中点模型的构造问题小结精编

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

几何综合题型一：中点模型的构造中点模型 ①中线（点）：倍长（类）中线 ②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半⇒构造两等腰 ⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．典题精练【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，若∠EMD = 3∠MEA ．求证：BC =2AB ．DCBA E M【解析】证法一：如右图（a ），延长EM 交CD 的长线于点E '，连结CM ∵AB ∥CD ，∴∠ME'D =∠MEA ．又AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△DE M '． ∴EM =E M '∵AB ∥CD ，CE ⊥AB ， ∴EC ⊥CD ．∴CM 是Rt △ECE '斜边EE '的中线， ∴ME '=MC ．∴ME D E CM '='，∴∠EMC = 2ME D ∠'= 2∠AEM ． ∵∠EMD =3∠MEA ， ∴∠CMD =∠DCM ， ∴MD = CD ．∵AD = 2DM ，AB = CD ，AD = BC ， ∴BC = 2AB ．证法二：(a )E’ME A BCD如右图(b )，过点M 作MM AB '∥交BC 于M '，过点M '作M E ME ''∥交AB 的延长线于点E '，连接EM '．∴点M '是BC '的中点，EE AB '=，E BM EAM ∠''=∠，M E B M EA ''=∠，M MD EAM E BM '=∠=∠'' ∵点M '是Rt △EBC 斜边BC 的中点， ∴M E BM '='，∴BEM M BE ∠'=∠'．∴180E BM BEM ∠''=︒-∠'．∵∠EMD = 3∠MEA ，∴2M MD MEA ∠'=∠， ∴2E BM M E B ∠''=∠''∴1802BEM M E B ︒-∠'=∠''，1902M E B BEM ∠''=︒-∠'．∴E EM E ∠=∠''．∴EM EE '=',∴BM AB '=． ∴BC = 2AB ．【例2】 如图所示，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，点M 为BC 中点，⑴ 求证：AM ⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM ．GF E DCBAM【解析】⑴ 如图所示，延长AM 到N ，使MN = AM ,延长MA 交EG 于点P ，连接BN 、NC ．∵BM = CM ，∴四边形ABNC 是平行四边形． ∴BN = AC = AG ．∵∠EAG +∠BAC = 180︒， ∠ABN +∠BAC = 180︒， ∴∠EAG =∠ABN ． ∵AE = AB ，∴△EAG ≌△ABN ．∴∠AEG =∠BAN ． 又∵∠EAB = 90︒，∴∠EAP +∠BAN = 90︒． ∴∠AEP +∠EAP = 90︒． ∴MA ⊥EG ．⑵ 证明：∵△EAG ≌△ABN ，∴EG = AN = 2AM ．题型二：平移及等积变换典题精练(b )M’E’ME A B CDN P M A B C DE F G【例3】 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H ．⑴ 求证：FG = DE ．⑵ 求证：FD + BG．HG FE DC B APAB C DEFG H【解析】延长GC 到点P ，使得GP = DF ，连接EP ，DP ．⑴ ∵DF ∥GP ，GP = DF∴四边形DFGP 为平行四边形 ∴FG = DP ，FG ∥DP 又∵FG ⊥DE ，∴DP ⊥DE ∴∠ADE =∠CDP 在△ADE 和△CDP 中 DAE DCP DA DCADE CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CDP ∴DE = DP = FG⑵ 由⑴知道△DEP 为等腰直角三角形∴EP ==在△EGP 中，EG + DF = EG + GP ≥PE当EG ∥FD 时，取到等号【例4】 如下图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若△PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？D【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右图，连接CP 、AP ．可得：12BCP ADP S S ABCD +=△△12ABP BDP ADP ABCD S S S S ++=△△△所以BCD ABP BDP S S S -=△△△而12BCP BCFE S S =△，12ABP ABHG S S =△，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S -=-==△△△(平方分米)．题型三：旋转典题精练【例5】 已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .⑴ 如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为 ．⑵ 如图②，点D 不在AB 上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．