一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有2024-2025学年吉林省白城市高一上学期11月期中考试数学检测试题一项是符合题目要求的．）1. 设函数()()11(0)f x ax x a a =+->，当01x ≤≤时，()f x 的最小值为()g a ，则()g a 的最大值为（ ）A aB.1aC. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据一次函数的单调性以及最值来求得正确答案.【详解】()11f x a x a a⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当01a <<时，()10,a f x a-<单调递减，在[0,1]上的最小值为()()1g a f a ==；当1a =时，()10,1a f x a-==，()1g a =；当1a >时，a ―1a >0,f (x )单调递增，在[0,1]上的最小值为()()10g a f a==，因此g (a )=a,0<a <1,1,a =1,1a,a >1,可得当1a =时，()g a 取得最大值为1．故选：D2. 近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要(lg 20.3010≈）（ ）A. 8年 B. 10年 C. 12年 D. 20年【答案】C 【解析】【分析】设经过x 个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，可得87100210x⋅=，两边同时取对数可求出答案..【详解】设经过x 个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，所以87100210x ⋅=，所以67210x =，两边同时取对数可得：67lg 2lg106x==，所以lg 267x⋅=，所以4242139.53lg 20.3010x =≈≈，而139.5311.6312≈，所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.故选：C.3. 设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A. {|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B. {x|x>a}C. {x x a 或1x a ⎫<⎬⎭D. 1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】当1a <-时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.【详解】因为1a <-，所以1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭等价于1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭．故选：A ．【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.4. 已知函数f(x)＝2,03,0x x x x x ⎧+⎨-<⎩…若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a 的取值范围为（ ）A. (1，＋∞)B. (2，＋∞)C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】D 【解析】根据函数解析式，对参数a 分类讨论，即可求解不等式求得结果.【详解】当a ＝0时，显然不成立.当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a 2－2a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a 2＋2a>0，解得a<－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).故选：D .【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，涉及一元二次不等式的求解，属基础题.5. 若函数()222,11,12xx ax x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. 71,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 70,6⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 17,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()222,11,12xx ax x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩在R 上为单调递减函数，则满足21101211222a a a a ⎧⎪≥⎪⎪<-<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎩，解得716a ≤≤，即实数a 的取值范围为71,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.6. 若函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (4,+∞)B. [)4,+∞ C. []4,6 D. (0,+∞)【解析】【分析】由题意可知二次函数282a y x x =-+在区间(―∞,1]上为减函数，函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，且有92aa -≥，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则二次函数282ay x x =-+在区间(―∞,1]上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线4ax =，所以，14a ≥；函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，则0a >，且有92a a -≥.所以，14092a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪⎪-≥⎩，解得46a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]4,6.故选：C.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.7. 若(),()x g x ϕ都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在(0,+∞)上有最大值6，则()f x 在(,0)-∞上有（ ）.A. 最小值6- B. 最大值6- C. 最小值2- D. 最大值2-【答案】C 【解析】【分析】由()f x 在(0,+∞)上有最大值6可得()()26a x bg x ϕ++…，然后结合奇函数的对称性可求()()4a x bg x ϕ---…，从而可求()f x 在(,0)-∞上有最大值．【详解】解：()ϕx ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++，所以()()()2()()2f x a x bg x a x bg x ϕϕ-=-+-+=--+，因为()f x 在(0,+∞)上有最大值6，所以()()4a x bg x ϕ+…，所以()()22a x bg x ϕ--+-…，所以()f x 在(,0)-∞上有最小值2-．故选：C ．8. 