二次函数零点分布

跨学科应用的研究
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02

二次函数零点分布情况二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述很多自然现象和数学问题。

在二次函数中，零点即为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解，其中 $a, b, c$ 是常数，$a\neq0$。

在本文中，我们将探讨二次函数的零点分布情况，包括有两个实根、有一个实根和无实根的情况。

首先，我们来讨论二次函数有两个实根的情况。

对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须大于零，才能有两个不相等的实根。

当 $D>0$ 时，方程有两个实根，且它们的值可以通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 来求得。

此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与 $x$ 轴交于两个不同的点，这两个点就是函数的零点。

其次，我们来讨论二次函数有一个实根的情况。

对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须等于零，才能有一个实根。

当 $D=0$ 时，方程有一个实根，它的值可以通过求根公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 来求得。

此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与$x$ 轴相切于一个点，这个点就是函数的零点。

最后，我们来讨论二次函数无实根的情况。

对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须小于零，才能无实根。

当$D<0$ 时，方程无实根，此时我们无法在实数范围内找到满足方程的解。

对于这种情况，二次函数的图像也不会与 $x$ 轴相交，即没有零点。

通过以上讨论，我们可以得出以下结论：对于二次函数 $ax^2+bx+c$，它的零点分布情况依赖于方程的判别式 $D=b^2-4ac$ 的值。

如果 $D>0$，则函数有两个实根，若 $D=0$，则函数有一个实根，若 $D<0$，则函数无实根。

需要注意的是，判别式的正负性实际上也与二次函数的开口方向有关。

当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，有两个零点的情况会出现在开口向上的抛物线中；当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，有两个零点的情况会出现在开口向下的抛物线中。

解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(&#0)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。

二次函数的零点解读同学们知道，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

在函数的零点问题中，二次函数的零点是学习的基础和重点。

下面就二次函数零点的情况予以细解归纳，供同学们学习时参考。

一、二次函数的零点1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，其零点就是方程f(x)=0即ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，也就是抛物线与x轴的交点的横坐标。

2.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式∆=b2−4ac来确定。

基本情形如下表：（1）并非所有的二次函数都有零点，比如y=2x2+1就不存在零点；（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)若有两个零点，则零点关于直线x=−b2a对称；（3）若二次函数y=f(x)的图象在闭区间[m，n](m<n)上连续，且f(m)∙f(n)< 0，则函数y=f(x)在区间(m，n)内必有一个零点。

二、二次函数的零点分布问题以二次函数y=ax2+bx+c(a>0)为例，设方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根为x1、x2(x1≠x2)，即函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点为x1、x2有：（1）若两零点在原点的同侧，则∆>0且f(0)>0；（2）若两零点在原点的两侧，则∆>0且f(0)<0；（3）若两零点一个大于k，一个小于k，则f(k)<0；（4）若两零点都大于k，则{∆>0−b2a >kf(k)>0；（5）若两零点都小于k，则{∆>0−b2a <kf(k)>0；（6）若两零点都在区间(α，β)内，则{∆>0 α<−b2a<βf(α)>0，f(β)>0；（7）若两零点一个在区间(α，β)内，另一个在区间(m，n)(α<β<m<n)内，则{f(α)>0 f(β)<0f(m)<0f(n)>0。