图1NMED CBA图2M DCBE【解析】⑴ BD⑵ 结论成立，证明：连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，可证得△MDE ≌△MFC ,∴DM = FM ，DE = FC ， ∴AD = ED = FC ， 作AN ⊥EC 于点N ，由已知∠ADE =90°，∠ABC =90°， 可证得∠1 =∠2，∠3 =∠4， ∵CF ∥ED ， ∴∠1 =∠FCM ，∴∠BCF =∠4 +∠FCM = ∠3 +∠1 =∠3 +∠2 =∠BAD . ∴△BCF ≌△BAD ,∴BF = BD ，∠5 =∠6，∴∠DBF =∠5 +∠ABF =∠6 +∠ABF =∠ABC = 90°， ∴△DBF 是等腰三角形， ∵点M 是DF 的中点， 则△BMD 是等腰三角形，∴BD【例6】 已知正方形ABCD ，在BC 边上取一点E ，作EF AE ⊥交BCD ∠的外角平分线于F ，求证：AE EF =．D F CE B AGDFCE BA 【解析】 法一：如图，连接AC ，过E 作EG BC ⊥，交AC 于G ．∵90AEG GEF ∠=︒-∠，90FEC GEF ∠=︒-∠， ∴AEG FEC ∠=∠．又∵GEC △为等腰直角三角形，∴GE CE =．又9045135ECF ∠=︒+︒=︒，18045135EGA ∠=︒-︒=︒， ∴ECF EGA ∠=∠，∴AEG FEC △≌△，故AE EF =． 法二：如图，过E 作EG BC ⊥，交FC 的延长线于G ，连接AC ， 则45ECG DCF ∠=∠=︒，∴45EGF ∠=︒，∴EG EC =．而45ACE ∠=︒，∴EGF ECA ∠=∠．又90FEG FEC ∠=︒+∠，90AEC FEC ∠=︒+∠，∴FEG AEC ∠=∠，有EFG EAC △≌△， ∴AE EF =．法三：在AB 上截取BN =BE ，证明ANE ECF △≌△即可；思维拓展训练(选讲)训练1. 如图所示 ，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = BC ，AC 与BD 交于点O ，∠AOB =60︒，P 、Q 、R 分别是OA 、OB 、OC 的中点，求证：△PQR 是正三角形．DCB AR Q P O【解析】证明：如右图，连接BP 、CR ．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AD = BC ，OA = OB ，OC = OD ． ∵∠AOB = 60°，∴△AOB 、△COD 都是正三角形． ∵P 是OA 的中点，R 是OD 的中点， ∴BP ⊥OA ，CR ⊥OD ． ∵PR 是△ODA 的中位线，∴PR = 1122AD BC =．∴PR = PQ = QR ．GDFCE BAO P QR ABCD∴△PQR 是正三角形．训练2. 如图⑴，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠．请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．4321HGE F (1)(2)A BCDP5678【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们．．．．．发现，若．．．．1∠和．2∠，位置为．．．．时可得出．．．．3∠和．4∠相等．．（．本质为．．．四点共圆．．．．）．．图⑵中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．【解析】分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠∵AB CD =，AB CD ∥ ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形 ∴PD CK = ∵AD BC = ∴ADP △≌BCK △∴8BCK ∠=∠ 在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠ ∴BPK BCK ∠=∠ ∴78∠=∠A BCDP 5678K(∠5,∠6不动移)A BCDP 5678K(∠5,∠6不动移)ABC D P5678K(∠5不动移∠6)（∠5不动移∠6） （∠5，∠6不移动） （∠5，∠6不移动）(∠6不动移∠5)K8765P DC B A训练3. 已知：在△ABC 中，BC = a ，AC = b ，以AB 为边作等边三角形ABD ．探究下列问题：⑴ 如图(a )，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a = b = 3，且∠ACB =60°，则CD = ________；⑵ 如图(b )，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a = b = 6，且∠ACB =90°，则CD = ________；⑶ 如图(c )，当∠ACB 变化，且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数．(a )D C BA(b )DCBA(c )ABCD【解析】⑴⑵⑶ 如图（d ），以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E ，连接AE 、CE 、DE ． ∴CD = ED ，∠CDE = 60°． ∴△CDE 为等边三角形． ∴CE = CD ．当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD = CE < AE + AC = a + b ；如图(e ),当点E 、A 、C 在一条直线上时，CD 有最大值，CD = CE = a + b ； 此时∠CED =∠BCD =∠ECD =60°，∴∠ACB =120°． 因此当∠ACB =120°时，CD 有最大值是a + b ．ED CBA(d )(e )ED CBA。

