初中数学中点模型的构造及应用

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠?；（3）AD=BD?，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

中考数学复习几何模型专题讲解专题4 4 中点模型中点模型名师点睛中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。

A B C D E A B C DEFE D C B A典题探究例题1. 如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【解答】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，∵BG＝CE，∴QN＝MQ．变式练习>>>>变式练习1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；。

中点模型一．四种不同的类型：1、类型一：三线合一型。

①如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。

求证：BE=CE。

分析：等边三角形加上中线，可利用三线合一得到AD ⊥BC。

由垂直平分线可得BE=CE。

附思路图：说明：只要有等腰三角形，再加上中点就可以运用三线合一，得到垂直或者角平分线。

实质上运用的就是对称的思想。

②如图2，ABC ∆是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E，使CE=CD，过点D 作DM BE ⊥，垂直为M．求证：BM=EM．分析：等边三角形加上中点，可利用三线合一得到∠ADC=∠ABD=30°。

由CE=CD 可得∠E=30°；于是得到等腰△DBE；最后再根据三线合一得到BM=EM。

附思路图：说明：此题两次运用三线合一，前提都有等腰再加中点或者垂直，便可得到垂直或中点。

2、类型一：倍长中线型。

在利用中线解决几何问题时，我们经常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

（1）直接倍长中线：如图1，AD 是△ABC 的中线。

延长AD 至E，使ED=AD，连接BE。

于是得到△ADC≌△EDB。

（2）间接倍长中线：如图2，AD 是△ABC的中线。

延长ED 至F，使FD=ED，连接CF。

于是得到△BED≌△CFD。

ABCDEABC DE FABC D M E图1图2说明：在含有中点的几何题中，更为常用的是间接倍长中线法。

两种方法基本思路完全一致，需要根据不同的题目灵活变化。

①如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长.分析：此题可用相似求出GE、EF，再用勾股定理求出GF 长，但这种方法过于麻烦。

因为有中点，所以我们可以采用间接倍长中线法将GE 倍长构造全等。

【中考专题】中点模型（通关篇）—三种⽅法以微课堂⾼中版奥数国家级教练与四位⾼中特级教师联⼿打造，⾼中精品微课堂。

35篇原创内容公众号线段中点是⼏何部分⼀个⾮常重要的概念，和后⾯学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在⼏何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三⾓形三线合⼀；直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平⾏线间夹中点，延长中线交平⾏的应⽤。

建⽴模型模型⼀倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种⽅法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进⽽得到AC=BE且AC//BE.模型⼆平⾏线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.平⾏线间夹中点.处理这种情况的⼀般⽅法是：延长过中点的线段和平⾏线我们把这种情况叫做平⾏线间夹中点相交.即“延长中线交平⾏”此时，易证△BEF≌△CED模型三中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另⼀边AC的中点，构造三⾓形中位线.如下图所⽰：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型运⽤例1、如图，在平⾏四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.分析：本题的证明⽅法有很多，⽐如利⽤“双平等腰”模型等（前⽂已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这⾥主要讲⼀下平⾏线间夹中点的做法.根据平⾏四边形的性质可知，AB//CD，⼜点E是BC中点，构成了平⾏线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就⼀定会得到全等三⾓形，进⽽得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平⾏四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE⼜∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD, ⼜∵AD=2CD∴AD=DF,⼜因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE⾄点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利⽤经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF 是等腰三⾓形，利⽤等腰三⾓形三线合⼀得到结论.对于第⼆种⽅法，同学们可以⾃⼰尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上⼀点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满⾜平⾏线间夹中点，所以可将DG延长与BF 相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正⽅形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直⾓三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直⾓三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正⽅形绕点C旋转任意⾓度，在旋转的过程中，上述结论还成⽴吗？试试看动画链接：/svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG动画链接：/svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．动画链接：/svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）反思：在本题的证明中，我们结合题⽬中给出的平⾏线间夹中点这⼀条件，将DG进⾏延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采⽤倍长中线法进⾏证明.下⾯⽤倍长中线法对第⼀种情况加以证明.证明：如图，延长AG⾄点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°⼜∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直⾓三⾓形⼜因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上⾯我们⽤倍长中线证明了第⼀种情况，请你对第⼆三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的⼀个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.⽽这⼀结论是需要证明的.⼩试⾝⼿如图1，在正⽅形ABCD的边AB上任取⼀点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所⽰，则线段EG和CG⼜有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转⼀个任意⾓度α，如图4所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们⾃⾏完成，这⾥只给出第三问的⼏种解法，仅供⼤家参考.解法⼀：如图，延长EG⾄点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，⽽EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.⼜∠BMK=∠CMD.根据三⾓形的内⾓和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.⼜EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直⾓三⾓形，⼜因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.⽹址链接：/svg.html#posts/16284（选中并打开⽹址看动态图）解法⼆：如图，延长CG⾄点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法⼀⾃⾏完成解法三：延长FE⾄点P使得EP=EF，连接BP；延长DC⾄点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。

