是 4，注意到1 1 1 1 - + - + L + - = - = ； （2） 1 + + L + = 1 - + - + L + - ⎪⨯ = ；（4） 原式 == 1 + 2-⎪ - 2++ 3 ⎪ + - 3 + 4 ⎪+- L + -9 + 10 ⎪ +1 + 3 1 ⎫3 +⎛51 51+ 7 ⎛ 1 + 19 ⎫ 9 + 11⎛ 111 + 13 13 + 15 15 + 17 16 ⎝ ⎭ ⎭第三讲 分数计算综合提高例7． 答案：1111、 1 、 50 、2475．10099解答：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．例8． 答案：3；1；6；1．⎛ 19 ⨯10101 190 ⨯1001 1900 ⨯10001 ⎫ 98 + +⎝ 98 ⨯10101 980 ⨯1001 9800 ⨯10001 ⎭ 1919 98 98 19（2） 1665 + 666 ⨯1664 1665 ⨯ 666 + 999 1665 + 666 ⨯1664 1665 + 666 ⨯1664 = =⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ 6 6 6 6 - + -1 1 1 1 1 1 1 1- + - - + - 2010 2011 2012 2013 2010 2011 2012 2013（4）设： X =例9． 答案：4；448773．解答： 首先，不考虑：1 1 1 1 1 1 1、 、 、 、 、 + 这五个分数，剩下的分数转化为循环小数：2 4 5 8 103 6& & & &7 9 11 8小数点后第 3 位，所以循环节是 877344．例10． 答案： 2011 ； 7 ； 1 1 ； 16 ．4026 15 10 17会影响到解答：（1） 原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 20112 3 3 4 2012 2013 2 2013 40261 1 ⎛ 1 1 11 1 ⎫ 1 7 1⨯ 3 3 ⨯ 5 13 ⨯15 ⎝ 3 3 5 13 15 ⎭2 15（3） 原式 =1 +2 2 +3 3 +4 4 +5 5 +6 6 +7 7 +8 8 +9 9 + 10- + - + - + - + ； 1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 6 ⨯ 7 7 ⨯ 8 8 ⨯ 9 9 ⨯10- = ． 1⨯ 3 ⎭3 ⨯⎝5 5 ⨯ 7 ⎝ 7 ⨯ 9 ⎭ 9 ⨯11⎝ 11⨯13 13 ⨯15 15 ⨯17 17 1 1 = 1 + = 110 10例11． 答案：1； 100 ．101解答：（1） a * b = 1 ； 2 * 3 = + = ；A =1；+ + L + + =，所以第 1949 列，3939 行得到的是 ． ； ．简答：（1） 原式= + ⎪⨯ ⨯= ，……， = ， 简答： 小数点后第 2012 位只与 、 、 、 有关，而 + = ， + =0.253968& ，2012 ÷ 6 余 2，所以， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 练习 4、答案： 9 ； ．简答：（1） 原式 = - + - + L + - ⎪⨯ = ； （2） 原式= 1 - ⎪ + 1 - ⎪ + L + 1 - ⎪ =15 - 1 - ⎪ =14 ．1 ⎫1 1 1 1+ ab (a + 1)(b + A) 2 ⨯ 3 (2 + 1)(3 + A) 4（2） (1 * 2) + (3 * 4) + L + (99 *100 )= 1 1 1 1 100 1⨯ 2 2 ⨯ 3 99 ⨯100 100 ⨯101 101．例12． 答案：3939；1949．解答：观察图表可发现第一列分数的分母都是 1，第 2 列分数的分母都是 2，第 3 列分数的分母都是 3，第 4 列分数的分母都是 4，……，第 1949 列分数的分母都是 1949，且第 1949 列、第 1949 行的分数是 1 19911949 1949练习：练习 1、答案：95．简答：分母是 2、3、4、……，的分数之和依次是 0.5、1、1.5、……，这样一个的等差数列，所以，和是(0.5 + 9.5)⨯192= 95 ．练习 2、答案： 24000 12197 8⎛ 20 20 20 ⎫ 20 20 24000 + = ⎝ 13 13 13 ⎭ 13 13 2197；（2）1⨯ 3 ⨯ 5 1 4 ⨯ 8 ⨯12 1 2 ⨯ 6 ⨯10 8 8 ⨯16 ⨯ 24 81⨯ 3 ⨯ 5 + 2 ⨯ 4 ⨯ 6 + 3 ⨯ 6 ⨯ 9 + 4 ⨯ 8 ⨯12 1 =2 ⨯ 6 ⨯10 + 4 ⨯ 8 ⨯12 + 6 ⨯12 ⨯ 18 + 8 ⨯16 ⨯ 248练习 3、答案：5．& 3 6 7 9 3 6 2 7 92012 位是 5．1040 21⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ 1 2 ⎝ 2 4 4 616 18 ⎭ 2 9⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 240 ⎭ ⎝ 15 ⎭ 15+ + L + ⎪+ + + L + ⎪+ + + L + ⎪ + L + + ⎪+= + + ⎪+ + + ⎪ + L + + + L + ⎪= + ⨯ + ⨯ + L + ⨯= + + + L + 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫ ⎛ 3 3 3 ⎫ 10 ⎭ ⎝ 3 4 10 ⎭ ⎝ 4 5 10 ⎭ + + L + = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ 1 - ⎪ + + + + L += ⨯ ( - + - + L + - )作业6. 答案：22.5．简答：⎛ 1 1 ⎛ 8 8 ⎫ 9⎝ 2 3 ⎝ 9 10 ⎭ 101 ⎛ 12 ⎫ ⎛ 1 23 ⎫ ⎛ 1 2 9 ⎫ 2 ⎝ 3 3 ⎭ ⎝4 4 4 ⎭ ⎝ 10 10 10 ⎭ 1 1 2 ⨯ 3 1 3 ⨯ 4 1 9 ⨯102 3 2 4 2 10 2 1 2 3 9 2 2 2 2 1 9 ⨯10 = ⨯ 2 2 = 45 27. 答案：第 666 位、2013 位数字分别是 0、8．简答：同例 3 的算法．8. 答案： 18 ．简答：371 1 11⨯ 3 3 ⨯ 5 35 ⨯ 371 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫2 ⎝3 3 5 35 37 ⎭1 ⎛1 ⎫2 ⎝ 37 ⎭．= 18 379. 答案： 77 312．简答：1 1 1 1 11⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 4 ⨯ 5 ⨯ 6 11⨯12 ⨯13 1 1 1 1 1 1 1 2 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 11⨯12 12 ⨯131 1 1 = ⨯ ( - )2 2 12 ⨯13．=77 31210. 答案：394272．简答：．按从右上到左下斜线计算，发现分母是 2、3、4、5、6……的分数之和依次是0.5、1、1.5、2、……，接下来按等差数列即可得出 394272．。

