中点模型的构造
中点专题——看到中点该想到什么？
1两条线段相等，为全等提供条件
2 •中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线
3•等腰三角形的底边中垂线
C
例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）
如图.已丸HBC中」15=虫?・CE是肋边上的中钱，延长肿到D,慢BD=AB：求讦:CD~2CE .
【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连结PGPC。若/ ABC =Z BEF = 60°
⑴探究PG与PC的位置关系及匹的值。
PC
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的
边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图）。你在⑴中得到
的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
E 练习1、如图所示，在△ ABC中，AC>AB , M为BC的中点，AD是/ BAC的平分
线，若CF丄AD且交AD的延长线于F,
、1
求证：MF = （AC —AB）。
2
【例3
】如图所示，在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线，M是BC的中点，ME丄AD且交
AC的延长线于E, CD = 2CE,
求证：/ ACB = 2/ B。
练习2、
已知；妇国，在二磁中，RE、CF分别为过月G 肋上射哥.D为方C的中豈.DM丄£F 于M求让：F^EM-
E
中点专题小结——看到中点该想到什么？
1两条线段相等，为全等提供条件 2 •中线平分三角形的面积 3•倍长中线和类倍长中线 4. 中位线
5•斜边上的中线是斜边的一半
课后练习
1、已知直角三角形 ABC 和直角三角形CDF , ABC 和<|CDF 都是直角，且B,C,D 三点在一
条直线上，联结 AF ,点M 为AF 的重点，分别联结 BM , DM.试证明：BM=DM
2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形
ABC 和CEF, v ABC 和v CEF 都是直角，连接AF,M
是AF 的中点,连接 ME,MF 证明：ME=M F
3、已知如图，在△ ABC 中，AB > AC, AD 平分/ BAC, BE 垂直 AD 的延长线于 E , M 是BC
D
的中点，求证：ME=1(AB AC)
2
4、已知如图，△ ABC 的中线BD CE 相交于点 O , F 、G 分别是OB 、OC 的中点，(1)判断
5、已知如图，在四边形 ABCD 中，EF 分别为AB 、CD 的中点; (1) 求证：EF v ^(AC BD)
2
(2) 四边形ABCD 的周长不小于 EF 的四倍
5、如图，已知 AD
ABC 的角平分线， AB V AC ,在AC 上截取 CE=AB M 、N 分别为BC
EF 和DG 有何关系并证明；(2)求证：S A OGD
—S 12
△ ABC °
(3) EF 交 BD AC 分别于 P 、Q ,若 AC=BD,
4、在梯形 ABCD 中，AD// BC , AB=AD+BC E 为CD 的中点，求证: AE 丄 BE °
D
E
6、如图，以△ ABC 的AB 、AC 边为斜边向形外作 Rt △ ABD ,和Rt A ACE,且使/ ABD=/ ACE= (1)求证：DM=ME ; (2)求/ DME 的度数。
7、如图，M 是厶ABC 的边BC 的中点, MN=3求厶ABC 的周长。
&如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 相交于点O , BD=2AD, E 、F 、G 分别是0C 、 0D 、AB 的中点。
求证：(1) BE 丄 AC (2) EG=EF
9、如图，在△ ABC 中，AB=AC,延长 AB 到D ,使得BD=AB, E 为AB 中点，连接 CE CD 求
证：CD=2EC
AE 的中点。
求证：MN// AD
B
D
M
C
a, M 是BC 的中点,
AN 平分/ BAC, BN 丄 AN 于点 N,且 AB=10, BC=15
N
E
A
D
F
E
C
10、点O是厶ABC所在平面内一动点，连结OB、0C,并把AB、OB、OC CA的中点D、E、F、G顺次
连结起来，设DEFG能构成四边形。
(1)如图，当点O在厶ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当O点移动到厶ABC外时，(1)的结论是否成立？画出图形，说明理由；
(3)若四边形DEFG是矩形，则点O所在的位置满足什么条件？试说明理由。
11、如图，在梯形ABCD中，AD// BC, AB=AD=D, / C=60°, AE± BD于点E, F 是CD的中点，DG
是梯形的高。
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)设AE=x四边形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式。
12、(1)如图1,已知正方形ABCD和正方形CGEF( CG> BC), B C、G在同一条直线上，M 为线段AE
的中点，探究：线段MD MF的关系。
(2)若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD
的边BC的延长线上，M为AE的中点，试问：(1)中探究的结论是否成立？若成立，请证明;
E
图2