第八章中点四大模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）。

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

模型实例例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。

求证：AC=BE。

热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。

2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果2222B M C N D M D N +=+。

求证：()22214A D AB AC =+。

模型2【已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”】模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。

模型实例例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。

热搜精练1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。

求证：∠EDB=∠FDC。

2．已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。

（1）当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S += ；（2）当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S 、CEF S 、ABC S 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

初中数学几何模型模型1 双中点模型模型展现类型：双中点型模型特点：点C 是线段AB 上任意一点，点的中点分别是线段BC AC P ,P 2,1 点C 是线段AB 延长线上任意一点，点的中点分别是线段BC AC P ,P 2,1 结论：AB p p 2121 双中点和型结论： P 1P 2=12AB证明:∵点P ₁,P ₂分别是线段AC,BC 的中点,∴P 1C =12AC,P 2C =12BC (中点的性质)，∵ P ₁P ₂=P ₁C+P ₂C,∴P 1P 2=12AC +12BC =12AB.双中点差型结论： P 1P 2=12AB证明:∵点P ₁,P ₂分别是线段AC,BC 的中点,∴P 1C =12AC,P 2C =12BC,∵ P ₁P ₂=P ₁C-P ₂C,∴P 1P 2=12AC −12BC =12AB.巧学巧记 简记：“一半，一半又一半”.基础模型怎么用1.找模型共线的三个点组成的三条线段中，已知两条线段的中点时，考虑用“双中点模型”2.用模型中点将线段平分，利用线段的 12倍关系转换，是解决问题的关键例1 如图,A,B,C三点在同一直线上,点P₁,P₂分别为线段AB,BC的中点,(双中点)且AB=6,BC=4,则线段P₁P₂的长为( )(中点组成的线段)A.2B.4C.5D.6思路点拨:已知双中点P₁，P₂，且点B在线段AC上，则用双中点和型即可求解.例2 如图,已知点C是线段AB上一点,AC<BC,点M和N分别是AB和BC的中点,MN=4,BC=10,( 双中点)则线段AB的长为( )(已知双中点产生的新线段长，逆向考虑模型的应用)A.18B.10C.8D.5思路点拨:已知双中点M，N，且点B在线段AC的延长线上，则用双中点差型即可求解.例3 已知线段AB=4，在线段AB所在直线上作线段BC，使得BC=2，若点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，则线段DE的长为( )(双中点)A.1B.2C.1或3D.1或2思路点拨:点C位置不确定，需分两种情况讨论：①点C在线段AB内；②点C在线段AB外.。

中点模型的构造中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线3．等腰三角形的底边中垂线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连结PGPC。

若∠ABC＝∠BEF＝60°，⑴探究PG与PC的位置关系及PGPC的值。

⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

练习1、如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证：MF＝12(AC－AB)。

【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：∠ACB＝2∠B。

练习2、中点专题小结——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线和类倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半课后练习1、已知直角三角形ABC和直角三角形CDF，ABC和CDF都是直角，且B,C,D三点在一条直线上，联结AF，点M为AF的重点，分别联结BM，DM.试证明：BM=DMM FAB DC2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC和CEF, ＜ABC和＜CEF都是直角,连接AF,M 是AF的中点,连接ME,MF.证明：ME=MF。