循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。

循环小数与分数的互化月 日 姓 名【知识要点】纯循环小数化分数的方法：这个分数的分子是一个循环节所表示的数：分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数。

混循环小数化分数的方法：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9，9后面的数字是0，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。

【课前热身】1.把下列分数化为小数（除不尽保留三未小数）。

1________2= 3_______4=1_______8=7________10= 1_______9= 2_______11= 2______7= 5_______6=7_______15= 2.把下面的小数化成分数：0.75_______= 1.39_______=1.625_______= 0.25_______= 0.5________1.375_______= 0.55________=0.52________=0.46_______=【典型例题】例1、在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）∙∙1871822. （2）∙∙62514913.例2、将下列循环小数化成分数。

=∙70. =∙∙860.=∙∙54370.=∙50. =∙∙570.=∙310.=∙∙8746. =∙540. =∙∙5674.例3、在循环小数0.∙123456∙7中，移动循环节的小圆点，使得新的循环小数的第100位数字是5，新的循环小数是几？例4、计算：0.1∙2+0.2∙3+0.3∙4+0.4∙5+0.5∙6+0.6∙7+0.7∙8+0.8∙9随堂小测姓名 成绩 1.适当补上循环点，使下列不等式成立。

89.89﹥89.89﹥89.892.把下列循环小数化成分数 =∙∙720. =∙∙6540.=∙∙4740.=∙∙23450. =∙∙4500.=∙∙76058.3.在下列混合循环小数中，移动循环节的第一个圆点，使新产生的循环小数尽可能小： （1）1.100901∙0∙3 （2）2.65685∙6∙9（3）0.412125∙2∙14.给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。

【关键字】精品循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1.的“秘密”，，,…,2.推导以下算式⑴；；；；⑵；；；⑶；以为例，推导．设，将等式两边都乘以100，得：；再将原等式两边都乘以10000，得：，两式相减得：，所以．3.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧；；；，……模块一、循环小数的认识【例 1】在小数上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。

)【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空【关键词】第六届，希望杯，1试【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为【答案】【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算循环小数的计算【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为，于是得到不等式：【答案】【例 1】真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少?【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【解析】，，，，，．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．【答案】【巩固】真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【解析】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么就应该由若干个完整的和一个不完整组成。

分数与循环小数_学生篇配套有分数与循环小数_作业分数与循环小数_练习分数与循环小数_提高分数与循环小数_拓展本篇主要了解相关知识点，提供高质量例题讲解。

一、知识点小数分类有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数以上除了无限不循环小数不能化为分数外，其他小数都可以化成分数。

无限不循环小数无限不循环小数(英文名:infinite non-repeating decimals )就是小数点后有无数位,但和无限循环小数不同,它没有周期性的重复,换句话说就是没有规律,所以数学上又称无限不循环小数叫做无理数(如圆周率π,它就是一个无理数，π 读 pài)。

特点：无限不循环小数是不能转化成分数的。

无限循环小数与分数从小数点后某一位开始，一个或多个十进制数字不断重复出现的小数，叫做无限循环小数, 数学上也称为有理数。

譬如 。

既然是有理数(rational number)，就是可以化成分数的数。

特点：(1) 无限循环小数可以转化为分数; (2) 带小数点，且小数位数无限； (3) 重复出现一个或多个数字。

所谓循环节，指的是循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的一段数字。

上面三个例子中的循环节分别为 。

循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，如 ; 不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，如 由于循环小数的小数部分位数是无限的，显然不可能像有限小数那样写成十分之几、百分之几、千分之几、……的数。

循环小数化为分数，其难点在无限的小数位数，所以从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。

3.141414...,1.333...,0.142857142857...14,3,1428570.,0.3˙0˙9˙1.0,3.753˙3˙策略：用扩倍法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……，使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了！1. 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：分母 就是由若干个9组成的数，且9的个数恰好等于纯循环小数的单个循环节的位数；分子 是纯循环小数中一个循环节组成的数。