若函数()23,223,2x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+≥⎩有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()()0,13,⋃+∞B. [)4,+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. (],2-∞【答案】B 【解析】【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论2a ≤、2a >研究()f x 有最小值情况下参数范围.【详解】由3x y a =-在(,2)-∞上递增，且值域为(,9)a a --，由22223()3y x ax a x a a a =-+=-+-，开口向上且对称轴为x a =，所以，二次函数在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增，要使()f x 有最小值，当2a ≤时，(2)4f a a =-≤-显然不成立；当2a >时，2()3f a a a a =-≤-，则240a a -≥，可得4a ≥；综上，实数a 的取值范围是[)4,+∞.故选：B二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9. 若0x >，0y >，0n ≠，m ∈R ，则下列各式中，恒等的是（ ）A. lg lg lg()x y x y +=+ B. lglg lg xx y y=-C. log log n mx x my yn= D. 1lg lg nx x n=【答案】BCD 【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质以及换底公式一一计算可得；【详解】解：因为0x >，0y >，0n ≠，m ∈R ，对于A ：lg lg lg()x y xy +=，故A 错误；对于B ：lglg lg xx y y=-，故B 正确；对于C ：log log n mx x my y n=，故C 正确；对于D ：1lg lg nxx n=，故D 正确；故选：BCD10. 下列结论正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b > B. 若22ac bc <，则a b <C. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ D. 若a b >，c d >，则ac bd>【答案】BC 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A. 取特殊值，1a =-，2b =-，显然不满足结论；B. 由22ac bc <可知，20c >，由不等式性质可得a b <，结论正确；C. 由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，结论正确；D. 取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，显然ac bd >不成立，结论错误.故选：BC.11. 已知1m n >>，则下列不等式正确的是（ ）A.22n nm m+<+ B. 11m n m n +>+C. 2m n mn +> D. 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】选项A ，利用不等式性质进行拆解，即可判断出选项A 的正误；选项B 和D ，通过作差法，再结合条件即可判断出选项B 和D 的正误；选项C ，通过取特殊值即可得出结果.【详解】对于选项A ，因为1m n >>，所以22m n >，又0mn >，所以22mn m mn n +>+，即(2)(2)m n n m +>+，得到22n nm m +>+，所以选项A 错误；对于选项B ，因为11111()()(n m mn m n m n m n m n m n m n mn mn--+-+=-+-=-+=-，又1m n >>，所以0,1m n mn ->>，得到11()0m n m n +-+>，即11m n m n+>+，所以选项B 正确；对于选项C ，取3,2m n ==，满足1m n >>，但523212m n +=<⨯⨯=，所以选项C 错误；对于选项D ，因为11111(()(m n mn m n m n m n m n n n m mn m mn-++-+=-+-=-+=-，又1m n >>，所以0m n ->，得到11()0m m n n +-+>，即11+>+m n n m，所以选项D 正确，故选：BD.12. 已知函数()y f x =的图象由如图所示的两段线段组成，则（ ）A. ((3))1f f =B. 不等式()1f x ≤的解集为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 函数()f x 在区间[2,3]上的最大值为2D. ()f x 的解析式可表示为：()32|3|([0,4])f x x x x =-+-∈【答案】BD 【解析】【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案．【详解】根据题意，由图象可得，在区间[]0,3上，函数图象为线段，经过点()0,3和()3,0，则其方程为()3(03)f x x x =-≤≤，在区间[]3,4上，函数图象为线段，经过点()3,0和()4,3，设()f x kx b =+，[]3,4x ∈，则3043k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得39k b =⎧⎨=-⎩，所以其方程为()()3934f x x x =-≤≤，综合可得3,03()3(3),34x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，对于A ，()30f =，则()()()303f f f ==，故A 错误；对于B ，若()1f x ≤，则有3103x x -≤⎧⎨≤≤⎩或3(3)134x x -≤⎧⎨<≤⎩，解得23x ≤≤或1033x <≤，即不等式解集为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，在区间[2,3]上，()3f x x =-为减函数，其最大值为()21f =，故C 错误；对于D ，由3,03()323([0,4])3(3),34x x f x x x x x x -≤≤⎧=-+-∈=⎨-<≤⎩，故D 正确．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 若a b c d ,,,均为实数，使不等式0a cb d>>和ad bc <都成立的一组值(),,,a b c d 是______（只要举出适合条件的一组值即可）．【答案】()2,1,1,2--（答案不唯一）【解析】的【分析】根据条件写出满足不等式的一组值即可.详解】由0a c b d>>知，,a b 同号，,c d 同号，且0a c ad bcb d bd --=>．因为0ad bc -<，所以0bd <．所以在取(),,,a b c d 时只需满足以下条件即可：①,a b 同号，,c d 同号，,b d 异号；②ad bc <．令0,0,0,0a b c d >><<，不妨取2,1,1a b c ===-，则12bc d a <=-，取2d =-，则()2,1,1,2--满足要求．故答案为：()2,1,1,2--（答案不唯一）.14. 已知函数53()1f x x ax bx =+++，且(2)10f -=，则(2)f =___________．【答案】8-【解析】【分析】由题意，函数53()1f x x ax bx =+++，且则(2)10f -=，求得8241a b +=-，进而可求得(2)f 的值.【详解】由题意，函数53()1f x x ax bx =+++，则53(2)(2)(2)(2)1318210f a b a b -=-+⨯-+⨯-+=---=，解得8241a b +=-，又由53(2)222182338f a b a b =+⨯+⨯+=++=-.