3、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：ME=)(21AC AB -4、已知如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，F 、EF 和DG 有何关系并证明；（2）求证：OGD S S △121=5、已知如图，在四边形ABCD 中，EF分别为AB 、CD 的中点； （1）求证：EF ＜)(21BD AC + （2）四边形ABCD 的周长不小于EF 的四倍（3）EF 交BD 、AC 分别于P 、Q ，若AC=BD ，求证：△OPQ 为等腰三角形。

线段中点的模型应用类型1 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形) 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，延长BF 交AC于点E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.类型2 已知等腰三角形底边的中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长．类型3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，分别交AC，BD于点N，M，试判断△OMN的形状．类型4 已知直角三角形斜边的中点，可以考虑构造斜边的中线) 已知：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，求证：AB＝2DM.1．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．2．(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可求出中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；图①图②图③(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C 为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点E是BA延长线上的一点，点F是AC上的一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF.(1)若∠ABC＝50°，求∠AEF的度数；(2)求证：AD∥EG.4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，求证：∠BME＝∠CNE.5．【感知】如图①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 分别作AM⊥BD 于点M ，AN⊥CE 于点N ，连接MN ，易证：MN ＝12(AB ＋BC ＋AC)(不需要证明)；【探究】如图②，若BD ，CE 分别是△ABC 的两个内角的平分线，且AM⊥BD 于点M ，AN⊥CE 于点N ，连接MN.试猜想MN 与边AB ，AC 和BC 之间的数量关系，并证明你的结论；【应用】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，射线BE平分∠ABC，AM⊥BE于点M，连接MD，延长BC至点F，若∠DCF＝∠ACD＝75°，AB＝2，直接写出MD的长度．图①图②图③6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.(1)求证：CG＝EG；(2)已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．7．如图①，已知在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．(1)求证：MN⊥DE；(2)连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)当∠A变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，请说明理由．图①图②参考答案【例1】证明：如图，延长FD到点G，使DG＝DF，连接CG，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDF 和△CDG 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠BDF＝∠CDG DF ＝DG ，， ∴△BDF≌△CDG(SAS)， ∴BF＝CG ，∠BFD＝∠G.∵AE＝EF ，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG， ∴AC＝CG ，∴BF＝AC. 【例2】解：如图，连接AM.∵AB＝AC ，点M 为BC 的中点， ∴AM⊥BC，BM ＝CM ＝3，∴根据勾股定理，得AM ＝AB 2－BM 2＝52－32＝4. ∵S △AMC ＝12MN·AC＝12AM·MC，∴MN＝AM·CM AC ＝4×35＝125.【例3】解：△OMN 是等腰三角形，理由如下： 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，∵E 是AB 的中点，H 是BC 的中点，∴EH 平行且等于12AC.同理可证FH 平行且等于12BD.∵AC＝BD ，∴HE＝HF ，∴∠HEF＝∠HFE.又∵EH∥AC，FH∥BD，∴∠HEF＝∠ONM，∠OMN＝∠HFE， ∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON ，∴△OMN 是等腰三角形．【例4】证明：如图，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，∵M，N 分别为BC ，AC 的中点， ∴MN 为△ABC 的中位线， ∴MN＝12AB ，MN∥AB，∴∠B＝∠NMC. ∵∠B＝2∠C， ∴∠NMC＝2∠C.又∵∠NMC 为△DMN 的外角， ∴∠NMC＝∠MDN＋∠MND＝2∠C. ∵DN 为Rt△ADC 斜边上的中线， ∴DN＝NC ＝AN ＝12AC ，∴∠MDN＝∠C，∴∠MND＝∠C＝∠MDN， ∴DM＝MN ＝12AB ，∴AB＝2DM. 1.解：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ， 在△ABD 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DE ，∠ADB＝∠EDC BD ＝CD ，， ∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE ＝5，AD ＝DE ＝6，∴AE＝12. 在△AEC 中，∵AC＝13，AE ＝12，CE ＝5， ∴AC 2＝AE 2＋CE 2， ∴∠E＝90°，∴由勾股定理，得CD ＝DE 2＋CE 2＝62＋52＝61， ∴BC＝2CD ＝261， ∴BC 的长是261.2．