循环小数和分数间的转换
在数学中，循环小数和分数之间有着密切的关系。

虽然它们两者看
起来非常不同，但是我们可以用一些简单的方法来把它们之间的转换
流程做清楚。

一，把循环小数转换成分数：
1. 确定循环小数的重复部分，即循环节。

2. 将循环小数转化成留有循环节的小数，该小数的小数位数比循环节
的长度多1位。

3. 把小数按照10的N次方的方式化成分数的形式，N的值等于前面的
小数位数。

二，把分数转换成循环小数：
1.把分子和分母分别拆分，把被除数分解成多个与它的余数有关的因子的乘积的形式。

2.判断所有因子是否恰好为被除数的约数，如果是，那么该分数就是有限小数；如果不是，则把不是约数的因子全部列出来，即为循环小数
的循环节。

3.把被除数和因子一起放到分数的分子分母中，完成了循环小数的形成。

总的来说，把循环小数和分数之间的转换，主要有以上两个步骤，首
先确定小数的循环节，然后有了循环节就可以完成循环小数和分数之
间的转换了。

最后，我们希望通过本文能够帮助大家多多了解循环小数和分数之间的转换流程，期待你在数学学习中有收获吧！。

小学五年级下册数学能力提升分数与小数的换算与比较小学五年级下册数学能力提升：分数与小数的换算与比较在小学五年级下册的数学学习中，分数与小数的换算与比较是一个重要的知识点。

本文将介绍分数与小数的基本概念及其相互转换的方法，并讨论如何比较大小。

通过学习本文，学生们将能够提升他们的数学能力，更加灵活地运用分数与小数进行计算和比较。

一、分数与小数的基本概念及表示方法分数是表示一个整体中的一部分，由分子和分母组成。

分子表示整体中的部分，分母表示整体分成的份数。

例如，1/2表示一个整体分成两份，其中的一份。

小数则是用十进制数表示分数的方式。

例如，0.5就是1/2的小数表示方法。

在数学中，我们常常将分数与小数相互转换，以便更方便地进行计算和比较。

二、从分数到小数的转换方法1.真分数转换为小数：将分子除以分母即可得到对应的小数。

例如，5/8可以转换为0.625。

2.带分数转换为小数：将带分数的整数部分不变，将分数部分的分子除以分母，再将结果加上整数部分即可得到对应的小数。

例如，13/4可以转换为1.75。

三、从小数到分数的转换方法1.从有限小数到分数：将小数的十进制部分写成分数的形式，分子为十进制部分的数字，分母为对应的位数（个位为10，十位为100，以此类推）。

例如，0.6可以转换为3/5。

2.从循环小数到分数：设循环小数为0.a1a2a3...an(n个数循环)，将循环数部分作为分子，分母为n个9组成的数字，即可得到对应的分数。

例如，0.333...可以转换为1/3。

四、分数与小数的比较方法1.同分母比较：当两个分数的分母相同时，比较它们的分子大小即可。

例如，比较1/4和3/4时，由于分母相同，只需比较1和3的大小即可。

2.同数位比较：当两个小数的小数位数相同时，比较它们的整数部分和小数部分即可。

例如，比较0.25和0.35时，由于小数位数相同，只需比较2和3的大小即可。

3.转换比较：当分数和小数进行比较时，可以将分数转换为小数，然后再进行大小的比较。

分数化无限循环小数的方法分数化无限循环小数是将一个无限循环小数表示为分数的方法，通常使用数学运算中的重复模式来找到分数表示形式。

在本文中，我们将探讨有关无限循环小数的定义、分数化的方法和示例。

1.无限循环小数的定义无限循环小数是一种小数，它的小数部分包含一个或多个数字的无限循环序列。

通常以“∞”或“...”等记号表示，例如：1.3333...或者0.6666...。

这种小数可以被表示为一个分数，这样就能够避免无限的计算。

2.分数化无限循环小数的方法分数化无限循环小数的方法有多种，其中最常用的是长除法和设方程法。

（1）长除法长除法是一种逐次除法的过程，用于将无限循环小数表示为分数。

该方法的步骤如下：a.将循环小数表示为x；b.令10x = n；c.求解分数n/x，并化简得到最简分数。

举个例子，将0.3333...表示为一个分数：令x = 0.3333...，则有10x = 3.3333...则10x - x = 3.3333... - 0.3333... = 3则9x = 3则x = 3/9 = 1/3所以0.3333... = 1/3这就是利用长除法将无限循环小数表示为分数的方法。

（2）设方程法设方程法是另一种分数化无限循环小数的方法，主要是通过设定一个方程等式，然后解方程得到分数的表达形式。

具体的步骤如下：a.令循环小数表示为x；b.设一个方程式10^kx = n，其中k是循环节的长度；c.解方程得到分数n/x。

举个例子，将0.181818...表示为一个分数：令x = 0.181818...，则100x = 18.181818...，10x = 1.818181...，则100x - 10x = 18.181818... - 1.818181... = 17则90x = 17,则x = 17/90所以0.181818... = 17/90这就是设方程法将无限循环小数表示为分数的方法。

