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§2.1 函数及其表示
最新考纲 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
1．函数
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 精心整理
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2 3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型．
提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √ )
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．
答案 (－∞，1)∪(1,4]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第一讲 函数及其表示
1.[2020陕西省安康市第一次联考]函数f (x) =√3 - 3 - 𝑥+ln|x|的定义域为 ( )
A.[-1,+∞) B.[-1,0)∪(0,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0)∪(0,+∞)
2.[2020湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考]下列函数中,其定义域和值域与函数y =eln x的定义域和值域相同的是 ( )
A.y =x B.y =ln xC.y =1√𝑥 D.y =10x
3.[2020山东师大附中二模]函数f (x) ={(1 - 2𝑎)𝑥+3𝑎(𝑥<1),ln𝑥(𝑥≥1)的值域为R,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.[12,1]C.[-1,12) D.(0,12)
4.[2020福建龙海初调]已知函数f (x) ={2𝑥 - 1 - 2,𝑥≤1, - log2(𝑥+1),𝑥>1且f (a) =-3,则f (6-a) = ( )
A. − 74 B. − 54 C. − 34 D. − 14
5.[2019皖中名校联考]若函数f (x) ={𝑥+2,𝑥≤2,1+log𝑎𝑥,𝑥>2(a>0,a≠1)的最大值是4,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,2] B.(0,1)∪(1,√2]C.(0,1) D.(0,1)∪(1,√23]
6.[2020惠州市二调]设函数f (x) ={𝑥2+𝑥 - 2(𝑥≤1),1 - lg𝑥(𝑥>1),则f (f (-4)) = .
7.[双空题]已知a>0且a≠1,函数f (x) ={𝑓(𝑥+2),𝑥<0,𝑎𝑥 - 1,𝑥≥0,若f (2) =8,则实数a的值为 ,f (-3)
= .
8.[2020陕西省百校第一次联考]设函数f (x) ={√𝑥 - 1,𝑥>1,2 - e𝑥,𝑥≤1,则使1
.
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 热点探究课(一) 函数的图象与性质
[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考察的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考察，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．
热点1 函数图象的应用
利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考察学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．
f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ cos πx，x∈0，12，2x－1，x∈12，＋∞，那么不等式f(x－1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】
14，23∪43，74 [画出函数f(x)的图象，如图，
当0≤x≤12时，令f(x)＝cos πx≤12，解得13≤x≤12；
当x＞12时，令f(x)＝2x－1≤12，解得12＜x≤34，
故有13≤x≤34.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤12的解集为－34，－13∪13，34，故f(x－1)≤12.
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 的解集为14，23∪43，74.]
[迁移探究1] 在本例条件下，假设关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．
[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.
[迁移探究2] 在本例条件下，假设函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．
[解] 函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.
- 1 - 第1讲 函数及其表示
组 基础关
1．下列各组函数中不表示同一函数的是( )
A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg |x|
B．f(x)＝x，g(x)＝3x3
C．f(x)＝x2－4，g(x)＝x＋2·x－2
D．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ x＋1，x≥－1，－x－1，x<－1
答案 C
解析 A中，g(x)＝2lg |x|＝lg x2，则f(x)与g(x)是同一函数；B中，g(x)＝3x3＝x，则f(x)与g(x)是同一函数；C中，函数f(x)＝x2－4的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g(x)＝x＋2·x－2的定义域为[2，＋∞)，则f(x)与g(x)不是同一函数；D中，f(x)＝|x＋1|＝ x＋1，x≥－1，－x－1，x<－1，则f(x)与g(x)是同一函数．故选C.
2．若f1x＝x1－x，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于( )
A.1x B.1x－1
C.11－x D.1x－1
答案 B
解析 当x≠0，且x≠1时，f1x＝x1－x＝11x－1，所以f(x)＝1x－1.
3．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝
- 2 - 10－2x，则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R} B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5} D.x 52＜x＜5
答案 D
解析 由题意知 x＞0，10－2x＞0，2x＞10－2x，即52＜x＜5.
4．设f(x)＝ 1－x，x≥0，2x，x<0，则f[f(－2)]等于( )
A．－1 B.14 C.12 D.32
答案 C
解析 由已知得，f(－2)＝2－2＝14，f[f(－2)]＝f14＝1－14＝1－12＝12.
5．已知函数f(x)＝ 2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