(1)解：将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，∴AD＝DE ，BE ＝AC ＝5.∵在△ABE 中，AB －BE<AE<AB ＋BE ，即3<AE<13， ∴3＜2AD ＜13，∴1.5<AD<6.5.(2)证明：如图①，延长FD 至点N ，使DN ＝DF ，连接BN ，EN ，在△CDF 和△BDN 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧FD ＝ND ，∠CDF＝∠BDN CD ＝BD ，， ∴△CDF≌△BDN(SAS)，∴BN＝FC. ∵DF＝DN ，DE⊥DF，∴EF＝EN.在△EBN 中，∵BE＋BN>EN ，∴BE＋CF>EF.(3)BE ＋DF ＝EF ，理由如下：如图②，延长AB 至点H ，使BH ＝DF ，连接CH.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠HBC＋∠ABC＝180°， ∴∠HBC＝∠D. 在△CBH 和△CDF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BH ，∠D＝∠CBH CD ＝CB ，， ∴△CBH≌△CDF(SAS)，∴CH＝CF ，∠HCB＝∠FCD.又∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE＋∠FCD＝50°， ∴∠ECH＝∠BCE＋∠HCB＝50°＝∠ECF. 在△HCE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CH ，∠ECF＝∠ECH CE ＝CE ，，∴△HCE≌△FCE(SAS)，∴EH＝EF ，即BE ＋BH ＝EF ，∴BE＋DF ＝EF.3．(1)解：∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－50°－50°＝80°.又∵点D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×80°＝40°. ∵AE＝AF ，∴∠E＝∠AFE.又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD＝40°.(2)证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC. ∵AE＝AF ，∴∠E＝∠AFE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD，∴AD∥EG.4．证明：如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE ，HF ，∵E，F ，H 分别是BC ，AD ，BD 的中点，∴FH∥AB 且FH ＝12AB ，EH∥CD 且EH ＝12CD ， ∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF.又∵AB＝CD ，∴FH＝EH ，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE.5．解：【感知】如图①中，设AM 的延长线交CB 的延长线于点J ，AN 的延长线交BC 的延长线于点K.∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMJ＝90°.又∵∠ABM＝∠JBM，∴∠BAM＝∠J，∴BA＝BJ.同理可证CA ＝CK ，又∵BD⊥AJ，CE⊥AK，∴AM＝MJ ，AN ＝NK ，∴MN＝12JK ＝12(JB ＋BC ＋CK)＝12(AB ＋BC ＋AC)． 【探究】结论：MN ＝12(AB ＋AC －BC)．证明如下：如图②中，延长AM 交BC 于点F ，延长AN 交BC 于点G. ∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMF＝90°.又∵∠ABM＝∠FBM，∴∠BAM＝∠BFM，∴BA＝BF.同理可证CA ＝CG ，又∵AM⊥BD，AN⊥CE，∴AM＝MF ，AN ＝NG ，∴MN＝12FG ＝12(BF ＋CG －BC)＝12(AB ＋AC －BC)． 【应用】DM 的长度为1＋ 3.提示：如图③中，延长AM 交BC 于点J ，延长AD 交BC 的延长线于点K ，由题意得∠ACB＝180°－∠ACD－∠DCF＝30°.又∵∠ABC＝90°，AB ＝2，∴AC＝2AB ＝4，BC ＝3AB ＝2 3.∵AM⊥BE，∴∠AMB＝∠JMB＝90°.又∵BE 平分∠ABJ，∴∠ABM＝∠JBM，∴∠BAM＝∠BJM，∴AB＝BJ.同理可证AC ＝KC ，又AM⊥BE，CD⊥AK，∴AM＝JM ，AD ＝KD ，∴DM＝12JK ＝12(CK ＋BC －BJ)＝12(AC ＋BC －AB)＝12×(4＋23－2)＝1＋ 3. 6．(1)证明：如图，连接DE.∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ADB 中，∵点E 是AB 的中点，∴DE＝12AB ＝AE.∵CD＝AE ，∴DE＝DC.又∵DG⊥CE，∴CG＝EG.(2)解：如图，过点E 作EF⊥BC 于点F.∵BC＝13，CD ＝5，∴BD＝BC －CD ＝13－5＝8.∵DE＝BE ，EF⊥BC，∴DF＝BF ＝4， ∴EF＝DE 2－DF 2＝52－42＝3，∴S △EDC ＝12CD·EF＝12×5×3＝7.5. 7．(1)证明：如图①，连接DM ，ME.∵在△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴CD⊥AB，BE⊥AC.图①又∵M 是BC 的中点，∴DM＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM＝ME.又∵N 为DE 的中点，∴MN⊥DE.(2)解：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM，∴∠BMD＋∠CME＝(180°－∠ABC－∠BDM)＋(180°－∠ACB－∠CEM)＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，∴∠DME＝180°－2∠A.(3)解：结论(1)成立，结论(2)不成立，理由如下：如图②，结论(1)的证法同(1)，结论(2)不成立．理由如下：图②在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM，∴∠CMD＝∠ABC＋∠BDM＝2∠ABC，∠BME＝∠ACB＋∠CEM＝2∠ACB，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC，∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°.。

