1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1倍长中线法;构造中位线法

中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAFF ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMD CA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB A解答： 连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512跟踪练习1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDDCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ABCDE模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDDA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBA解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线DCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF DCBA图2ABCDE FM图3ABCDF M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .（3）DE =DF .图1M F E DCB A如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12 BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.∴在Rt△BEM中，HE=12BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=12BM，HE=12BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE与△FGD中DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.图2AB CDEFM。

中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。

常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。

它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。

也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。

逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。

在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。

且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。

中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。

有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。

在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。

接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。

1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。

E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。

完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。

同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。

另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。

四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。

对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。

如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。

如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。

在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。

圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。

如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。

要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。

在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。

如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。

如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。

最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。

由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。

也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。

同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。

最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。

初中数学必须掌握的几何辅助线技巧01几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，倍长中线得全等四边形平行四边形出现，对称中心等分点梯形问题巧转换，变为三角或平四平移腰，移对角，两腰延长作出高如果出现腰中点，细心连上中位线上述方法不奏效，过腰中点全等造证相似，比线段，添线平行成习惯等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦斜边上面作高线，比例中项一大片圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连切线长度的计算，勾股定理最方便要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连弦切角边切线弦，同弧对角等找完要想作个外接圆，各边作出中垂线还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦内外相切的两圆，经过切点公切线若是添上连心线，切点肯定在上面要作等角添个圆，证明题目少困难02由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180°。

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE。

初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何是数学学科中的一块重要内容，而几何辅助线是解决几何问题时常用的一种方法。

下面我将为大家介绍一些初中几何辅助线的口诀和秘籍。

一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。

在解决几何问题时，我们常常需要用到角平分线来帮助我们求解。

如何画角平分线呢？下面是一个简单的口诀：“角平分线，一刀两半，角分两相等，求解题简单。

”二、三角形的中线三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

在解决三角形相关问题时，中线也是一个常用的辅助线。

我们可以通过以下口诀来记忆中线的特点：“三角形中线，一条有三，中点连顶点，两边相等。

”三、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直分割并且分成两个相等部分的线段。

垂直平分线在解决线段相关问题时非常有用。

下面是一个简洁的口诀来帮助我们记忆垂直平分线的画法：“垂直平分线，画在线上，两边相等，线段垂直。

”四、角的对称线角的对称线是指将一个角按照对称轴对折后，得到的两个相等角的辅助线。

在解决角相关问题时，角的对称线可以帮助我们找到一些相等角。

以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆角的对称线：“角的对称线，轴线中间，两边相等，角对称分。

”五、相似三角形的辅助线在解决相似三角形问题时，有一些特殊的辅助线可以帮助我们找到相似三角形之间的对应关系。

例如，高线可以帮助我们找到相似三角形的对应边的比例关系。

以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆相似三角形的辅助线：“相似三角形辅助线，高线找比例，边线对应比例，找答案简单。

”通过以上口诀和秘籍，我们可以更加方便地使用几何辅助线来解决初中几何问题。

当然，在实际解题的过程中，我们还需要根据具体问题的要求灵活运用这些辅助线，以达到解题的目的。

总结起来，初中几何辅助线是解决几何问题时的重要工具。

通过记忆和掌握一些几何辅助线的特点和画法，我们能够更加高效地解决几何问题，提高我们的数学水平。

希望以上口诀和秘籍能够帮助到大家，让我们在初中几何学习中取得更好的成绩！。

史上最全初中数学几何辅助线秘籍
几何是初中数学的重难点题型，很多同学们在数学考试中拿不到高分，就是因为不会做几何题。

初中数学几何考验的是大家的抽象逻辑思维，除了掌握各种几何公式，更重要的一点是分析几何的类型和做辅助线
其实想要攻克初中数学几何题型，没有别的捷径，1方面是要牢记住各类几何图形的计算公式，另1方面一定要多练习，熟悉解题思路，掌握解题和做图的方法。

只有做的题多了，才能熟能生巧，在考试中才能灵活变通，运用自如一：由角平分线想到的辅助线
1截取构全等；2角分线上点向两边作垂线构全等；3三线合一构造等腰三角形；4角平分线+平行线
二：由线段和差想到的辅助线
1截长补短法
三：由中点想到的辅助线
1中线把三角形面积等分；2中点连中点得中位线；3倍长中线；4直角三角形斜边中线
四：由全等三角形想到的辅助线
1倍长过中点得线段；2截长补短；3平移变换；4旋转；5作中位线
五：由梯形想到的辅助线
1平移一腰:利用平移- -腰将梯形分割成三角形和平行四边形；
2平移两腰:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内
在初中数学几何题学习过程中，很多经验、技巧和思想上的差距在数学题里可能就体现在一个微小的点村你可能看到的就是差一条辅助线，但这一条辅助线恰恰就是初中数学平面几何的灵魂。

每条辅助线都不是没理由的凭空添在那个位置的:在哪添加，为何在那里添加辅助线背后都有着数学思想方法的支撑，光会一道题添加辅助线不好用的，需要数十甚至上百道题目的积累。

对初中几何中点模型的几点思考四川省邻水实验学校祝林华摘要：对于多数同学而言初中几何证明都是初中数学中最难的一块，虽然难但并非难得无底洞；我在长期的教学工作中发现，其实很多辅助线的做法都是有章可循的，对方法进行实时归纳总结，也能得到事倍功半的效果。

要想在最短的时间内完成一个较为复杂的证明题，必须明确以下一些知识。

辅助线是为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线，辅助线通常画成虚线；辅助线的原则是添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况；辅助线的作用：①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形。

三角形是初中几何的重要内容之一，也是很多省市中考的必考题型；其中三角形中点、中线、中位线及直角三角形斜边上中线的有关性质更是高频考点，是中考的必考内容。

很多题目会给出“点***是线段***的中点”这样的条件时，我们应该想到那些辅助线呢？本文就对初中几何中“中点模型”进行全面总结。

“中点模型”一：倍长中线法当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题；如图：辅助线作法：AD为△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用三角形全等解题。

“中点模型”二：倍长类中线法（与中点有关的线段）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题；如图：辅助线作法：ED为△ABC的类中线，延长ED到F，使ED=DF，连接BF，利用三角形全等解题。

“中点模型”三：直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常常考虑构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质解决问题；如图：辅助线作法：△ABC 是直角三角形，点D 为AB 的中点；连接CD ，利用直角三角形斜边上的中线性质解题。

（注意：等腰三角形中底边的中点也是一个易考点） “中点模型”四：中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。