初中几何“中点问题”七大模型
模型一多个中点出现或平行＋中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线
练一练
答案：
模型二直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
练一练
答案：
模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
练一练
答案：
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质
练一练
答案：
模型五中线等分三角形面积
练一练
答案：
模型六圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理
练一练
答案：
模型七遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形
练一练
答案：。

中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：。

（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。

（2）三角形中位线定理。

2 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。

3 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。

4 有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。

一倍长中线或倍长类中线1如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点。

连接BE并延长线交AC 于F，且AF=EF,求证：BE=AC.2 在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA的延长线于点F ，交AB 于点G，若AD为△ABC的角平分线，求证；BG=CF3 已知M为△ABC的边BC的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别与AB,AC交于点E、F,连接EF。

求证:EF<BE+CF.4 在△ABC中，D是BC的中点, DM⊥DN，如果BM²+CN²=DM²+DN²，求证AD²=¼（AB²+AC²）二直角三角形斜边中线1 如图，在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB上的高,D是BC的中点，DM⊥EF于点M,求证：FM=EM.2已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB=MC；（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．三一题多解题，利用中点作中线，倍长中线，中位线等辅助线是常用解法。

如图，在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB至D，使BD=AB，联结CD。

求证:CD=2CE四利用三角形中位线的性质问题一如图1 在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证∠BME=∠CNE 问题二：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题三：如图3，在△AB C中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．。

中点模型构造中点模型的构造中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线3．等腰三角形的底边中垂线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。

若∠ABC＝∠BEF＝60°，的值。

⑴探究PG与PC的位置关系及PGPC⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

练习1、如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，(AC－AB)。

求证：MF＝12【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：∠ACB＝2∠B。

练习2、中点专题小结——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线和类倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半课后练习1、已知直角三角形ABC和直角三角形CDF，ABC和CDF都是直角，且B,C,D三点在一条直线上，联结AF，点M为AF的重点，分别联结BM，DM.试证明：BM=DMM FAB DC2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC 和CEF, ＜ABC 和＜CEF 都是直角,连接AF,M 是AF 的中点,连接ME,MF.证明：ME=MF 。

3、已知如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠线于E ，M 是BC 的中点，求证：ME=)(21AC AB -4、已知如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点，（1）判断EF 和DG 有何关系并证明；（2）求证：ABC OGD S S △△121=。

中点模型的构造中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线3．等腰三角形的底边中垂线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连结PGPC。

若∠ABC＝∠BEF＝60°，⑴探究PG与PC的位置关系及PGPC的值。

⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

练习1、如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证：MF＝12(AC－AB)。

【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：∠ACB＝2∠B。

练习2、中点专题小结——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线和类倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半课后练习1、已知直角三角形ABC和直角三角形CDF，ABC和CDF都是直角，且B,C,D三点在一条直线上，联结AF，点M为AF的重点，分别联结BM，DM.试证明：BM=DMM FAB DC2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC和CEF, ＜ABC和＜CEF都是直角,连接AF,M 是AF的中点,连接ME,MF.证明：ME=MF。

3、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：ME=)(21AC AB -4、已知如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，F 、EF 和DG 有何关系并证明；（2）求证：OGD S S △121=5、已知如图，在四边形ABCD 中，EF分别为AB 、CD 的中点； （1）求证：EF ＜)(21BD AC + （2）四边形ABCD 的周长不小于EF 的四倍（3）EF 交BD 、AC 分别于P 、Q ，若AC=BD ，求证：△OPQ 为等腰三角形。