几何综合题型一：中点模型的构造中点模型①中线（点）：倍长（类）中线②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线.典题精练E，若/ EMD = 3 / MEA .求证：BC=2AB.【解析】证法一：如右图(a),延长EM交CD的长线于点E，连结CMT AB // CD ,•••/ ME'D = / MEA .又AM = DM，/ AME = / DME'•△ AFM 也厶DE M .•EM =EM•/ AB // CD , CE丄AB,•EC 丄CD .•CM是Rt△ ECE斜边EE的中线，•ME =MC .•ME D E CM ,•/ EMC=2 ME D =2 / AEM .•••/ EMD =3 / MEA ,•/ CMD=/DCM,•MD=CD .•/ AD = 2DM , AB=CD , AD=BC ,•BC=2AB .【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点(a)1 / 7证法二：如右图（b）,过点M作MM // AB交BC于M，过点M作M E // ME交AB的延长线于点E，连接EM ••••点M 是BC 的中点，EE AB，E BM EAM，M E B MEA , M MD EAM E BM•••点M是Rt△ EBC斜边BC的中点，•M E BM , • BEM M BE ••- E BM 180 BEM ••••/ EMD = 3 / MEA , • M MD 2 MEA,• E BM 2 M EB1•- 180 BEM 2 M E B , M E B 90 — BEM •2• E EM E • • EM EE , • BM AB ••BC = 2AB.【例2】如图所示，分别以厶ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴ 求证：AM丄EG ;(2)求证：EG=2AM .【解析】⑴ 如图所示，延长AM到N，使MN= AM,延长MA交EG于点P,连接BN、NC.•/ BM = CM ,•四边形ABNC是平行四边形.•BN = AC = AG .•••/ EAG + / BAC = 180 ,/ ABN +/ BAC = 180 ,•/ EAG = / ABN.•/ AE = AB,•△EAG◎△ ABN. •/ AEG =Z BAN.又•••/ EAB = 90 ,•/ EAP + / BAN = 90 .•/ AEP + / EAP = 90 .•MA丄EG.⑵ 证明：T △ EAG^A ABN , • EG = AN = 2AM .FEF题型二：平移及等积变换3 / 7典题精练【例3】已知：如图，正方形ABCD中, ⑴求证：FG = DE .⑵求证：FD + BG > . '2FG .【解析】延长GC到点P,使得GP = DF，连接EP, DP . ⑴••• DF // GP , GP = DF•••四边形DFGP为平行四边形••• FG = DP, FG // DP又••• FG 丄DE ,• DP 丄DE•••/ ADE = / CDP在厶ADE和厶CDP中DAE DCPDA DCADE CDP•△ ADE ◎△ CDP•DE = DP = FG⑵由⑴知道△ DEP为等腰直角三角形• EP 2DE 2FG在厶EGP 中，EG + DF = EG + GP > PE = 2 FG当EG // FD时，取到等号【例4】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△ PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.E是AB上一点，FG丄DE于点H【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当如右图, 连接CP、AP.可得:BCP ADP1ABCD2ABPS^ BDP ADP—S ABC D2所以BCD S^ ABP S^ BDP题型三：旋转典题精练【例5】已知△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ABC=Z ADE=90。

