21.5反比例函数图像和性质2

考点五反比例函数的图像和性质

知识点整合

一、反比例函数的概念

1．反比例函数的概念一般地，函数k

y

x

（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以

写成1

ykx





的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一

切非零实数．

2．反比例函数k

y

x

（k是常数，k

0）中x，y的取值范围反比例函数k

y

x

（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，

函数值y的取值范围也是非零实数．

二、反比例函数的图象和性质

1．反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三

象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x

轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随

x的增大而减小．

当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而

增大．

表达式k

y

x

（k是常数，k≠0）

kk>0k<0

大致图象

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

2．反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，

对称中心为原点．

3．注意

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑

的曲线连接各点．

（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函

数k

y

x

中x≠0且y≠0．

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象

限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但

不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x

反比例函数的图象和性质

一、反比例函数的定义

函数kyx（k为常数，0k）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．

二、反比例函数的图象

反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．

反比例函数kyx与kyx（0k）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．

三、反比例函数的性质

反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象是双曲线；

当0k时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

当0k时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

注意：

⑴反比例函数kyx（0k）的取值范围是0x．因此，

①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．

②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，

如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．

这是由于0x，即0x或0x的缘故．

如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．

⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．

⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．

四、反比例函数解析式的求法

反比例函数的解析式(0)kykx中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．

五、比例系数k的几何意义

过反比例函数0kykx，图象上一点Pxy，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积Sxyxyk.

2014年滁州市数学优质课评比

教学设计

沪科版初中数学九年级上册

课题： 21.5 反比例函数的

图象与性质

（第一课时）

滁州六中 高在为

2014.9.25

1 21.5反比例函数册图象与性质（第一课时）

教材分析 函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是中学数学学习的核心内容，而本节课的核心内容是反比例函数图象的特征、函数的特性已及它们之间的互相转化关系，教材由“解析式”到“作图”，再到“性质”，这一过程充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化，使学生深刻体会分类思想、数形结合思想在函数学习中重要作用。

学情分析 学生已经学习了一次函数、二次函数的图象、性质及应用，反比例函数的概念，并掌握了研究函数的一般方法：“由描点法做出函数图象----观察图象总结函数的性质----函数知识的实际应用”。

教

学

目

标 知识技能 1、 能熟练的用描点法做出反比例函数的图象知道，知道反比例函数的图象是双曲线。

2、 逐步提高从函数图象中获取信息的能力，理解并掌握反比例函数的性质。

数学思考 通过观察反比例函数的图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括能力，在探究过程中渗透分类思想和数形结合思想。

问题解决 会画反比例函数图象，并能根据图象探究其性质，能利用函数的性质解决简单问题。

情感态度 积极参与探索活动，注重多与同伴交流看法。在动手作图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯。

重 点 画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质。

难 点 反比例函数性质的探索、理解及灵活应用。

教学

方法 合作探究、观察法、数形结合法、PPT课件及几何画板直观演示

教学

流程 本节课教学流程共分为五个环节，依次是：

环节一 回顾思考，以旧探新

环节二 尝试发现，探索新知

环节三 归纳总结，深化理解

环节四 强化新知，巩固提升

21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质

教学目标

1、知道反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质；能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题。

2、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，总结出它的性质；探索反比例函数的图象的性质，体会并掌握用数形结合思想解决数学问题的方法。

3、调动学生的主观能动性，积极参与数学活动，培养合作、交流意识，提高观察、分析、抽象的能力。

重点难点

重点：反比例函数的图象和性质。

难点：反比例函数图象的画法及其性质的归纳。

教学准备

多媒体课件

教学方法

问题教学法、观察法、合作探究式教学法等。

教学过程

一、回顾交流

多媒体课件出示：

1、什么叫做反比例函数？下列函数中哪些是反比例函数？

14,56,2,4xyxxyxyxy

反比例函数的定义中需要注意什么？

2、一次函数0kbkxy的图像是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，那么反比例函数的图象是什么样的呢？

3、画函数图象的一般步骤是什么？

师：请同学们回答以上问题。

二、探究新知

1、师：下面我们来画一个反比例函数xy6的图象，它的定义域是什么呢？

生：0x

师：对，所以我们取x的值时，应取不等于0的数，请同学们根据作图的一般步骤作出这个函数的图象。

学生作图，教师巡回指导。

师：你能说出这个图像的特征吗？生：它的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值y随x值得增大而减小。

师：图象与坐标轴有交点吗？

学生观察后回答：图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交。

师：你能根据它的解析式分析一下出现这种现象的原因吗？

学生交流、讨论：x和y都不为0.

师：你们说说为什么x和y都不能为0吗？

生：因为xy6变形后是xy=6，若x、y中有一个为0，则它们的积就是0了。

师：对，你分析得太好了，这个图形的形状有什么特点呢？（多媒体演示）