初中数学中点模型归纳总结中点模型是初中数学中一个重要的概念，常用于几何图形的证明和计算中。

通过对中点模型的归纳总结，可以更好地理解和运用这一概念。

本文将分别从数轴中点、线段中点和三角形中点三个方面进行归纳总结。

一、数轴中点数轴中点是指数轴上离两个点距离相等的点。

在数轴上，如果A、B两个点的坐标分别为a和b，那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = (a + b) / 2通过这个公式，我们可以很方便地求解两个点的中点坐标。

同时，我们还可以推广到三个点的情况：三点中点坐标 = (a + b + c) / 3这个公式也可以以类似的方式计算。

二、线段中点线段中点是指线段上距离两个端点相等的点。

在线段AB上，如果A、B两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)通过这个公式，我们可以计算出线段AB的中点坐标。

同样地，我们还可以推广到三维空间中的情况：三维空间中点坐标 = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3, (z1 + z2 +z3) / 3)这个公式在三维几何场景中也能帮助我们求解线段的中点坐标。

三、三角形中点三角形中点是指连接三角形三个顶点与对边中点的线段所构成的三个线段的交点。

三角形的三个中点分别是三边中点、三角形重心和三角形外心。

下面我们分别来介绍它们的特点和计算方法。

1. 三边中点：连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，分别记为M1、M2、M3。

这三个点构成的线段M1M2、M2M3和M3M1分别平分三角形的三条边，且交于三角形的重心G。

2. 三角形重心：三角形重心是连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，记为G。

三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

3. 三角形外心：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，记为O。

中点模型的构造中点专题——看到中点该想到什么？1两条线段相等，为全等提供条件2 •中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线3•等腰三角形的底边中垂线C例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）如图.已丸HBC中」15=虫?・CE是肋边上的中钱，延长肿到D,慢BD=AB：求讦:CD~2CE .【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连结PGPC。

若/ ABC =Z BEF = 60°⑴探究PG与PC的位置关系及匹的值。

PC⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图）。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

E 练习1、如图所示，在△ ABC中，AC>AB , M为BC的中点，AD是/ BAC的平分线，若CF丄AD且交AD的延长线于F,、1求证：MF = （AC —AB）。

2【例3】如图所示，在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线，M是BC的中点，ME丄AD且交AC的延长线于E, CD = 2CE,求证：/ ACB = 2/ B。

练习2、已知；妇国，在二磁中，RE、CF分别为过月G 肋上射哥.D为方C的中豈.DM丄£F 于M求让：F^EM-E中点专题小结——看到中点该想到什么？1两条线段相等，为全等提供条件 2 •中线平分三角形的面积 3•倍长中线和类倍长中线 4. 中位线5•斜边上的中线是斜边的一半课后练习1、已知直角三角形 ABC 和直角三角形CDF , ABC 和<|CDF 都是直角，且B,C,D 三点在一条直线上，联结 AF ,点M 为AF 的重点，分别联结 BM , DM.试证明：BM=DM2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC 和CEF, v ABC 和v CEF 都是直角，连接AF,M是AF 的中点,连接 ME,MF 证明：ME=M F3、已知如图，在△ ABC 中，AB > AC, AD 平分/ BAC, BE 垂直 AD 的延长线于 E , M 是BCD的中点，求证：ME=1(AB AC)24、已知如图，△ ABC 的中线BD CE 相交于点 O , F 、G 分别是OB 、OC 的中点，(1)判断5、已知如图，在四边形 ABCD 中，EF 分别为AB 、CD 的中点; (1) 求证：EF v ^(AC BD)2(2) 四边形ABCD 的周长不小于 EF 的四倍5、如图，已知 ADABC 的角平分线， AB V AC ,在AC 上截取 CE=AB M 、N 分别为BCEF 和DG 有何关系并证明；(2)求证：S A OGD—S 12△ ABC °(3) EF 交 BD AC 分别于 P 、Q ,若 AC=BD,4、在梯形 ABCD 中，AD// BC , AB=AD+BC E 为CD 的中点，求证: AE 丄 BE °DE6、如图，以△ ABC 的AB 、AC 边为斜边向形外作 Rt △ ABD ,和Rt A ACE,且使/ ABD=/ ACE= (1)求证：DM=ME ; (2)求/ DME 的度数。