3.分数化无限循环小数的示例下面我们将通过一些示例来演示如何使用长除法和设方程法将无限循环小数表示为分数。

提高学生成绩——探索循环小数数学教案的应用教育是一件非常重要的事情，而在教育的过程中，学生成绩的提高也是有着常重要的意义。

因此，我们需要不断探索新的教育教学方法，以期能够更好地帮助学生提高成绩，从而实现教育的目标。

今天，我们要探索的是循环小数数学教案在提高学生成绩方面的应用。

一、循环小数是什么？在学习循环小数教案之前，我们需要先了解什么是循环小数。

循环小数是指一个小数部分出现了重复的一段数，这个重复的一段数就是循环节。

例如，0.6666…就是一个循环节为6的循环小数。

事实上，循环小数广泛应用在我们的生活中，例如：用分数表示钱的小数形式（例如:0.3333…=1/3或者0.6666…=2/3），或者在考试成绩上求出平均值的时候等等。

二、探索循环小数数学教案的应用那么，循环小数数学教案怎么可以应用在提高学生成绩方面呢？以下列举一些具体的方法：1、通过循环小数教案激发兴趣对于一些学生来说，数学并不是一门特别感兴趣的学科。

因此，如果能够将循环小数这一“神奇”的数学概念应用在教学中，也许能够在学生中引起一些兴趣。

例如，教师可以通过提出一些有趣的循环小数问题来调动学生的兴趣，例如：一个人一天需要喝多少瓶0.2 循环小数的瓶装水才能满足他的饮水需求等等。

2、通过循环小数教案增强数学思维能力循环小数数学教案可以帮助学生增强数学思维能力。

例如，对于简单的循环小数问题，教师可以让学生自己去寻找循环节，然后将答案写出。

这个过程需要学生进行大量的思考和尝试，从而提升他们的思维能力。

3、通过循环小数教案提高学生的数学运算能力循环小数教案也可以帮助学生提高数学运算能力。

在课堂上，教师可以通过循环小数乘除法，提高学生的运算能力。

同时，在考试中，如果能够将简单的循环小数变换成分数形式，学生在计算过程中也能够减少出错的概率，从而更好地完成考试。

4、通过循环小数教案激发学生学习数学的自信心在学习循环小数教案的过程中，孩子们会更加了解自己所学习到的知识，因此更加有自信地面对数学问题。

分数与小数的应用问题解决在日常生活和学习中，分数和小数是常见的数学形式，用于表示和处理各种实际问题。

分数和小数的应用广泛且重要，因此解决与其相关的问题是我们在数学学习中需要掌握的基本能力。

本文将从分数和小数的转化、计算和比较三个方面，讨论一些常见的应用问题解决方法。

一、分数与小数的转化1. 小数转化为分数：小数可以通过转化为分数来便于理解和计算。

转化的方法是将小数的数值部分作为分子，分母根据小数位数确定，小数位数为几就在分母上写几个9。

例如，0.5可以转化为1/2，0.25可以转化为1/4。

2. 分数转化为小数：分数可以通过长除法来转化为小数。

将分子除以分母，若能整除则为有限小数，否则为无限循环小数。

例如，1/4可以转化为0.25，1/3转化为0.3333...（无限循环小数）。

二、分数与小数的计算1. 分数的加减乘除：分数的加减乘除运算与整数相似，但需要注意分母的通分和约分。

通分是将两个分数的分母转化为相同，然后再进行计算；约分是将分子和分母的公因子约去，使分数的表达更简洁。

例如，1/2 + 1/4 = 3/4，1/2 × 1/3 = 1/6。

2. 小数的加减乘除：小数的加减乘除运算可以通过先转化为分数，然后再进行计算。

与分数相同，转化为小数时需要注意小数位数的控制。

例如，0.5 + 0.25= 0.75，0.5 × 0.3 = 0.15。

三、分数与小数的比较1. 分数的比较：分数的大小比较可以通过找到分子和分母之间的关系进行。

若两个分数的分母相同，比较分子的大小即可；若分母不同，通分后再比较。

例如，1/2与3/4比较，可以先通分为2/4与3/4，然后比较分子的大小。

2. 小数的比较：小数的大小比较可以通过小数的数值部分进行。

比较时，先比较整数部分，若相同则依次比较小数部分的每一位数值。

例如，0.25与0.3比较，先比较百分位的值（2与3），再比较十分位的值（5与0），可得0.25 < 0.3。

分数与小数的换算培养孩子在分数与小数之间进行换算的能力在数学学习中，分数和小数是非常基础也非常重要的概念。

掌握好分数和小数之间的换算能力，不仅对于解题有很大的帮助，而且对于培养学生的逻辑思维、数学思维以及解决实际问题的能力都有很大的促进作用。

本文将重点探讨如何培养孩子在分数与小数之间进行换算的能力。

一、分数与小数的基本概念要培养孩子在分数与小数之间进行换算的能力，首先需要确立分数和小数的基本概念。

分数是指一个整体被分成若干等份，其中的一份就是一个分数单位，分母表示整体被分成的份数，分子表示所取的份数。

例如，1/4表示把整体分成4等份中的一份。

而小数是十进制表示的一种数，可以有整数部分和小数部分，小数点是整数部分和小数部分的分界点。

例如，0.25表示一个整体分成100等份中的25份。

二、分数与小数的相互转化1. 小数转化为分数将一个小数转化为分数，需要根据小数的位数来确定分母。

例如，将0.5转化为分数，由于小数点后面只有一位，因此可以将小数的数值直接作为分子，分母就是10的幂，即10的一次方，即分数为1/10。

如果小数点后有两位或更多位数，就需要按照小数点后的位数来确定分母。

例如，将0.25转化为分数，小数点后有两位数，因此分母为10的二次方，即分数为25/100。

2. 分数转化为小数将一个分数转化为小数，可以进行分子除以分母的计算。

例如，将3/4转化为小数，将3除以4，得到的商是0.75，即分数3/4转化为小数为0.75。

对于一些无限循环小数的分数，可以通过除法的计算得到。

例如，将1/3转化为小数，将1除以3，得到的商是0.3333...，即无限循环小数0.3333...。

三、培养孩子的换算能力1. 打基础，巩固概念为了培养孩子在分数与小数之间进行换算的能力，首先需要打好基础，巩固分数和小数的基本概念。

可以通过教学实例、实际生活中的问题等方式进行讲解和练习，并引导孩子理解分数和小数的意义和表示方法。