【点睛】本题主要考查了函数解析式的化简求值问题，其中根据函数的解析式，分别代入2x =±，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 设x ，R y ∈，(){},A x y y x ==，(),1yB x y x⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是________.【答案】B A 【解析】分析】根据集合中元素，可直接得出结果.【详解】集合(){},A x y y x ==中的元素为直线y x =上的所有的点；而集合(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭中的元素为直线y x =上除()0,0以外的所有的点，故B A .【【故答案：B A .【点睛】本题主要考查判断两集合间的关系，属于基础题型.16. 用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是___________．【答案】6【解析】【详解】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6考点：分段函数的最值问题四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】就0a =和0a ≠分类讨论，当0a ≠时，利用判别式可求实数a 的取值范围.【详解】当0a =时，原不等式可化为220x +>，其解集不为R ，故0a =不满足题意，舍去；当0a ≠时，要使原不等式的解集为R ，只需04420a a >⎧⎨∆=-⨯<⎩解得12a >.故答案为：1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题考查不等式在R 上的恒成立问题，注意先讨论二次项系数，再讨论判别式的正负，本题属于基础题.18. 判断函数f （x ）=2223000230x x x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩，，，的奇偶性．【答案】f （x ）为奇函数．【解析】为【分析】根据函数奇偶性的定义，当0x >和0x <分别求得()()f x f x -=-，即可作出证明.【详解】若x>0，则–x<0，则f （–x ）=–（–x ）2–2（–x ）–3=–x 2+2x–3=–（x 2–2x+3）=–f （x ），若x<0，则–x>0，则f （–x ）=x 2–2（–x ）+3=x 2+2x+3=–（–x 2–2x–3）=–f （x ），又∵f （0）=0，∴综上，对任意实数x ，都有f （–x ）=–f （x ），∴f （x ）为奇函数．【点睛】本题主要考查了分段函数的奇偶性的证明，其中熟记函数奇偶性的定义，分0x >和0x <分别求得()()f x f x -=-是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与论证能力，属于中档试题.19. 定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间()0+∞，上的递增函数．（1）求()1f ，()1f -的值；（2）证明：函数()f x 是偶函数；（3）解不等式()1202f f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭【答案】解：(1) f(1)=0, f(－1)=0 (2)见解析(3) 1{|02x x ≤<或11}2x <≤【解析】【详解】试题解析：解：（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+()10f ∴=令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-()10f ∴-=（2）令1y =-，则()()()()1f x f x f f x -=+-=()()f x f x ∴-=，()f x \∴()f x 为定义域上的偶函数．（3）据题意可知，函数图象大致如下：()()122102f f x f x ⎛⎫+-=-≤ ⎪⎝⎭，1210x ∴-≤-<或0211x <-≤，102x ∴≤<或112x <≤考点：1函数的奇偶性；2函数的单调性．20. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长36m 的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？【答案】长4.5m ，宽3m【解析】【分析】设每间虎笼长m x ，宽m y ，根据材料建立等式2318x y +=，利用基本不等式得出272S ≤，根据等号成立的条件得到关系23x y =，联立求解方程组即可．【详解】设每间虎笼长m x ，宽m y ，则由“有可围网长36m 的材料”，得4636x y +=，即2318x y +=．设面积S xy =，由于23x y +≥=，所以18≤，得272xy ≤，即272S ≤，且仅当23x y =时，等号成立．解方程组23,2318,x y x y =⎧⎨+=⎩解得 4.5,3.x y =⎧⎨=⎩所以每间虎笼设计长，宽分别为4.5m 、3m 时，面积最大为227m 2．21. 判断下列函数的奇偶性．（1）()11f x x x =+--；（2）()f x =+；（3）()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-+<⎩【答案】（1）奇函数 （2）既是奇函数又是偶函数．（3）偶函数【解析】【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可.【小问1详解】因为x ∈R ，所以x -∈R ．又因为()11f x x x -=-+---()1111x x x x =--+=-+--()f x =-，所以()f x 为奇函数．【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为{}1,1-，关于原点对称，且()0f x =，所以()()()(),f x f x f x f x -=--=．所以()f x 既是奇函数又是偶函数．【小问3详解】()f x 的定义域是()(),00,∞∞-⋃+，对()(),00,x ∞∞∀∈-⋃+，都有()(),00,x ∞∞-∈-⋃+．当0x >时，0x -<，()()()11f x x x f x -=--+=+=；当0x <时，0x ->，()()()11f x x x f x -=-+=-+=．综上可知，对于x ∈(―∞,0)∪(0,+∞)，都有f (―x )=f (x )，故()f x 为偶函数．22. 定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 在(―∞,0)上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数；（2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃【解析】【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可.【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--，得()()2110f f -==，所以()10f -=，令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=，又该函数定义域关于原点对称，所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=.因为函数()f x 在(―∞,0)上是减函数，且是偶函数所以函数()f x 在(0,+∞)上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<.所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃.【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.。