中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC ≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED ≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆ABC 中:（1）AC=BC ；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD ，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

初中几何“中点问题”解题技巧总结实例模型一：多个中点出现或平行+中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三 角形中位线 1模型分析］在三角形中.如果有中点.可构造三角形的 中位线，利用三角形中位线的性质定理xDE//B （^冃DE = △山用5 △朋：解决线段之间的相等或比例关 系及平行问题.r 如图，在LJABCD ,对角线AC 与BD 相交于点（）上 是边C"的中点■连接（慎若AAfiC=60\厶RAC =C. 30° 80S 则乙1的度数为A. 50°练一练BC第1题图D. 20°2.如图，M是AABC的边BC的中点，屈:苹芬7丽C,BN丄加V于点皿且AB = 8,MN = 3•求AC的长-3.如图，在四边形MCD中,M = V#卫分别是ADJiCJiDAC的中点求证:伽Y与PQ互相垂直平分.第3题图答案:1. B2. AC = 14・3.证明：如解图，顺次连接MP、PN、NQ、QM,•・•点M、P分別是线段AD、BD 的中点，・•・MP是的中位线，・•・ MP//AB且MP = yAB, 同理皿〃刖且7VQ二*肚，/. MP//NQ ^MP = NQ,・•・四边形MP/VQ是平行四边形，又•・•点PJV分别是线段BI）、RC的中点，・・・PN是△/?<?/）的中位线，・・.PN = 1cD.又・・・AB二CI）,・•・ PN 二PM,・・・平行四边形MRV0是菱形,・•・MN与刃2互相垂直平分.A—M八第3题解图模型二：直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半1模型分析」直角三角形中有斜边中点时■常作斜边上的中线■利用^斜边匕的中线等于斜边的一半"可得CD=A" RD 士AR来解题，有时有直角无屮点，要找屮点「可简记为^直角+中点，等腰必呈现：此模型作用:①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.4.如^t LACB=90\D为佃的中点琏接兀并延长到£ ■使CE = —CD,过点8作BF//DE.与AE的延长线交于点八若BF二&求4*的长度・5 如图，四边形ABCD中,AC = 90°,AL)丄叫点E为片〃的中点J)E//RQ 求证;RD平分厶ARC第5题图答案：5.证明:丄DB点E为佃的中点,DE = BE = ~-AB,二厶ABD =厶RDE.T DE//BC,二厶CBD 二 A BDE,二AABD^ ACBD.二平分A ABC.模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1模型分析I等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、髙线、顶角平分线"三线合一竹的性质得到：乙BAD二乙CAD.AD丄BC.RD 二CD,解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.6.如图,A ABC中=AC,点D是耽的中点,E是AC 上_点，且4E=AD,若zUED 二753求:乙EDC的度数.A第6题图7,如图,在△磁中超—为BC 的中 点，MV 丄AC 于点M 求MV 的长.8.如图，在矩形ABCD 中上为佃边上-点』£平分 乙DER 、F 为CE 的中点■连接AF.RE (1) 求证：DE = DC ； 答案:6. 厶 EDCJ5S ■ 127. = ~・ &证明：(I )V 四边形ABC!)是矩形沪 AB//CD. 「” Z_ DCE =乙 CEfi 、 T EC 平分厶DEB, 代 A DEC -乙 CEB, /. L DCE =乙DEC, /. DE = DC ； 第7题图 第8题图(2)如解图，连接OF,v DE二D(：M为CE的中点，二DF丄EC,二LDFC =90°,在矩形的⑵ 中r4/?=/X\Z4/?C=90°,/. BE = GF = EF = —EC,二厶ABF = L CEB.叮Z DCE = ACEB.二LABF=A DCF,在△/!〃，和△£)(/中，严二CFJ 厶ARF 二厶DCF,L A/?二DC二ZWF竺△DCF(SAS),二^AFB=乙DFC 二90JA AFLBF.第8题解图模型四：遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质1模型分析I当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到= 证明线段间的数UL犬糸”B DC BD C练一练9.如图，在周长为20的平行四边形中.AB^AD^ AC相交于点O,OE丄加交AD于点E,连接BE. 求：ZVWE的周长.答案:9. △血迢的周长为10.10. 证明:如解图，连接••• G 是CE 的中点,DGLCE,••• DG是CK的垂直平分线，DE二DC、LABC中，仙是高,CE是中线, 二DE是RtZUDB的斜边AB上的中线,•二DE 二RE 二冷AB.二DC = BE.B D C第10题解图模型五：中线等分三角形面积I).231模型分析M D 是△ ABC 的屮线，则S 小阴=S&g - 十兀曲（因为厶4加 与△MD 是两个等底同高的三角形）11-在zMBC 中，点D 、E,F 分别为BC.AD.CE 的中点,且 A ABC =16 冷则 S MEF = A. 213. 812.如图■在边长为a 的正方形4BCD 中卫是AB 的中点,DE 交M 于点F .则△ CDF 的面积为 （）练一练第12题图第U 题图4I).23I )o1I1)CcE AOli则ZC50 第14题图 第13題图 % 练一练模型六：圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理接*或过点O 作一边的平行线或垂直构造中位线解题； (2) 圆中遇到弦的中点』关想堆垂径定理=出现，•四中点 一垂直"解决相应问题；(3) 圆中遇到弧的中点，利用“一等四等I 垂径定理"解 决相应问题.13.如图」〃是O0的直径，C 是O0上的一点丄(点E 是弦』〃的中点)(点£是亦的中点)(I )圆心。