2020年通用版小升初数学冲A 提高集训分数问题—专题04《循环小数与分数、巧算分数》一．选择题1．（2017•邛崃市模拟）我们知道，无限小数可以转化为分数，例如：将0.3&转化为分数时，可设0.3x =&，则103330.3x ==+&&，所以103x x =+，解得13x =，即：10.33=&．仿此方法，将0.45&&化为分数是( ) A ．513B ．45101C ．3777D ．511【分析】设0.45x =&&，则0.4545x =⋯①，根据等数的性质得，10045.4545x =⋯②，再由②-①得方程10045x x -=，解方程求解即可．【解答】解：设0.45x =&&，则0.4545x =⋯①， 10045.4545x =⋯②，由②-①得方程： 10045x x -= 9945x = 99994599x ÷=÷511x =； 答：0.45&&化为分数是511． 故选：D ．2．（2009春•普陀区校级期末）下面4个分数中，不能化成有限小数的是( ) A ．4225B ．45C ．1516D ．67【分析】一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此即可解答． 【解答】解：在4225，45中，分母25，只含有质因数5，能化成有限小数； 在1516中，分母16只含有质因数2，能化成有限小数；在67中，分母7含有质因数7，含有2和5以外的质因数，不能化成有限小数．故选：D ．3．（2017春•漳平市校级期末）下面各题计算正确的是( )A ．5521227815305++==B ．2010121211110-==C ．151050212121--= 【分析】解答此题首先应知道同分母分数相加减和异分母分数相加减的运算法则；同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，应先把异分母分数化成同分母分数后，再加减．【解答】解：（1）A 、B 错误，错误的原因在于，、是异分母分数，不能把分母直接相加减，应化成同分母分数后再相加减；（2）C 正确．因为1521、1021和521是同分母分数，只把分子相加减，分母不变．故选：C ．4．（2004秋•黄冈期末）小华做语文作业用了13小时，比做数学作业多用115小时．她做完这两种作业一共用了多少小时？正确的列式是( ) A ．11315+B ．11315-C ．1113315+-D ．1113315++【分析】完成作业的总时间是语文作业用的时间加上数学作业用的时间，数学作业用的时间可以用语文作业的时间减去115．【解答】解：做数学作业用的时间是：11315-， 那么做作业用的总时间就是：1113315+-； 故选：C ． 5．要使算式111111124681012++++++的结果为2，必须删去的加数是( ) A ．14与18B ．18与110C ．16与112【分析】要先分析那几个分数的和是1，算式111111124681012++++++中，12、14、16、112这几个分数的分母是倍数关系，所以把它们通分相加：1111632112461212121212+++=+++=；此可知，去掉18与110即可．【解答】解：12、14、16、112这几个分数的分母是倍数关系，所以把它们通分相加：1111632112461212121212+++=+++=；所以，要使算式111111124681012++++++的结果为2，必须删去的加数是18与110．故选：B ．6．下面各式的计算结果最接近12的是( ) A ．1155+B ．7588-C ．111020-D ．571442+ 【分析】先算出选项中的运算结果，然后把这些结果与12求差，谁的差最小谁就最接近12．【解答】解：A ，112555+=； 1212510-=；B ，751884-=； 111244-=；C ，111102020-=； 11922020-=；D ，5711144221+=； 111121242-=； 11194210420<<<； 计算结果最接近12的是D ．故选：D ．7．下面各式中，计算结果较大的是( ) A ．1123+B ．111456++ C ．1134+【分析】根据分数加减法的法则计算出三个选项的结果再比较大小即可． 【解答】解：11235:2366A ++==； 11115121037:4566060B ++++==；11347:341212C ++==； 550660=，7351260=， 503735606060>>，故选：A ． 二．填空题8．（2017秋•广东期末）循环小数8.8989⋯用简便方法写作： 8.89&& ，把它保留两位小数约是 ． 【分析】循环小数8.8989⋯的循环节是89，用简便方法写的时候，在89上打上小圆点即可，即8.89&&； 把它保留两位小数，就要看第三位数字，第三位数字是8，向前一位进1，前一位变成9110+=，10要向它的前一位进1，于是记作8.90．【解答】解：循环小数8.8989⋯用简便方法写作：(8.89)&&，把它保留两位小数约是(8.90)． 故答案为：8.89&&，8.90． 9．（2018•厦门模拟）把17化为小数，则小数点后的第100个数字是 8 ，小数点后100个数字的和是 ． 【分析】17化为小数是一个循环小数，循环节是142857，因为1006164÷=⋯，所以循环节的第四个数是第100个数字，即8．小数点后100个数字的和，即16个循环节的和，加上循环节的前四个数的和．即16(142857)1428⨯+++++++++．【解答】解：17化为小数是0.14285&7&，因为有6位循环小数，所以由周期性可得，（1）1001664=⨯+，所以小数点后第100个数字与小数点后第4个数字一样即为8； （2）小数点后前100个数字的和是：16(142857)1428447⨯+++++++++=． 答案：8；447． 10．（2014•重庆模拟）把211化成循环小数，这个循环小数的小数部分第50位上的数字是 8 ． 【分析】先把211化成循环小数是0.181818⋯，可以看出循环节是18，是两个数字，用50除以2正好整除，那么就能知道第50位上的数字是8．【解答】解：20.18181811=⋯，循环节是两位数；50225÷=，所以这个循环小数的小数部分第50位上的数字是8．故答案为：811．（2011•下城区校级自主招生）给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数．已知小数点后第100位上的数字是5，这个循环小数是 0.708216945&3& ． 【分析】表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在3的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，因此从5开始“试”，如果5不行，就“试”4，⋯，直到合适为止．