初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。

，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ． 【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。

初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。

是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

与中点有关的初中数学模型
中点是初中数学中一个非常重要的概念和工具，它在数学中具有
广泛的应用和重要意义。

首先，中点是指一条线段的中点，它的位置一般表示为M，可以通过利用线段的两个端点A和B，通过求中点的方法得到。

具体的方法就是通过对线段的长度进行平分，即将线段的长度除以2，在线段上从一个端点出发，沿着线段的方向向前移动刚好一半的距离，就可以找到
中点了。

中点不仅如此，它还可以帮助我们理解和解决许多数学问题。

比如，在平面几何中，我们可以利用中点将一个线段平分并找到中垂线，进而推导出直角三角形的勾股定理；在向量和解析几何中，我们可以
利用中点求两点之间的距离和方向角；在统计学中，中点可以帮助我
们进行频率分布和直方图的绘制，从而更好地理解数据的分布情况等等。

除此之外，中点还可以应用于实际问题中，例如在电路中，电路
中点是一个重要的概念，对于电路的设计和分析都有重要的帮助和意义；在交通运输中，中点可以帮助我们规划路线，优化交通线路的布
局等。

综上所述，中点是一个广泛应用的数学概念和工具，它不仅是初
中数学知识体系中重要组成部分，更是在实际生活和其他学科中具有
着重要意义和广泛应用的数学工具。

因此，我们要高度重视中点相关的数学模型的学习和掌握，进一步提高自己的数学素养和应用能力。

三角形中的“中点模型”方法总结（重点知识）三角形是初中数学必考的重要知识点，学好三角形是学好初中几何的关键。

而在三角形相关题目中出现最多的就是中点和角平分线，今天我们来总结一下，遇到中点都有那些处理方法。

掌握了这几种方法，应对三角形相关题目时，同学们将得心应手！类型一倍长中线或类中线类型二遇等腰三角形，构造“三线合一”类型三遇RT三角形斜边的中点，构造斜边的中线类型四遇多个中点，构造中位线例题分析：1、遇到中点，常想倍长中线法例题分析：如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是。

解:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.∵ BD=CD AD=DE ∠CDA=∠BDE∴ △ADC≌△EDB (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)∴ AC=BE (全等三角形的对应边相等)∵ AC=BE AC=6∴ BE=6∵ BE=6 AB=10 AB-BE＜AE∴ 4＜AE∵ BE=6 AB=10 AE＜AB+BE∴ AE＜16∵ 4＜AE AE＜16∴ 4＜AE＜16∵ 4＜AE＜16 AD=12×AE∴ 2＜AD＜82、遇等腰三角形，构造“三线合一”如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E. F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.请说明：DE=DF；证明：连接AD,∵等腰直角三角形ABC，∴∠C=∠B=45°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠B AD=45∘=∠B,∠ADC=90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF.3、遇多个中点，构造中位线如图,四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2,则MN的长不可能是( )A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5解：如图,连接BD,取BD的中点G,连接MG、NG,∵点M，N分别是AD、BC的中点，∴MG是△ABD的中位线，NG是△BCD的中位线，∴AB=2MG，DC=2NG，∴AB+DC=2(MG+NG)，由三角形的三边关系，MG+NG>MN，∴AB+DC>2MN，∴MN<>∴MN<>故选：A.。