中点模型知识点总结中点模型（Midpoint Model）是一种用于逻辑推理的模型，它可以帮助我们更好地理解和分析不同命题之间的关系。

中点模型常用于解决形式逻辑中的中介命题问题，以及对立和矛盾关系的描述。

本文将对中点模型的相关知识点进行总结，包括中点的定义、中点模型的构建方法、中点模型的应用、以及一些实际案例的分析等内容。

一、中点的定义中点是中点模型的基本概念，它表示在两个对立命题之间存在一个中介命题或者中间状态。

在形式逻辑中，中点通常用来描述两个互相对立的命题之间的关系。

例如，如果有两个命题A和B，它们彼此对立或者矛盾，那么中点就是A和B之间的一个中介状态或者中间命题。

中点的存在可以帮助我们更好地理解命题之间的关系，以及在逻辑推理中的应用。

在一些推理问题中，如果我们能够找到命题之间的中点，那么就可以通过中间状态来推导出结论，从而更快更准确地解决问题。

二、中点模型的构建方法在建立中点模型时，我们需要首先确定两个对立或者矛盾的命题，然后找到这两个命题之间的中点。

中点模型的构建方法通常包括以下几个步骤：1. 确定两个对立或者矛盾的命题，分别表示为A和B。

2. 分析A和B之间的关系，找出它们之间的共同点或者相似之处。

这一步通常需要对命题进行分解和分析，以便更好地理解它们之间的关系。

3. 找到A和B之间的中点，即中间状态或者中介命题。

中点通常是由A和B的共同特征或者相似之处推导而来，它同时与A和B都存在一定的关联性。

在构建中点模型时，我们需要注意命题之间的逻辑关系，尽量避免出现冲突或者矛盾的情况。

同时，中点模型的构建需要考虑到命题的多样性和复杂性，从而更好地反映出命题之间的关系。

三、中点模型的应用中点模型在形式逻辑、哲学、认知科学等领域都有着广泛的应用。

它可以帮助我们更好地理解和分析不同命题之间的关系，从而更好地进行逻辑推理和思维分析。

在形式逻辑中，中点模型常用于解决中介命题问题，以及对立和矛盾关系的描述。

中点模型的构造技巧提炼：很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件,那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段)构造全等三角形。