【解答】解：设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是2，(1008)246-÷=，小数点后第100位数字是3，不符合题意；设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是3，(1007)331-÷=，小数点后第100位数字是3，不符合题意；设前一个小圆点加在“9”的上面，这时循环周期是4，(1006)4232-÷=⋯，小数点后第100位数字是4，不符合题意；设前一个小圆点加在“6”的上面，这时循环周期是5，(1005)519-÷=，小数点后第100位数字是3，不符合题意；设前一个小圆点加在“1”的上面，这时循环周期是6，(1004)616-÷=，小数点后第100位数字是3，不符合题意；设前一个小圆点加在“2”的上面，这时循环周期是7，(1003)7136-÷=⋯，小数点后第100位数字正好是5，符合题意．所以这个循环小数是：0.708216945&3&． 故答案为：0.708216945&3&．12．（2009春•瑞金市期末）在56、113、312、29 中能化成有限小数的是 312． 【分析】一个最简分数，如果分母中只含有2和5的质因数，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数．如果一个最简分数的分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此即可判断．【解答】解：分数56的分母除了含有质因数2外，还含有质因数3，故不能化成有限小数；分数113、29含有质因数3，故不能化成有限小数；分数312化成最简分数是14，分母只含有质因数2，故能化成有限小数；故答案为：312．13．将0.28&化成最简分数0.28=& 1345． 【分析】混循环小数，循环节有几个数字，分母就有几个9，循环节前到小数点间有几位数字，分母9后面就有几个0，分子是混循环数字减去循环节前数字的差．据出解答． 【解答】解：282130.289045-==& 故答案为：1345．14．计算：0.30.8÷=&& 38． 【分析】纯循环小数化成分数，循环节有几个数字，分母就有几个9，分子是循环节的数字，据此解答． 【解答】解：0.30.8÷&&3899=÷3998=⨯ 38=故答案为：38．15．某学生将1.23&乘以一个数α时，把1.23&误看成 1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果应该是 111 ．【分析】0.03&即分数130，根据乘法分配律可知把因数1.23&误看成 1.23，乘积比正确结果减少了10.030.330αα-=，解方程即可求得α，再代入算式求解即可．【解答】解：由题意可得 10.030.330αα-=， 10.3300α=，90α=． 11.23(1.2)9030α=+⨯& 11.2909030=⨯+⨯1083=+111=．故答案为：11116．（2014•台湾模拟）有2001个分数依次排成一列：12320002001,,2002,2002,2002,20022002⋯．从中划去77个分数，划去的分数分子为连续自然数．剩下的分数相加，和恰好为980．在划去的分数中，最末尾的一个分数是5712002． 【分析】根据题意，由“剩下的分数相加，和恰好为980”，可求出剩下分数的分子的和，用原来分子之和减去剩下分数的分子的和，就是划去的分数分子的和．然后设划去的分数中，最前面的一个分数的分子为x ，则末尾的分子为76x +，列出方程，求出最前面的一个分数的分子，进而求出最末尾的一个分数的分子，解决问题．【解答】解：剩下的分数，它们分子的和为x ，得： 9802002x=2002980x =⨯ 1961960x = 原来分子的和为： (12001)20012+⨯÷ 200220012=⨯÷ 2003001=划去的分数分子的和为： 2003001196196041041-=设划去的分数中，最前面的一个分数的分子为x ，则末尾的分子为76x +，得： (76)77241041x x ++⨯÷=(276)77241041x +⨯÷= (38)7741041x +⨯= 77292641041x += 7738115x = 495x =最末尾的分数的分子为：49576571+=因此最末尾的一个分数是5712002． 故答案为：5712002．17．（2010•泸西县校级模拟）有五个分数依次相差125，它们的比是：1:3:5:7:9，则这五个数的和是 12． 【分析】已知这五个数的比为1:3:5:7:9，因此可设第一个数为x ，则第二个数为3x ；又它们依次相差125，据此可行方程：1325x x-=，解此方程得出第一个数之后，就能据它们的差或比求出其它四个数，进而求出它们的和是多少．【解答】解：设第一个数为x ，则第二个数为3x ，则； 1325x x -= 1225x =，150x =；它们的和为：1111135795050505050+⨯+⨯+⨯+⨯ 1(13579)50=⨯++++，12550=⨯， 12=；故答案为：12．18．如果a 和b 都是非零自然数，并且满足274728a b +=，那么a b += 6 ． 【分析】由274728a b +=可变形为：7427a b +=，因为a 和b 都是非零的自然数，这里只要求出这个二元一次方程的整数解即可．【解答】解：274728a b +=可变形为：7427a b +=，即2774ab -=，因为a 和b 都是非零的自然数，所以0a >，727a <， 即2707a <<，那么a 是1，2，3，则1a =时，5b =，156a b +=+=； 2a =时，134b =（不合题意舍去）；3a =时， 1.5b =（不合题意舍去）．故6a b +=． 故答案为：6．19．分母是385的最简真分数有 240 个；它们的和是 ．【分析】因3855711=⨯⨯，在1至385中，5的倍数有385775=（个)；7的倍数有385557=（个)；11的倍数有3853511=（个).35(57)⨯的倍数有3851157=⨯（个)；55(511)⨯的倍数有3857511=⨯（个)；77(711)⨯的倍数有3855711=⨯（个)；385的倍数有一个．由容斥原理知，是5或7或11的倍数的数的个数是77553511751145++---+=（个)．故与5，7，11都互质的数有385145240-=（个)，即以385为分母的真分数中，最简分数有240个．因当385a 是最简分数时，385385a-也是最简分数且其和为1，即最简真分数是成对出现的，且每对两数之和为1．从而240个最简真分数可分成120对，其和为120．据此解答．【解答】解：因3855711=⨯⨯，在1至385中，5的倍数有385775=（个)； 7的倍数有385557=（个)； 11的倍数有3853511=（个)；35(57)⨯的倍数有3851157=⨯（个)； 55(511)⨯的倍数有3857511=⨯（个)； 77(711)⨯的倍数有3855711=⨯（个)；385的倍数有1个．