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基于CV aR 约束的投资组合模型*
孟勇 博士
摘 要：CV aR 是在V aR 的基础上发展出的一种投资风险计量方法，它克服了V aR 的一些缺陷。
本文在马柯维茨(Markowitz)的投资组合模型基础上，提出了基于CV aR 约束下的E-SV 投资组合模型。
该模型为机构投资者进行投资组合提供了一种可操作的方法。
关键词：CV aR E-SV 投资组合
美国学者马柯维茨于1952年首次提出了E-V(expectation-variance)投资组合模型，随后许多学者对投资组合模型进行了大量研究。
其中，Bernellk Stone 于1973年得到了计量Downside Risk 的通用公式。
另外，文献1提出了半绝对离差证券投资组合模型，文献2、3提出了E-SV(expectation-semivariance)模型，文献4提出了基于V aR 约束下的E-V 模型。
本文在已有理论的基础上，提出了基于CV aR 约束下的E-SV 投资组合模型。
该模型对于机构投资者进行投资组合具有重要的借鉴意义。
一、CV aR 的提出
CV aR （conditional value at risk ）是在V aR （value at risk ）基础上发展出的一种投资风险计量方法。
V aR 作为风险计量方法不仅具有概念简单、易于沟通和理解的优点，而且为不同金融工具构成的复杂的投资组合提供了一个统一的、综合性的风险测量框架（文献5）。
因此，V aR 现在被广泛应用于各金融机构，幷且正在成为计量金融风险的国际标准。
然而，许多实证研究表明，V aR 方法具有其本身无法克服的缺陷（文献6、7）：其一，V aR 不满足一致性公理。
这就意味着用V aR 来计量风险，投资组合的风险不一定小于或等于该组合中各种资产分别计量的风险值之和，这与风险分散化的市场现象相违背；其二，V aR 尾部损失测量的非充分性，它无法考察超过分位点的下方风险信息；其三，V aR 应用的前提必须是股票收益率服从正态分布，而许多实证研究表明，目前中国的股票收益率不服从正态分布。
为了克服V aR 的缺陷，Rockafeller 和Uryasev 在2000年提出了条件风险价值——CV aR 的风险计量技术（文献8）。
CV aR 是指投资组合的损失大于某个给定的V aR 值的条件下，该投资组合损失的平均值。
与V aR 相比，CV aR 满足次可加性、正齐次性、单调性及传递不变性，因而CV aR 是个一致性的风险计量方法。
另外，研究表明（文献8），CV aR 可以通过使用线性规划算法来进行优化。
CV aR 以其优点正在被越来越多的机构投资者所重视。
二、CV aR 的理论基础
设),(r x f 表示一个投资组合的损益函数，其中x 代表控制向量，r 为随机向量且n
R
r ∈，假定r 的密
度函数为)(r p 。
则投资组合的累积分布函数为⎰
≤=ψa
r x f dr r p a x ),()(),(。
Rockafeller 和Uryasev 在文
献[8，9]中证明了它对a 非减、右连续。
另外，定义：
{}β
β≥ψ∈=),(:min )(a x R a x a
*
国家自然科学基金资助项目（基金号码：70371062）
2 dr r p r x f x x a r x f )(),(11)()
(),(⎰
≥-=
ββ
ϕβ （1）
分别为置信水平)1,0(∈β下的V aR 和CV aR ，以下对)(x a β简称a 。
事实上对)(x βϕ优化是困难的，因为它的定义中包含了)(x a β函数，因此文献10定义了一个更简单的函数：
[]⎰∈+
--+
=n
R
r dr r p a r x f a a x F )(),(11),(β
β （2）
进一步考虑，如果密度函数)(r p 的解析表达式不可得，则可应用情景分析法来模拟。
假设，根据股票价格的历史数据得到了J 个数据：J
r r r r ,...,,,3
2
1
，这种情况下，（2）式可近似表达为：
[]
∑=+
--+
=J
k k
a
r
x f J
a a x F 1
),()1(1
),(ββ （3）
三、基于CV aR 约束的投资组合模型
设),(r x f 表示一个投资组合的损益函数，其中),...,,(21n x x x x =τ
，表示在n 种股票上的资金分配
情况，),...,,(21n r r r r
=τ
，i r 表示第i 种股票的市场收益率。
则损益函数可表示为：