如图(2)三角形中位线定理。

2、已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线。

3、已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”。

4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例出直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候,可以用辅助线添加。

典例精讲例1 如图所示，在△AＢＣ中,ＡB=12,ＡC=2０,求BC边上的中线AD的取值范围。

例2如图所示,已知在△ABC中，AＤ是BC边上的中线，E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F,ＡF=ＥF,求证:AＣ=BE。

变式练习:１、如图，已知在△ＡBC中,AD是ＢC边上的中线,E是AD上一点，且BE=ＡC,延长BE交AC于点F,AＦ与EF相等吗,为什么？2、如图,在△ＡBＣ中,AD交ＢC于点Ｄ,点E是BＣ中点,ＥF∥AＤ交CA的延长线交于点Ｆ,交AＢ于点Ｇ，若A Ｄ为△ＡBＣ的角平分线，求证：ＢG＝CF。

例3 如图,在Ｒt △ＡBC 中,∠ＢAC=9０°,点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为ＡB 、ＡC 上的点,且E Ｄ⊥ＦD ，以线段BE 、EF 、F Ｃ为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形,还是直角三角形，或者是钝角三角形?变式练习:１、如图，已知Ｍ为△ABC 中BC 边上的中点，∠AMB 、∠AMC 的平分线分别交ＡB 、ＡC 于点E 、Ｆ，连接EF 。

求证:BE+CF>EF 。

2、如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点，DM ⊥D Ｎ,如果B Ｍ²+CN ²=DM ²＋ＤN ²，求证:AD ²＝41(AB ²＋A Ｃ²)。

初中中点问题常见五大模型1、中点、中线——想倍长（构造八字全等形）2、中点+等腰——三线合一3、中点+平行——延长构造8字形4、中点对直角——斜边中线定理5、双中点及以上——中位线例1：如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F,G分别在边BC,CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为（）A.2B.3C.5D.3技巧：有中点，有平行，延长构造8字形练习：如图，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=1，BC=CD=2，E为AD上的中点，则BE的长度是多少?5A.3B.3C.5D.2练习2：已知，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，点P是AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F.点O为AC的中点，求证：OE=OF技巧：①有中点，有平行，延长构造8字形②斜边中点对直角，一半等腰必出现例2、如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．技巧：连中线，出等腰例3：已知：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC=4，CD=3，求EF的长度技巧：①题出双中点，就想中位线②勾股定理例4、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,∠ABD=20°∠BDC=70°,求∠PMN的度数.例6、如图，在四边形ABC D中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝6，CD＝4，求MN 取值范围1、“中点+平行”问题有中点，有平行，延长构造8字形2、共斜边问题连中点，出等腰3“双中点或多中点”问题题出双中点，就想中位线未得中位线，再找一中点，构造中位线。