由容斥原理知，是5或7或11的倍数的数的个数是： 77553511751145++---+=（个)．故与5，7，11都互质的数有385145240-=（个)，即以385为分母的真分数中，最简分数有240个．因当385a 是最简分数时，385385a-也是最简分数且其和为1，即最简真分数是成对出现的，且每对两数之和为1．从而240个最简真分数可分成120对，其和为120． 故答案为：240，120． 20．37132131626122030-----=16． 【分析】通过观察发现，算式从第二项开始，数字有一定特点，即：分数的分子比分母大1．首先把它们写成带分数的形式，把整数部分加在一起．剩余的分数部分，每相邻的两个分数，它们的分母被分解后，都含有相同的因数，然后把分母改成因数相乘的形式． 【解答】解：原式1111161111126122030=---， 1111165()1223344556=--++++⨯⨯⨯⨯⨯， 11111111111[()()()()()]1223344556=--+-+-+-+-， 11[1]6=--， 16=．故答案为：16．21．计算：1111115510101515202025++++=⨯⨯⨯⨯⨯29125 ． 【分析】通过观察可知，算式中的后四个加数分母都为(5)n n +形式，所以本题可据巧算公式1111()()n n m m n n m =-++进行巧算．【解答】解：1111115510101515202025++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111111()55510101515202025=+⨯-+-+-+-， 1111()55525=+⨯-， 1145525=+⨯， 29125=．三．判断题22．（2009秋•洛龙区期末）3.12525⋯的循环节是25． 正确 （判断对错）【分析】小数3.12525⋯从小数点后第四位重复出现与25数字相同的数字，故3.12525⋯的循环节是25．【解答】解：一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节． 小数3.12525⋯中，小数部分数字25依次不断地重复出现，所以这个小数的循环节是25．故答案为：正确．23．0.9&等于1． √ （判断对错） 【分析】0.9&是一个无限循环小数，其循环节为9，是一个有理数．由循环小数化分数的法则知：循环节为9，故分子为9，而循环节为1个9的数字，循环节小数点后没有零，所以分母中9的个数为1个，且9的后面没有零，故分母为9，因此，90.919==&，据此解答即可． 【解答】解：因为90.919==&，即0.9&等于1，所以原题说法正确．故答案为：√．四．解答题24．（2012•郑州模拟）把下面各循环小数化成分数：0.7&，0.147&&，0.318&&．【分析】纯循环小数化成分数，循环节有几个数字，分母就有几个9，分子是循环节的数字；混循环小数化成分数，循环节有几个数字，分母就有几个9，循环节前到小数点间有几位数字，分母9后面就有几个0，分子是混循环数字减去循环节前数字的差，有些化成的分数需要约分．【解答】解：：70.79=&， 147490.147999333==&&，70.31822=&&．25．()0.31()=&&，()0.13()=&． 【分析】把循环小数的小数部分化成分数的方法：①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分．②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同．【解答】解：310.3199=&& 13120.139015-==& 故答案为：3199；215．26．把0.47&&化成分数．【分析】根据循环小数化分数的方法可得，纯循环小数的循环节47是两位数，所以分数的分母是99，分子是47；据此解答即可． 【解答】解：470.4799=&& 27．把所有由三个不同非零数字组成的三位数添加一个小数点和一个循环点，变成一个一位整数部分的循环小数，求这些循环小数的和？【分析】三位数□□□，小数如：1.23，每位数1~9，共9种，由三个不同非零数字组成，则共有987504⨯⨯=个数，先求出每位上和，再求出各个数位上所有数和即为所求．【解答】解：三位数□□□，小数如：1.23，每位数1~9，共9种，由三个不同非零数字组成，则共有987504⨯⨯=个数，所有数和为：56(129)0.17[(129)(91)]7[(129)(91)]90⨯++⋯++⨯⨯++⋯+⨯-+⨯++⋯+⨯-÷56450.745828=⨯+⨯⨯+252025228=++2800=答：这些循环小数的和是2800．28．任何一个无限循环小数都可以用化无限为有限的数学思想化成分数形式，如0.7&，设0.7x =&，可知：107.7770.777x x -=⋯-⋯即107x x -=，解得：79x =，根据上面的方法，把下列无限循环小数都化成分数形式：0.8=& 890.62=&& 0.45=& ．【分析】（1）设0.8x =&，找出规律公式108x x -=，解方程即可；（2）设0.62x =&&，找出规律公式10062x x -=，解方程即可；（3）设0.45x =&，找出规律公式10 4.1x x -=，解方程即可．【解答】解：（1）设0.8x =&，由0.80.888=⋯&，108.88x =⋯可知，108.8880.8888x x -=⋯-⋯=，即108x x -=， 解得89x =； （2）设0.62x =&&，由0.620.6262=⋯&&，10062.6262x =⋯可知，10062.62620.626262x x -=⋯-⋯=，即10062x x -=， 解得6299x =； （3）设0.45x =&，由0.450.455=⋯&，10 4.55x =⋯可知，10 4.5550.455 4.1x x -=⋯-⋯=，即10 4.1x x -=， 解得4190x =． 故答案为：89；6299；4190．29．练习：(2.2340.98)11+÷&&&&． 【分析】将循环小数循环部分变为分数，再先计算小括号里面的加法，再计算括号外面的乘法即可求解．【解答】解：(2.2340.98)11+÷&&&& 1798(2.2)1149599=++÷ 53211165=÷ 5321815= 30．0.30.40.50.60.70.8+++++&&&&&&． 【分析】此题应把循环小数化为分数，分母为9，9的个数为循环节的位数，分子为小数点后面的数，据此解答．【解答】解：0.30.40.50.60.70.8+++++&&&&&&， 345678999999=+++++， (38)629+⨯÷=， 113=．。