r x r x r x r x r x r x f n n τ
-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-=)(),(332211 （4）
（2）式可表示为：
[]
⎰∈+
---+
=n
R
r dr r p a
r x
a a x F )(11),(τ
ββ
（5）
取r 的样本值为J
r
r r r ,...,,,32
1
，则（3）式可表示为：
[]
∑=+
---+
=J
k k
a
r
x
J
a a x F 1
)1(1
),(τ
ββ （6）
另外，在（6）式中如果引入虚拟变量k z ，则（6）式可用线性函数∑=-+
J
k k
z
J
a 1
)1(1β和线性约束
a r
x z k
k --≥τ，0≥k z 来取代。
至此，我们可得到基于CV aR 约束下的投资组合决策模型如下：
3
01
m in ()1(1)01
1 01
p J
k
k k
k k f x x x x
R x R R a z
J
z x r a z n
x i i x i
τ
τ
ττωω
β=-+
=Ω-Ω=≥+
≤-≥--≥=∑=≤≤∑
这里R
x R p
τ
=，代表投资组合的期望收益率，其中),...,,(21n R R R R
=τ
，代表组合中各股票的期望
收益率。
n
n ij n
n ij ⨯⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=+Ω⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=-
Ω-σσ , ，))((-
--=j i ij r r E σ，()()ij i j E r r σ+
+
+
=，(,0)i i i r min r R -=-，
)0,(x i i i R r ma r -=+
，ω为投资者所能承担的风险水平。
这是一个具有不等式约束的二次规划问题，其
可以通过转变为线性规划得以求解。
四、结论
本文在E-V 模型的基础上，提出了基于CV aR 约束的E-SV 投资组合模型。
该模型适于任何分布，同时，该模型在约束条件中加入了CV aR 约束值，使得投资者可以有效的控制风险，这是该模型的一个优点。
另外，该模型的目标函数对投资者实际面临的风险计量更为科学、合理。
但是，也应看到在应用该模型时，置信水平和约束值的选取将会影响整个投资组合的收益和风险。
因此，选取合适的置信水平和约束值是应用该模型所要做的进一步研究工作。
参考文献：
1． 徐绪松、杨小青、陈彦斌：半绝对离差证券组合投资模型，武汉大学学报，2002.6
2．汪温泉、俞雪飞、潘德惠：证券投资基金的一种投资组合选择模型，系统工程学报，2003.6 3．张喜彬、荣喜民、张世英：有关风险测度及组合证券投资模型研究，系统工程理论与实践，2000.9 4．佟孟华、郭多祚：V aR 方法及其在投资组合选择中的应用，东北财经大学学报，2004.2 5．Duffie D, Pan J.. An Overview of Value at Risk , Journal of Derivatives, 1997
7．Mauser H., Rosen D.. Beyond VaR: from Measuring Risk to Managing Risk , ALGO Research Quarterly, 1999, 1(2) 6．Artzner P, Delbaen F, Eber J. M., Heath D.. Coherent Measures of Risk , Mathematical Finance, 1999, 9(3) 8．Rochafeller R. T., Uryasev S.. Optimization of Conditional Value-at-Risk , Journal of Risk, 2000, 2(3)
9．Rochafeller R. T., Uryasev S.. Conditional VaR for General Loss Distributions , University of Florida, Gainosville, FL32611, 2001
10．Uryasev Stanislav. Conditional Value-at –Risk: Optimization Algorithms and Applications , Financial Engineering News, 2000(14)
（责任编辑：吴秉松、张振峰、刘丽霞）。