(a)几何综合题型一：中点模型的构造中点模型① 中线（点）：倍长（类）中线 ② 两中点：中位线③ 等腰三角形底边中点：三线合一④ 直角三角形斜边中点：斜边中线 =斜边一半=构造两等腰 ⑤ 中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线.典题精练【例1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于点E ，若/ EMD = 3 / MEA .求证：BC=2AB .【解析】证法一：如右图(a ),延长EM 交CD 的长线于点 E ，连结 CM••AB // CD , •••JME'D = /MEA .又 AM = DM , /AME = ZDME'AFM 也厶DE M . •••EM = E M••AB // CD , CE 丄AB,•••EC丄CD.•••CM是Rt △ ECE ■斜边EE的中线，••ME =MC .•ME D =ECM ,•ZEMC = 2 WME D = 2 ZAEM .•/ZEMD =3 ZMEA,/•ZCMD =ZDCM ,•••MD = CD .••AD = 2DM , AB = CD , AD = BC,•••BC = 2AB .证法如右图(b),过点M作MM ' // AB交BC于M •，过点M ■作M E // ME交AB的延长线于点E'，连接EM '.•••点M 是BC 的中点，E E丄A B E BM = EAM , M E B = MEA , M MD ZEAM Z E BM ••点M •是Rt△ EBC斜边BC的中点，•M E =BM , • BEM ^M BE .•••• E BM =180 - BEM .••左MD = 3 ZMEA ,• M MD =2 MEA,• E BM =2 M E B1•180 EBEM ~2/M E B , /M E B =90 BEM2• E 二EM E .••• EM 二EE ,• BM 二AB .•••BC = 2AB.【例2】如图所示，分别以厶ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴ 求证：AM丄EG ;(2)求证：EG = 2AM .EF 【解析】⑴ 如图所示，延长AM到N,使MN = AM,延长MA交EG于点P,连接BN、NC.VBM = CM ,•四边形ABNC是平行四边形.•••BN = AC = AG .E 是AB 上一点，FG 丄DE 于点HvzEAG + /BAC = 180 , /ABN +/BAC = 180 , •••/EAG = /ABN . ••AE = AB ,EAG ^A ABN .•/AEG =/BAN . 又T /EAB = 90 , • zEAP + /BAN = 90 . •••/AEP + ZEAP = 90 . •••MA 丄 EG .⑵ 证明：EAG ABN ,「.EG = AN = 2AM .题型二：平移及等积变换典题精练【例3】 已知：如图，正方形 ABCD 中, ⑴求证：FG = DE .⑵求证：FD + BG > ■ 2FG .【解析】延长 GC 到点P ,使得GP = DF ，连接EP , DP .⑴ VDF // GP , GP = DF•四边形DFGP 为平行四边形 •••FG = DP , FG // DP 又T FG 丄DE ,「.DP 丄 DE • /ADE = ZCDP 在厶ADE 和厶CDP 中DAE 二DCP DA =DC IZADE ZCDP【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PGAE 的面积如右图，连接CP、AP.可得:S A BCP'S A ADP」ABCD2S A ABP'S A BDP 1'S A ADP S ABCD2所以S A BCD _S A ABP = S A BDP而S A BCP :S BCFE , S A ABP2S ABHG, 2•••DE = DP = FG⑵由⑴知道△ DEP为等腰直角三角形• EP = 2DE = 2FG在厶EGP 中，EG + DF = EG + GP >PE = 、2 FG当EG // FD时，取到等号【例4】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△ PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.所以S BCFE--S ABHG =2 S A BCP-S A ABP =2S A BDP = 16（平方分米）.题型三：旋转典题精练【例5】已知△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ABC=Z ADE=90。

几何辅助线之中点模型的构造学习目标1、通过本节课的学习，理解中点模型的辅助线的添加方法，并且明白为什么要这样添加辅助线2、通过一题多解的方法，体会学习数学的快乐，激发学习的潜能重点：中点模型的辅助线添加方法难点：如何寻找中点模型的辅助线添加方法一、创设情境，导入新课今天老师给大家梳理了几何中的中点的几个简单基本模型，希望同学们能掌握一些方法和技巧，也希望能给大家以后的学习和成长带来一些帮助二、学思并行，展示互动独立思考：中点辅助线知多少？1、已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.则AE:CE=＿＿＿2、如图,△ABC中,BE,CF分别为边AC,AB上的高,D为BC的中点, FM=EM。

若BC=10，DM=8，则EF= ＿三.学法引领，探究提升3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13。

求证：AB⊥AD温馨提示：（可以延长中线AD到点M，使AD=MD，连接MC，构成“8”字全等）典例精练：如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB 到D，使BD=AB，连接CD．求证：CD=2CE小结思考：当已知三角形的中点（线）时可以考虑添加怎样的辅助线？四、分层练习，知能达标1、在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=12，AC=8，则AD的取值范围是＿＿＿2、如图，在△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90度，AC=5，BC=12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN=_____.3、已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF.4、已知正方形ABCD中，F是CD的中点。

E是BC边上的一点。

且AE=DC+CE.求证：AF平分∠DAE.。