分数与循环小数分数与循环小数知识要点：1、循环小数的概念及分类：（1）循环节：一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节。

（2）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。

（3）混循环小数：不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数。

2、循环小数化成分数的方法：（重点）（1）纯循环小数化成分数：分子是由循环节所组成的多位数；分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数。

（所得分数能约分的要约分）（2）混循环小数化成分数：分子是由从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数与小数点后不循环部分所组成的多位数的差。

分母是由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数。

（所得分数能约分的要约分）典型例题：例1：将下列循环小数转化成分数。

. . . . . . .（1）、0.54 (2)、0.0143 （3）、1.72 (4)、0.56分析及解：直接运用循环小数化成分数的方法即可。

（注意纯、混循环小数化法的不同）（1）、化成分数为：54/99=6/11。

（2）、化成分数为：（143-1）/990=71/495。

（3）、化成分数为：1又72/99=1又8/11。

（4）、化成分数为：（56-5）/90=51/90=17/30。

指导建议：各位家长可随意出，让孩子将循环小数化成分数，数较小的要让孩子写出最简分数，数较大的可以不进行约分。

主要是让孩子掌握化成分数的方法。

例2、循环小数加法计算：家长可仿照书上例题即可：重点是例4中的（3）、（4）小题。

（3）小题中要让孩子说出为什么是1点6，6的循环。

（4）小题中在计算时可以多写几位，然后再计算。

例3、循环小数乘、除法。

指导建议：这部分的练习，重点是让孩子将循环小数化成分数，再进行计算。

因此，孩子应重点加强分数计算的训练，尤其是约分。

没有别的好办法，只能加强练习。

第8 讲分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。

兴趣篇1．把下列分数化为小数：3，13 132，3，4；（1），；（2）48 2591133（2）5，5，7；（4）2，3，4；622 9071337答案：（l）0.75, 1.625, 0.52(2)0.2，0.27 , 0.12(3)0.83，0.227 ,0.07(4)0.285714 , 0.230769 ，0.1082．把下列小数化成分数：(1)0.23 ，0.479; (2)0.12 ，0.255.答案：(1) 23，479(2) 3，51100 100 25 2003．把下列循环小数转化为分数：(1) 0.1，0.4 ；(2) 0.01 ，0.35 ；(3) 0.08，0.38 .答案：(1) 1, 4(2) 1, 35(3)9 9 99 99答案：7，4，41，619 33 333 4954，745 184．把下列循环小数转化为分数：0.7 ，0.12 ，0.123 ，0.1235.计算：（1）0.1 0.2 0.3 ；（2）0.2 0.3 0.4 ；3) 0.3 0.5 0.74)0.1 0.12 0.123 ；(5) 0.12 0.23 。

答案：(1) 2(2)1 (3) 12(4) 107(5)3 3 30039 1100.1 0.2 0.3 1 2 3 6 2999936.计算： 0.12345 0.23451 0.34512 0.45123 0.51234 。

答案：123解析：把每个数化成分数，分母都是 99999，所以计算会很方便．0.12345 0.23451 0.34512 0.45123 0.51234 12345 23451 34512 45123 5123499999 99999 99999 99999 99999 11111 1 2 3 4 59999915 9 12 37.计算下列各式，并用小数表示计算结果： （1）1.86 0.351 ；（2） 0.38 0.518 。