三角形三边与韦达定理练习

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第1页 共3页 根的判别式、韦达定理

一、选择题（本题共有12个小题，每小题都有A、B、C、D四个选项，请你把你认为适当的选项前的代号填入题后的括号中，每小题4分，共48分）

1、方程x2+23x+3=0的根的情况是（ ）

A 有两个不等的有理数根 B 有两个相等的有理数根

C 有两个不等的无理数根 D 有两个相等的无理根

2、已知x1、x2是方程2x2+3x―4=0的两个根，则（ ）

A x1+x2=―23，x1x2=2 B x1+x2=23，x1x2=―2

C x1+x2=―23，x1x2=―2 D x1+x2=23，x1x2=2

3、已知方程x2+22x―2=0，则此方程（ ）

A 无实数根 B 两根之和为22 C 两根之积为2 D 有一根为2―2

4、方程2x2+3x―1=0的两根为x1，x2，则2111xx的值为（ ）

A 3 B ―3 C ―23 D 23

5、若将二次三项式x2―px―6因式分解，分解后的一个因式是x―3，则p的值是（ ）

A ―5 B ―1 C 1 D 5

6、如果x1，x2是方程x2―4x+3=0的两个根，那么x1x2的值是（ ）

A ―4 B 4 C ―3 D 3

7、在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程（ ）

A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根

C 没有实数根 D 根的情况无法确定

第三讲 充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：

运用韦达定理，求方程中参数的值；

运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；

利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．

【例题求解】

【例1】 已知、是方程012xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为 ．

思路点拨 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例

【例2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab的值为( )

A．22123 B．22125或2 C．22125 D．22123或2

思路点拨 可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程0132mxx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x、2x的对称式，这类问题可通过变形用1x+2x、1x2x表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；

(2)根据根的定义降次；

(3)构造对称式．

【例3】 已知关于x的方程：04)2(22mxmx

(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．

(2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x．

解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

一 真题链接

1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-ab x1•x2=ac

把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．

2

2.（2010•娄底）阅读材料：

若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

高中韦达定理

高中韦达定理是三角形学中的一个重要定理。它是由法国数学家韦达于1731年发现的，因而得名。该定理表明，对于任意一个三角形，其三条中线的长度平方之和等于四倍这个三角形的中线所在的三角形面积。

在我们熟悉韦达定理之前，我们需要先了解一下什么是中线。中线是连接一个三角形的一边中点和对面顶点的直线。一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点的中点。我们可以通过计算三角形的三条中线的长度平方之和，来验证韦达定理。

韦达定理的公式可以表示为：

$(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4})=4S^2$

其中，a、b、c为三角形的三边长，S为三角形的面积。

我们可以通过一个简单的例子来理解韦达定理。假设一个三角形的三边长分别为3、4、5，我们可以计算出该三角形的面积为6。此时，该三角形的三条中线分别为2.5、3、3.5。将这三条中线的长度平方之和相加，得到27.25。将该三角形的面积6带入到韦达定理公式中，得到27.25。因此，可以证明韦达定理成立。

在实际应用中，韦达定理可以用于计算三角形面积。由于韦达定理中涉及到中线的长度，因此我们需要先通过勾股定理求出三角形的三边长，然后再计算中线的长度。最后，带入韦达定理公式即可计算出三角形的面积。

韦达定理的应用还不止于此。它还可以用于研究三角形的一些性质。例如，我们可以通过韦达定理证明，如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形一定是等边三角形。也可以证明，如果一个三角形的一条中线等于另外两条中线之和，那么这个三角形一定是直角三角形。

高中韦达定理是三角形学中的一个重要定理，它不仅可以用于计算三角形的面积，还可以研究三角形的一些性质。掌握了韦达定理，可以更好地理解和应用三角形学知识。